限制性三体问题

             

  • 符号 mu 的定义和 “二体问题” 中的不同,是否要改过来?
  • 提了旋转参考系,但是没有用到
  • 参考 Wikipedia 添加内容
预备知识 开普勒问题

  1在中心力场问题中,只需把质点质量 $m$ 和位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 分别替换成约化质量 $\mu M$ 和相对矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 即可将单质点中心力场问题的规律拓展到二体系统

   在图 1 所示的惯性坐标系 $XOY$ 中,天体 A 和天体 B 距离为 $R$,质量分别为 $M_1$ 和 $M_2$,总质量为 $M$,原点 $0$ 为该二体系统的质心.记 $M_1=\mu M$,则 $M_2=(1-\mu)M$.由 “开普勒问题” 中的结论可知,天体 A 和天体 B 的运动轨迹是坐标平面中两条相似的圆锥曲线.

图
图 1:限制性三体问题

   在图 1 的二体系统中再添加一个质点,其质量 $m$ 足够小,以至于该质点对原二体系统的影响可以忽略不计,即我们忽略 $m$ 对其他天体的引力,但仍然受其他天体的引力.在此条件下该系统的运动问题,称为限制性三体问题(restricted three-body problem)

   假设当前时刻,A、B 连线相对惯性坐标系的角速度为 $\omega$,与 $X$ 轴正方向夹角为 $\theta$.以 A、B 连线为 $x$ 轴建立旋转坐标系 $xOy$.记质点 C 在旋转系中的坐标为 $(x,y,z)$,在惯性系中的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,两者有如下关系

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta &0 \\ \sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0 &0 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} \end{equation}

   将上式关于时间求导,可得

\begin{equation}\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }= \begin{pmatrix} \left(\dot{x}-\omega y \right) \cos\theta - \left(\omega x+\dot{y} \right) \sin\theta \\ \left(\dot{x}-\omega y \right) \sin\theta - \left(\omega x+\dot{y} \right) \cos\theta \\ \dot{z}\end{pmatrix} \end{equation}
于是,可求出质点的动能
\begin{equation}T=\frac{1}{2}m|\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }|^2=\frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{x}-\omega y \right) ^2+ \left(\omega x+\dot{y} \right) ^2+\dot{z}^2 \right] \end{equation}

   记质点 C 与天体 A、B 的距离分别为 $r_1$ 和 $r_2$,则质点 C 的引力势能可表达为

\begin{equation}\begin{aligned} U&=-\frac{\mu GMm}{r_1}-\frac{(1-\mu)GMm}{r_2}\\ &=-\frac{\mu GMm}{\sqrt{[x+(1-\mu)R]^2+y^2+z^2}}-\frac{(1-\mu)GMm}{\sqrt{(x-\mu R)^2+y^2+z^2}} \end{aligned} \end{equation}

   在惯性系中,质点 C 对坐标原点的角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} =m \boldsymbol{\mathbf{r}} \times \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
这里只考虑角动量在 $Z$ 轴方向上的分量
\begin{equation}\begin{aligned} L_z &= m \begin{vmatrix} x\cos\theta-y\sin\theta &{x\sin\theta+y\cos\theta}\\ \left(\dot{x}-\omega y \right) \cos\theta - \left(\omega x+\dot{y} \right) \sin\theta &{ \left(\dot{x}-\omega y \right) \sin\theta - \left(\omega x+\dot{y} \right) \cos\theta } \end{vmatrix} \\ &=m \left[\omega \left(x^2+y^2 \right) +x\dot{y}-\dot{x}y \right] \end{aligned} \end{equation}

   在没有外力或外力矩的情况下,三体系统的总角动量和总机械能守恒.由于先前假设质点 C 的引入不影响原二体系统的运动,因此在限制性三体问题中,天体 A 和天体 B 的机械能及角动量依旧守恒,于是质点 C 的机械能和角动量也守恒.

未完成:这是错的,例如月球的角动量就不守恒,无论在惯性系还是旋转系

   以上的讨论中,并不限制天体 A 和天体 B 的距离 $R$ 和角速度 $\omega$ 在运动过程中为定值,换句话说,无论原二体系统的运动模式是何种圆锥曲线,以上的讨论都成立.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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