Rayleigh-Ritz 方法

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　厄米矩阵的本征问题

　　 Rayleigh-Ritz 方法是一种近似计算本征值问题的方法。若要求 $N \times N$ 厄米矩阵 $A$ 的本征值和本征矢，先把算符投影到由 $n < N$ 个正交归一基底 $v_{i}$ 张成的子空间中。若把每个列矢量 $v_{i}$ 矩阵 $V$ ，那么子空间的投影矩阵就是

\begin{matrix} (1) & B = V^{†} A V . \end{matrix}

也就是说，每个矩阵元为

\begin{matrix} (2) & B_{i, j} = v_{i}^{†} A v_{j}, \end{matrix}

　　令 $A, B$ 的本征方程分别为

\begin{matrix} (3) & A x_{i} = λ_{i} x_{i}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & B y_{i} = {\tilde{λ}}_{i} y_{i} . \end{matrix}

令

{\tilde{x}}_{i} = V y_{i}

。于是

({\tilde{λ}}_{i}, {\tilde{x}}_{i})

就是近似本征值和本征矢，叫做 Ritz pair。

　　只有当 ${v_{i}}$ 恰好张成 $A$ 的某几个本征矢的子空间时，才会得到精确解。

　　 瑞利商（Rayleigh quation）:

\begin{matrix} (5) & ρ (v) = \frac{v^{†} A v}{v^{†} v} . \end{matrix}

这相当于量子力学中的平均值，而当

v = v_{i}

时，瑞利商就是本征值。容易证明，任何

ρ ({\tilde{x}}_{i})

都大于最小的本征值。

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