反射变换(高等代数)
贡献者: 叶月2_; addis
反射变换的概念来源于平面上的轴反射。根据初中几何学里就已接触的轴反射定义,我们可以用矩阵表示关于 轴的线性变换。
可以验证,。因此这确实是一个保持向量在平行轴方向的分量不变,垂直轴的方向反向的轴反射。
任意图像在轴反射后形状不变,也就是说,这是一个保距变换。同理,我们也可以对任意向量作关于平面的反射,或者更延伸一些,在 中作关于超平面 的反射。(下文将超平面简称为平面)
定义 1
设 是 维向量空间 中的平面, 是其单位法向量,对于任意 ,定义其反射(reflection) 为
可以验证, 是保距变换。
证明:1
在 的时候,保距变换要么是恒等变换,要么是反射变换,因为只有这两种变换不改变基向量的范数。因此,定理自然成立。
假设定理对 成立,设 上的保距变换可以写为至多 个反射变换的复合。
假设 是 中的保距变换,且不是恒等变换。设 , 为以 为法向量的超平面,并用 表示关于该超平面的反射变换。不失一般性,设 为单位法向量,可以验证: 且 2,则 。即 是 的不变子空间。在欧几里得空间中,保距变换即为正交变换,且其复合依然保距,根据引理 3 , 也为 的不变子空间。
根据假设, 可写为最多 个反射变换的复合。设为
设 ,是对应超平面的单位法向量。
拓展 为对全空间向量作用的 ,各单位法向量对应的超平面从 维变为 维,且 ,容易验证该定义是自洽合理的3。
现在我们有 ,则 ,所以不仅定理成立,而且 维欧几里得空间中保持原点不变的保距变换是最多 个反射变换的复合4。
未完成:还需要增加一些实例
1. ^ 参考来源:Notes of KEITH CONRAD。
2. ^ 也就是 ,可直接验证得到。
3. ^ 即保持在超平面上的限制形式依旧。
4. ^ 从 开始推导,可知非平凡的保距变换必是反射变换,且次数小于或等于空间维数。
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