反射变换(高等代数)

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

   反射变换的概念来源于平面上的轴反射。根据初中几何学里就已接触的轴反射定义,我们可以用矩阵表示关于 $y$ 轴的线性变换。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} ~. \end{equation}
可以验证,$ \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{e}} _x=- \boldsymbol{\mathbf{e}} _x, \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol{\mathbf{e}} _y= \boldsymbol{\mathbf{e}} _y$。因此这确实是一个保持向量在平行轴方向的分量不变,垂直轴的方向反向的轴反射。

   任意图像在轴反射后形状不变,也就是说,这是一个保距变换。同理,我们也可以对任意向量作关于平面的反射,或者更延伸一些,在 $\mathbb R^n$ 中作关于超平面 $\mathbb R^{n-1}$ 的反射。(下文将超平面简称为平面)

定义 1 

   设 $S$ 是 $n$ 维向量空间 $\mathbb R^n$ 中的平面,$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 是其单位法向量,对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in \mathbb R^n$,定义其反射(reflection)$R:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^n$ 为

\begin{equation} R( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{x}} -2( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{n}} ) \boldsymbol{\mathbf{n}} ~. \end{equation}

   可以验证,$R$ 是保距变换。

定理 1 

   保距变换一定是反射变换的复合。

   证明:1

   在 $n=1$ 的时候,保距变换要么是恒等变换,要么是反射变换,因为只有这两种变换不改变基向量的范数。因此,定理自然成立。

   假设定理对 $1< n< k$ 成立,设 $\mathbb R^{k-1}$ 上的保距变换可以写为至多 $m$ 个反射变换的复合。

   假设 $f$ 是 $\mathbb R^k$ 中的保距变换,且不是恒等变换。设 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{z}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} $,$S_z$ 为以 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 为法向量的超平面,并用 $R_z$ 表示关于该超平面的反射变换。不失一般性,设 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 为单位法向量,可以验证:$R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 且 $R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{y}} )=x$2,则 $R_z\circ f( \boldsymbol{\mathbf{z}} )= \boldsymbol{\mathbf{z}} $。即 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 是 $R_z\circ f$ 的不变子空间。在欧几里得空间中,保距变换即为正交变换,且其复合依然保距,根据引理 3 ,$S_z$ 也为 $R_z\circ f$ 的不变子空间。

   根据假设,$R_z\circ f|_{S_z}$ 可写为最多 $m$ 个反射变换的复合。设为

\begin{equation} R_z\circ f|_{S_z}=R_1R_2...R_{m}~, \end{equation}
设 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in S_z$,是对应超平面的单位法向量。

   拓展 $R_i$ 为对全空间向量作用的 $R'_i$,各单位法向量对应的超平面从 $n-2$ 维变为 $n-1$ 维,且 $R'_i( \boldsymbol{\mathbf{z}} )= \boldsymbol{\mathbf{z}} $,容易验证该定义是自洽合理的3

   现在我们有 $R_z \circ f=R'_1R'_2...R'_{m}$,则 $f=R_zR'_1R'_2...R'_{m}$,所以不仅定理成立,而且$n$ 维欧几里得空间中保持原点不变的保距变换是最多 $n$ 个反射变换的复合4

未完成:还需要增加一些实例


1. ^ 参考来源:Notes of KEITH CONRAD
2. ^ 也就是 $R_z( \boldsymbol{\mathbf{x}} )= \boldsymbol{\mathbf{y}} $,可直接验证得到。
3. ^ 即保持在超平面上的限制形式依旧。
4. ^ 从 $n=1$ 开始推导,可知非平凡的保距变换必是反射变换,且次数小于或等于空间维数。


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