Rayleigh-Ritz 方法

             

贡献者: addis

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预备知识 厄米矩阵的本征问题

   Rayleigh-Ritz 方法是一种近似计算本征值问题的方法.若要求 $N\times N$ 厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值和本征矢,先把算符投影到由 $n < N$ 个正交归一基底 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 张成的子空间中.若把每个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $,那么子空间的投影矩阵就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{V}} \end{equation}
也就是说,每个矩阵元为
\begin{equation} B_{i,j} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j \end{equation}

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的本征方程分别为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{y}} _i = \tilde\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{y}} _i \end{equation}
令 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i = V \boldsymbol{\mathbf{y}} _i$.于是 $(\tilde\lambda_i, \tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 就是近似本征值和本征矢,叫做 Ritz pair.

   只有当 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \right\} $ 恰好张成 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的某几个本征矢的子空间时,才会得到精确解.

   瑞利商(Rayleigh quation):

\begin{equation} \rho( \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} } \end{equation}
这相当于量子力学中的平均值,而当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 时,瑞利商就是本征值.容易证明,任何 $\rho(\tilde { \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 都大于最小的本征值.


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