点集的内部、外部和边界

             

预备知识 拓扑空间

   拓扑空间定义了什么样的集合算开集,而开集的补集被称为闭集.除此之外,还有一些集合是既不开也不闭的.比如说,在 $\mathcal{R}$ 上定义的度量拓扑中,开区间都是开集,闭区间和孤立点都是闭集,但是半开半闭区间两者都不属于.

1. 基本概念

定义 1 

   给定拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$ 以及它的一个子集 $A$.

  • 如果对于 $x\in X$,存在一个开集 $V\in \mathcal{T}$ 使得 $x\in V\subset A$,那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个内点(interior point)
  • 如果存在一个开集 $V\in \mathcal{T}$ 使得 $x\in V\subset A^C$,那么称这个 $x$ 是 $A$ 的一个外点(exterior point)
  • 如果一个 $x$ 既不是 $A$ 的外点也不是内点,那么称 $x$ 是 $A$ 的一个边界点(boarder point)
  • 全体内点构成的集合,称为 $A$ 的内部(interior),记为 $A^\circ$.
  • 全体外点构成的集合,称为 $A$ 的外部(exterior)
  • 全体边界点构成的集合,称为 $A$ 的边界(boarder)
  • 如果包含点 $x\in X$ 的任何开集 $U_x$,都含有和 $x$ 不相同的、$A$ 的元素:$(U_x-\{x\})\cap A\not=\varnothing$,那么我们说 $x$ 是 $A$ 的一个聚点或者极限点(limit point)

   外点就是 “补集的内点”.

   聚点的概念在数学分析和高等微积分里就会出现.在微积分中,一个集合 $A\subset\mathbb{R}$ 的聚点 $x$,就是不管取多小的 $r > 0$ 作为半径,总有某个 $A$ 中的点 $x_r$ 落在 $(x-r, x+r)$ 里面.$A$ 自己的点 $x\in A$ 当然是 $A$ 的聚点,但是 $x\not\in A$ 也可以是聚点.比如说,区间 $(0,1)$ 的全体聚点构成的集合,就是 $[0,1]$.

   有了这些定义,我们就可以更直观地理解开集和闭集了:

习题 1 

   给定 $(X, \mathcal{T})$ 以及它的一个子集 $A$.那么,$A$ 是开集当且仅当 $A$ 的点都是内点;$A$ 是闭集当且仅当 $A$ 的聚点都在 $A$ 里.证明留做习题.

   同样地,使用区间为例子来理解开集、闭集和内点、聚点的关系会非常直观.

   由定义,对于任何拓扑空间的子集 $A$,外点都不是聚点,但边界点和内点都是聚点;内点都是 $A$ 的点,但边界点不一定是.这么一来,计算边界点的方法,就是求出所有聚点,再减去所有内点即可.

   对于 $A$,它的聚点构成的集合被称为 $A$ 的导出集(induced set)或者导集,在本书中记为1$A'$.

例 1 

  • 令 $A=\{\frac{1}{n}|n\in\mathbb{Z}^+\}$,那么 $A'=\{0\}$.
  • 令 $A=(0,1)\cup(1,2)$,那么 $A'=[0,2]$

习题 2 

   证明:任何集合的导集都是闭集.

   在数学分析中,我们会使用包含点 $x$ 的任意长度的开区间,来描述 $x$ 的 “附近”.这一概念在拓扑学中被拓展为 “邻域”:

定义 2 邻域

   给定拓扑空间 $X$ 和 $x\in X$,则任意开集 $U_x\ni x$,被称为 $x$ 的一个邻域(neighborhood)

   注意,这里定义的邻域必须是开集.在紧致性一节中,我们会提到一个容易混淆的概念,“紧邻域”,它并不一定是开集,因此不一定是邻域.紧邻域的名字是有些混淆,但是没有办法,约定俗成这么叫了2

2. 闭包

   给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$,那么 $A^\circ$ 是 $A$ 所包含的最大的开集.对称地,包含 $A$ 的最小的闭集被称为 $A$ 的闭包(closure),记为 $\bar{A}$.闭包很容易得到:

定理 1 

   给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$,则有 $\bar{A}=A\cup A'$.

推论 1 

   考虑到 $A'-A^\circ$ 是 $A$ 的边界,故 $\bar{A}$ 等于 $A$ 和 $A$ 的边界的并.

   以区间作为例子:如果 $A=(0,1)$,那么 $A'=[0,1]$,$\bar{A}=[0,1]$.

   以圆盘作为例子:如果 $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2 < 1\}$,那么 $D'=\bar{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq1\}$.尝试在 $x^2+y^2=1$ 的圆盘上添加部分点进 $D$,得到的 $D$ 还是具有相同的闭包.这是因为这些添加的点都是在最初的 $D$ 的边界上的.

3. 稀疏和稠密

预备知识 集合的极限

   给定任意拓扑空间 $X$ 的任意子集 $A$,如果 $A^\circ=\varnothing$,即 $A$ 没有内点,那么称 $A$ 是稀疏(sparse)的;如果 $\bar{A}=B\subset X$,也就是说 $B$ 是 $A$ 和 $A$ 的边界的并,那么称 $A$ 在 $B$ 中是稠密(dense)的.

   无论取什么开集,它都不可能被稀疏的集合完全包含,总有遗漏的点,所以有了 “稀疏” 的名称.而当 $A$ 在 $B$ 中稠密时,不可能找一个开集来圈出 $B$ 中完全和 $A$ 不相交的一块区域,所以有了 “稠密” 的名称.

   全体有理数的集合 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中既稠密,又稀疏.

例 2 Cantor 集

   令 $A_0=[0,1]$,也就是说,$A_0$ 是一段长度为 $1$ 的线段.把这条线段的中间挖去 $1/3$,得到 $A_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$.现在 $A_1$ 有了两段长为 $1/3$ 的线段,同样地,分别挖去它们中间的 $1/3$,得到 $A_2$.以此类推,$A_n$ 有 $2^n$ 条长度为 $1/3^n$ 的线段,把每条线段的中间挖掉 $1/3$,就可以得到 $A_{n+1}$.取这一列集合的极限 $C=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$,所得到的 $C$ 被称为Cantor 集,这是一个非常重要的集合,常用来作特例来阐释各种集合的性质.

   这是一个稀疏集,同时又是一个完备集(perfect set)3另外,在测度论中,这个集合的测度是 0.


1. ^ 有的教材中,$A'$ 代表的是补集,但在本书中我们使用 $A^C$ 表示补集了,于是 $A'$ 可以腾出来表示导集.
2. ^ 事实上,一种常见的表达方式是在 “邻域” 两字前加其它修饰,这样表达的往往不是邻域(即不是开集),而是包含某个邻域的集合.“紧邻域” 表示包含一个邻域的紧集,“闭邻域” 表示包含一个邻域的闭集,它们往往都不是开集,从而不是邻域.
3. ^ 导集还是自身的集合,称为完备集或者完美集.

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