Rayleigh-Ritz 方法
贡献者： addis
Rayleigh-Ritz 方法是一种近似计算本征值问题的方法。若要求 $N\times N$ 厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征值和本征矢，先把算符投影到由 $n < N$ 个正交归一基底 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 张成的子空间中。若把每个列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} $，那么子空间的投影矩阵就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{V}} ~.
\end{equation}
也就是说，每个矩阵元为
\begin{equation}
B_{i,j} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j~,
\end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的本征方程分别为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{y}} _i = \tilde\lambda_i \boldsymbol{\mathbf{y}} _i~.
\end{equation}
令 $\tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i = V \boldsymbol{\mathbf{y}} _i$。于是 $(\tilde\lambda_i, \tilde{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 就是近似本征值和本征矢，叫做 Ritz pair。
只有当 $ \left\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \right\} $ 恰好张成 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的某几个本征矢的子空间时，才会得到精确解。
瑞利商（Rayleigh quation）:
\begin{equation}
\rho( \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} }{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} }~.
\end{equation}
这相当于量子力学中的平均值，而当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 时，瑞利商就是本征值。容易证明，任何 $\rho(\tilde { \boldsymbol{\mathbf{x}} }_i)$ 都大于最小的本征值。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。