点集的内部、外部和边界

                     

贡献者： JierPeter

预备知识 1　拓扑空间

　　 拓扑空间定义了什么样的集合算开集，而开集的补集被称为闭集。除此之外，还有一些集合是既不开也不闭的。比如说，在 $\mathcal{R}$ 上定义的度量拓扑中，开区间都是开集，闭区间和孤立点都是闭集，但是半开半闭区间两者都不属于。

1. 基本概念

定义 1　

　　 给定拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$ 以及它的一个子集 $A$。

  • 如果对于 $x\in X$，存在一个开集 $V\in \mathcal{T}$ 使得 $x\in V\subset A$，那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个内点（interior point）。
  • 如果存在一个开集 $V\in \mathcal{T}$ 使得 $x\in V\subset A^C$，那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个外点（exterior point）。
  • 如果一个 $x$ 既不是 $A$ 的外点也不是内点，那么称 $x$ 是 $A$ 的一个边界点（boarder point）。
  • 全体内点构成的集合，称为 $A$ 的内部（interior），记为 $A^\circ$。
  • 全体外点构成的集合，称为 $A$ 的外部（exterior）。
  • 全体边界点构成的集合，称为 $A$ 的边界（boarder）。
  • 如果包含点 $x\in X$ 的任何开集 $U_x$，都含有和 $x$ 不相同的、$A$ 的元素：$(U_x-\{x\})\cap A\not=\varnothing$，那么我们说 $x$ 是 $A$ 的一个聚点或者极限点（limit point）。

　　 外点就是 “补集的内点”。

　　 聚点的概念在数学分析和高等微积分里就会出现。在微积分中，一个集合 $A\subset\mathbb{R}$ 的聚点 $x$，就是不管取多小的 $r>0$ 作为半径，总有某个不是$x$ 的点 $x_r\in A$ 落在 $(x-r, x)\cup(x, x+r)$ 里面。$A$ 自己的点 $x\in A$ 当然是 $A$ 的聚点，但是 $x\not\in A$ 也可以是聚点。比如说，区间 $(0,1)$ 的全体聚点构成的集合，就是 $[0,1]$。

　　 有了这些定义，我们就可以更直观地理解开集和闭集了：

习题 1　

　　 给定 $(X, \mathcal{T})$ 以及它的一个子集 $A$。那么，$A$ 是开集当且仅当 $A$ 的点都是内点；$A$ 是闭集当且仅当 $A$ 的聚点都在 $A$ 里。证明留做习题。

　　 同样地，使用区间为例子来理解开集、闭集和内点、聚点的关系会非常直观。

　　 由定义，对于任何拓扑空间的子集 $A$，外点都不是聚点，因此聚点要么是内点、要么是边界点。

　　 对于 $A$，它的聚点构成的集合被称为 $A$ 的导出集（induced set）或者导集，在小时百科中记为1$A'$。

例 1　

  • 令 $A=\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{Z}^+\}$，那么 $A'=\{0\}$。
  • 令 $A=(0,1)\cup(1,2)$，那么 $A'=[0,2]$

习题 2　

　　 证明：任何集合的导集都是闭集。

　　 在数学分析中，我们会使用包含点 $x$ 的任意长度的开区间，来描述 $x$ 的 “附近”。这一概念在拓扑学中被拓展为 “邻域”：

定义 2　邻域

　　 给定拓扑空间 $X$ 和 $x\in X$，则任意开集 $U_x\ni x$，被称为 $x$ 的一个邻域（neighborhood）。

　　 注意，这里定义的邻域必须是开集。在紧致性一节中，我们会提到一个容易混淆的概念，“紧邻域”，它并不一定是开集，因此不一定是邻域。紧邻域的名字是有些混淆，但是没有办法，约定俗成这么叫了2。

2. 闭包

　　 给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$，那么 $A^\circ$ 是 $A$ 所包含的最大的开集。对称地，包含 $A$ 的最小的闭集被称为 $A$ 的闭包（closure），记为 $\bar{A}$。闭包很容易得到：

定理 1　

　　 给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$，则有 $\bar{A}=A\cup A'$。

推论 1　

　　 考虑到 $A$ 的边界点要么在 $A$ 中，要么是 $A$ 的聚点；$A$ 的聚点要么在 $A$ 中，要么是 $A$ 的边界点；故 $\bar{A}$ 等于 $A$ 和 $A$ 的边界的并。

　　 以区间作为例子：如果 $A=(0,1)$，那么 $A'=[0,1]$，$\bar{A}=[0,1]$。

　　 以圆盘作为例子：如果 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2<1\}$，那么 $D'=\bar{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq1\}$。尝试在 $x^2+y^2=1$ 的圆盘上添加部分点进 $D$，得到的 $D$ 还是具有相同的闭包。这是因为这些添加的点都是在最初的 $D$ 的边界上的。

3. 稀疏和稠密

预备知识 2　集合的极限

　　 给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$，如果 $A^\circ=\varnothing$，即 $A$ 没有内点，那么称 $A$ 是稀疏（sparse）的；如果 $\bar{A}=B\subset X$，也就是说 $B$ 是 $A$ 和 $A$ 的边界的并，那么称 $A$ 在 $B$ 中是稠密（dense）的。

　　 无论取什么开集，它都不可能被稀疏的集合完全包含，总有遗漏的点，所以有了 “稀疏” 的名称。而当 $A$ 在 $B$ 中稠密时，不可能找一个开集来圈出 $B$ 中完全和 $A$ 不相交的一块区域，所以有了 “稠密” 的名称。

　　 全体有理数的集合 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中既稠密，又稀疏。

例 2　Cantor 集

　　 令 $A_0=[0,1]$，也就是说，$A_0$ 是一段长度为 $1$ 的线段。把这条线段的中间挖去 $1/3$，得到 $A_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$。现在 $A_1$ 有了两段长为 $1/3$ 的线段，同样地，分别挖去它们中间的 $1/3$，得到 $A_2$。以此类推，$A_n$ 有 $2^n$ 条长度为 $1/3^n$ 的线段，把每条线段的中间挖掉 $1/3$，就可以得到 $A_{n+1}$。取这一列集合的极限 $C=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$，所得到的 $C$ 被称为Cantor 集，这是一个非常重要的集合，常用来作特例来阐释各种集合的性质。

　　 这是一个稀疏集，同时又是一个完备集（perfect set）3另外，在测度论中，这个集合的测度是 0.

1. ^ 有的教材中，$A'$ 代表的是补集，但在小时百科中我们使用 $A^C$ 表示补集了，于是 $A'$ 可以腾出来表示导集。
2. ^ 事实上，一种常见的表达方式是在 “邻域” 两字前加其它修饰，这样表达的往往不是邻域（即不是开集），而是包含某个邻域的集合。“紧邻域” 表示包含一个邻域的紧集，“闭邻域” 表示包含一个邻域的闭集，它们往往都不是开集，从而不是邻域。
3. ^ 导集还是自身的集合，称为完备集或者完美集。


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