反射变换(高等代数)

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

   反射变换的概念来源于平面上的轴反射。根据初中几何学里就已接触的轴反射定义,我们可以用矩阵表示关于 y 轴的线性变换。

(1)M=(0110) .
可以验证,Mex=ex,Mey=ey。因此这确实是一个保持向量在平行轴方向的分量不变,垂直轴的方向反向的轴反射。

   任意图像在轴反射后形状不变,也就是说,这是一个保距变换。同理,我们也可以对任意向量作关于平面的反射,或者更延伸一些,在 Rn 中作关于超平面 Rn1 的反射。(下文将超平面简称为平面)

定义 1 

   设 Sn 维向量空间 Rn 中的平面,n 是其单位法向量,对于任意 xRn,定义其反射(reflection)R:RnRn

(2)R(x)=x2(x,n)n .

   可以验证,R 是保距变换。

定理 1 

   保距变换一定是反射变换的复合。

   证明:1

   在 n=1 的时候,保距变换要么是恒等变换,要么是反射变换,因为只有这两种变换不改变基向量的范数。因此,定理自然成立。

   假设定理对 1<n<k 成立,设 Rk1 上的保距变换可以写为至多 m 个反射变换的复合。

   假设 fRk 中的保距变换,且不是恒等变换。设 f(x)=y,z=yxSz 为以 z 为法向量的超平面,并用 Rz 表示关于该超平面的反射变换。不失一般性,设 z 为单位法向量,可以验证:Rzf(x)=xRzf(y)=x2,则 Rzf(z)=z。即 zRzf 的不变子空间。在欧几里得空间中,保距变换即为正交变换,且其复合依然保距,根据引理 3 Sz 也为 Rzf 的不变子空间。

   根据假设,Rzf|Sz 可写为最多 m 个反射变换的复合。设为

(3)Rzf|Sz=R1R2...Rm ,
eiSz,是对应超平面的单位法向量。

   拓展 Ri 为对全空间向量作用的 Ri,各单位法向量对应的超平面从 n2 维变为 n1 维,且 Ri(z)=z,容易验证该定义是自洽合理的3

   现在我们有 Rzf=R1R2...Rm,则 f=RzR1R2...Rm,所以不仅定理成立,而且n 维欧几里得空间中保持原点不变的保距变换是最多 n 个反射变换的复合4

未完成:还需要增加一些实例


1. ^ 参考来源:Notes of KEITH CONRAD
2. ^ 也就是 Rz(x)=y,可直接验证得到。
3. ^ 即保持在超平面上的限制形式依旧。
4. ^n=1 开始推导,可知非平凡的保距变换必是反射变换,且次数小于或等于空间维数。


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