反射变换（高等代数）

贡献者：叶月2_; addis

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

　　反射变换的概念来源于平面上的轴反射。根据初中几何学里就已接触的轴反射定义，我们可以用矩阵表示关于 $y$ 轴的线性变换。

\begin{matrix} (1) & M = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) . \end{matrix}

可以验证，

M e_{x} = - e_{x}, M e_{y} = e_{y}

。因此这确实是一个保持向量在平行轴方向的分量不变，垂直轴的方向反向的轴反射。

　　任意图像在轴反射后形状不变，也就是说，这是一个保距变换。同理，我们也可以对任意向量作关于平面的反射，或者更延伸一些，在 $R^{n}$ 中作关于超平面 $R^{n - 1}$ 的反射。（下文将超平面简称为平面）

定义 1　

　　设 $S$ 是 $n$ 维向量空间 $R^{n}$ 中的平面， $n$ 是其单位法向量，对于任意 $x \in R^{n}$ ，定义其反射（reflection） $R : R^{n} \to R^{n}$ 为

\begin{matrix} (2) & R (x) = x - 2 (x, n) n . \end{matrix}

　　可以验证， $R$ 是保距变换。

定理 1　

　　保距变换一定是反射变换的复合。

　　 证明：¹

　　在 $n = 1$ 的时候，保距变换要么是恒等变换，要么是反射变换，因为只有这两种变换不改变基向量的范数。因此，定理自然成立。

　　假设定理对 $1 < n < k$ 成立，设 $R^{k - 1}$ 上的保距变换可以写为至多 $m$ 个反射变换的复合。

　　假设 $f$ 是 $R^{k}$ 中的保距变换，且不是恒等变换。设 $f (x) = y, z = y - x$ ， $S_{z}$ 为以 $z$ 为法向量的超平面，并用 $R_{z}$ 表示关于该超平面的反射变换。不失一般性，设 $z$ 为单位法向量，可以验证： $R_{z} \circ f (x) = x$ 且 $R_{z} \circ f (y) = x$ ²，则 $R_{z} \circ f (z) = z$ 。即 $z$ 是 $R_{z} \circ f$ 的不变子空间。在欧几里得空间中，保距变换即为正交变换，且其复合依然保距，根据引理 3 ， $S_{z}$ 也为 $R_{z} \circ f$ 的不变子空间。

　　根据假设， $R_{z} \circ f |_{S_{z}}$ 可写为最多 $m$ 个反射变换的复合。设为

\begin{matrix} (3) & R_{z} \circ f |_{S_{z}} = R_{1} R_{2} . . . R_{m}, \end{matrix}

设

e_{i} \in S_{z}

，是对应超平面的单位法向量。

　　拓展 $R_{i}$ 为对全空间向量作用的 $R_{i}^{'}$ ，各单位法向量对应的超平面从 $n - 2$ 维变为 $n - 1$ 维，且 $R_{i}^{'} (z) = z$ ，容易验证该定义是自洽合理的³。

　　现在我们有 $R_{z} \circ f = R_{1}^{'} R_{2}^{'} . . . R_{m}^{'}$ ，则 $f = R_{z} R_{1}^{'} R_{2}^{'} . . . R_{m}^{'}$ ，所以不仅定理成立，而且 $n$ 维欧几里得空间中保持原点不变的保距变换是最多 $n$ 个反射变换的复合⁴。

未完成：还需要增加一些实例

1. ^ 参考来源：Notes of KEITH CONRAD。
2. ^ 也就是 $R_{z} (x) = y$ ，可直接验证得到。
3. ^ 即保持在超平面上的限制形式依旧。
4. ^ 从 $n = 1$ 开始推导，可知非平凡的保距变换必是反射变换，且次数小于或等于空间维数。

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