限制性三体问题

贡献者： Soyuz; addis

符号 mu 的定义和 “二体问题” 中的不同，是否要改过来？
提了旋转参考系，但是没有用到
参考 Wikipedia 添加内容

预备知识　开普勒问题

　　¹在中心力场问题中，只需把质点质量 $m$ 和位矢 $r$ 分别替换成约化质量 $μ M$ 和相对矢量 $R$ 即可将单质点中心力场问题的规律拓展到二体系统。

　　在图 1 所示的惯性坐标系 $X O Y$ 中，天体 A 和天体 B 距离为 $R$ ，质量分别为 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ ，总质量为 $M$ ，原点 $0$ 为该二体系统的质心。记 $M_{1} = μ M$ ，则 $M_{2} = (1 - μ) M$ 。由 “开普勒问题” 中的结论可知，天体 A 和天体 B 的运动轨迹是坐标平面中两条等离心率（相似）的圆锥曲线。

图 1：限制性三体问题

　　在图 1 的二体系统中再添加一个质点，其质量 $m$ 足够小，以至于该质点对原二体系统的影响可以忽略不计，即我们忽略 $m$ 对其他天体的引力，但仍然受其他天体的引力。在此条件下该系统的运动问题，称为限制性三体问题（restricted three-body problem）。

　　假设当前时刻，A、B 连线相对惯性坐标系的角速度为 $ω$ ，与 $X$ 轴正方向夹角为 $θ$ 。以 A、B 连线为 $x$ 轴建立旋转坐标系 $x O y$ 。记质点 C 在旋转系中的坐标为 $(x, y, z)$ ，在惯性系中的位置矢量为 $r$ ，两者有如下关系

\begin{matrix} (1) & r = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) . \end{matrix}

　　将上式关于时间求导，可得

\begin{matrix} (2) & \dot{r} = (\begin{matrix} (\dot{x} - ω y) \cos θ - (ω x + \dot{y}) \sin θ \\ (\dot{x} - ω y) \sin θ - (ω x + \dot{y}) \cos θ \\ \dot{z} \end{matrix}) . \end{matrix}

于是，可求出质点的动能

\begin{matrix} (3) & T = \frac{1}{2} m | \dot{r} |^{2} = \frac{1}{2} m [{(\dot{x} - ω y)}^{2} + {(ω x + \dot{y})}^{2} + {\dot{z}}^{2}] . \end{matrix}

　　记质点 C 与天体 A、B 的距离分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则质点 C 的引力势能可表达为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} U & = - \frac{μ G M m}{r_{1}} - \frac{(1 - μ) G M m}{r_{2}} \\ = - \frac{μ G M m}{\sqrt{[x + (1 - μ) R]^{2} + y^{2} + z^{2}}} - \frac{(1 - μ) G M m}{\sqrt{(x - μ R)^{2} + y^{2} + z^{2}}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　在惯性系中，质点 C 对坐标原点的角动量为

\begin{matrix} (5) & L = m r \times \dot{r} . \end{matrix}

这里只考虑角动量在

Z

轴方向上的分量

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} L_{z} & = m | \begin{array}{c} x \cos θ - y \sin θ & x \sin θ + y \cos θ \\ (\dot{x} - ω y) \cos θ - (ω x + \dot{y}) \sin θ & (\dot{x} - ω y) \sin θ - (ω x + \dot{y}) \cos θ \end{array} | \\ = m [ω (x^{2} + y^{2}) + x \dot{y} - \dot{x} y] . \end{aligned} \end{matrix}

　　在没有外力或外力矩的情况下，三体系统的总角动量和总机械能守恒。由于先前假设质点 C 的引入不影响原二体系统的运动，因此在限制性三体问题中，天体 A 和天体 B 的机械能及角动量依旧守恒，而质点 C 的机械能也守恒。但由于质点 C 单向地受到天体 A 和天体 B 的引力作用，质点 C 的角动量并不守恒。

　　以上的讨论中，并不要求天体 A 和天体 B 的距离 $R$ 和角速度 $ω$ 在运动过程中为定值。换句话说，无论原二体系统的运动模式是何种圆锥曲线，以上的讨论都成立。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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