点集的内部、外部和边界

贡献者： JierPeter

预备知识 1　拓扑空间

　　拓扑空间定义了什么样的集合算开集，而开集的补集被称为闭集。除此之外，还有一些集合是既不开也不闭的。比如说，在 $R$ 上定义的度量拓扑中，开区间都是开集，闭区间和孤立点都是闭集，但是半开半闭区间两者都不属于。

1. 基本概念

定义 1　

　　给定拓扑空间 $(X, T)$ 以及它的一个子集 $A$ 。

如果对于 $x \in X$ ，存在一个开集 $V \in T$ 使得 $x \in V \subset A$ ，那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个内点（interior point）。
如果存在一个开集 $V \in T$ 使得 $x \in V \subset A^{C}$ ，那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个外点（exterior point）。
如果一个 $x$ 既不是 $A$ 的外点也不是内点，那么称 $x$ 是 $A$ 的一个边界点（boarder point）。
全体内点构成的集合，称为 $A$ 的内部（interior），记为 $A^{\circ}$ 。
全体外点构成的集合，称为 $A$ 的外部（exterior）。
全体边界点构成的集合，称为 $A$ 的边界（boarder）。
如果包含点 $x \in X$ 的任何开集 $U_{x}$ ，都含有和 $x$ 不相同的、 $A$ 的元素： $(U_{x} - {x}) \cap A \neq \emptyset$ ，那么我们说 $x$ 是 $A$ 的一个聚点或者极限点（limit point）。

　　外点就是 “补集的内点”。

　　聚点的概念在数学分析和高等微积分里就会出现。在微积分中，一个集合 $A \subset R$ 的聚点 $x$ ，就是不管取多小的 $r > 0$ 作为半径，总有某个不是 $x$ 的点 $x_{r} \in A$ 落在 $(x - r, x) \cup (x, x + r)$ 里面。 $A$ 自己的点 $x \in A$ 当然是 $A$ 的聚点，但是 $x \notin A$ 也可以是聚点。比如说，区间 $(0, 1)$ 的全体聚点构成的集合，就是 $[0, 1]$ 。

　　有了这些定义，我们就可以更直观地理解开集和闭集了：

习题 1　

　　给定 $(X, T)$ 以及它的一个子集 $A$ 。那么， $A$ 是开集当且仅当 $A$ 的点都是内点； $A$ 是闭集当且仅当 $A$ 的聚点都在 $A$ 里。证明留做习题。

　　同样地，使用区间为例子来理解开集、闭集和内点、聚点的关系会非常直观。

　　由定义，对于任何拓扑空间的子集 $A$ ，外点都不是聚点，因此聚点要么是内点、要么是边界点。

　　对于 $A$ ，它的聚点构成的集合被称为 $A$ 的导出集（induced set）或者导集，在小时百科中记为¹ $A^{'}$ 。

例 1　

令 $A = {\frac{1}{n} | n \in Z^{+}}$ ，那么 $A^{'} = {0}$ 。
令 $A = (0, 1) \cup (1, 2)$ ，那么 $A^{'} = [0, 2]$

习题 2　

　　证明：任何集合的导集都是闭集。

　　在数学分析中，我们会使用包含点 $x$ 的任意长度的开区间，来描述 $x$ 的 “附近”。这一概念在拓扑学中被拓展为 “邻域”：

定义 2　邻域

　　给定拓扑空间 $X$ 和 $x \in X$ ，则任意开集 $U_{x} ∋ x$ ，被称为 $x$ 的一个邻域（neighborhood）。

　　注意，这里定义的邻域必须是开集。在紧致性一节中，我们会提到一个容易混淆的概念，“紧邻域”，它并不一定是开集，因此不一定是邻域。紧邻域的名字是有些混淆，但是没有办法，约定俗成这么叫了²。

2. 闭包

　　给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$ ，那么 $A^{\circ}$ 是 $A$ 所包含的最大的开集。对称地，包含 $A$ 的最小的闭集被称为 $A$ 的闭包（closure），记为 $\bar{A}$ 。闭包很容易得到：

定理 1　

　　给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$ ，则有 $\bar{A} = A \cup A^{'}$ 。

推论 1　

　　考虑到 $A$ 的边界点要么在 $A$ 中，要么是 $A$ 的聚点； $A$ 的聚点要么在 $A$ 中，要么是 $A$ 的边界点；故 $\bar{A}$ 等于 $A$ 和 $A$ 的边界的并。

　　以区间作为例子：如果 $A = (0, 1)$ ，那么 $A^{'} = [0, 1]$ ， $\bar{A} = [0, 1]$ 。

　　以圆盘作为例子：如果 $D = {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} < 1}$ ，那么 $D^{'} = \bar{D} = {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 1}$ 。尝试在 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的圆盘上添加部分点进 $D$ ，得到的 $D$ 还是具有相同的闭包。这是因为这些添加的点都是在最初的 $D$ 的边界上的。

3. 稀疏和稠密

预备知识 2　集合的极限

　　给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$ ，如果 $A^{\circ} = \emptyset$ ，即 $A$ 没有内点，那么称 $A$ 是稀疏（sparse）的；如果 $\bar{A} = B \subset X$ ，也就是说 $B$ 是 $A$ 和 $A$ 的边界的并，那么称 $A$ 在 $B$ 中是稠密（dense）的。

　　无论取什么开集，它都不可能被稀疏的集合完全包含，总有遗漏的点，所以有了 “稀疏” 的名称。而当 $A$ 在 $B$ 中稠密时，不可能找一个开集来圈出 $B$ 中完全和 $A$ 不相交的一块区域，所以有了 “稠密” 的名称。

　　全体有理数的集合 $Q$ 在 $R$ 中既稠密，又稀疏。

例 2　Cantor 集

　　令 $A_{0} = [0, 1]$ ，也就是说， $A_{0}$ 是一段长度为 $1$ 的线段。把这条线段的中间挖去 $1 / 3$ ，得到 $A_{1} = [0, 1 / 3] \cup [2 / 3, 1]$ 。现在 $A_{1}$ 有了两段长为 $1 / 3$ 的线段，同样地，分别挖去它们中间的 $1 / 3$ ，得到 $A_{2}$ 。以此类推， $A_{n}$ 有 $2^{n}$ 条长度为 $1 / 3^{n}$ 的线段，把每条线段的中间挖掉 $1 / 3$ ，就可以得到 $A_{n + 1}$ 。取这一列集合的极限 $C = lim_{n \to \infty} A_{n}$ ，所得到的 $C$ 被称为Cantor 集，这是一个非常重要的集合，常用来作特例来阐释各种集合的性质。

　　这是一个稀疏集，同时又是一个完备集（perfect set）³另外，在测度论中，这个集合的测度是 0.

1. ^ 有的教材中， $A^{'}$ 代表的是补集，但在小时百科中我们使用 $A^{C}$ 表示补集了，于是 $A^{'}$ 可以腾出来表示导集。
2. ^ 事实上，一种常见的表达方式是在 “邻域” 两字前加其它修饰，这样表达的往往不是邻域（即不是开集），而是包含某个邻域的集合。“紧邻域” 表示包含一个邻域的紧集，“闭邻域” 表示包含一个邻域的闭集，它们往往都不是开集，从而不是邻域。
3. ^ 导集还是自身的集合，称为完备集或者完美集。

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点集的内部、外部和边界

1. 基本概念

定义 1

习题 1

例 1

习题 2

定义 2 邻域

2. 闭包

定理 1

推论 1

3. 稀疏和稠密

例 2 Cantor 集

定义 1　

习题 1　

例 1　

习题 2　

定义 2　邻域

定理 1　

推论 1　

例 2　Cantor 集