拉回映射

贡献者：叶月2_

预备知识　伴随映射

本文处于草稿阶段。

　　设 $f:M\rightarrow N$ 是光滑映射，则可以定义切空间之间前推映射：

\begin{equation} f_*: T_p M\rightarrow T_{f(p)}N~, \end{equation}

切空间是线性空间，因此可以诱导其对偶空间上的伴随映射（或称对偶映射）。简写该伴随映射为 $f^*$：

\begin{equation} f^*\equiv(f_*)^*:\,T^*_f(p)N\rightarrow T_p^*M~, \end{equation}

使得其满足伴随映射的基本定义，即对于任意 $X\in T_p M,\eta\in T^*_{f(p)}N$ 有：

\begin{equation} f^*(\eta)X=f_*(X)\eta~. \end{equation}

一般称如上定义的伴随映射为伴随 $f$ 的拉回（pull-back），以示其把 $N$ 上的余切向量 “拉回” 到 $M$ 上这一特点。

　　既然拉回映射是把余切向量映射为余切向量，自然也可以拉回 $N$ 上的余切向量场。

引理 1　

　　设 $g\in C^{\infty }N,\sigma$ 是 $N$ 上的光滑余切场，则有

$f^*(dg)=d(g\circ f).$
$f^*(g\sigma)=(g\circ f)f^*\sigma$

　　 proof.

　　设任意 $X\in T_pM$，由拉回定义得：$f^*(dg)X=dgf_*(X)$。又因为 $f_*(X)$ 是 $N$ 上的切向量，则由函数微分及前推的定义得：$dgf_*(X)=f_*(X)g=X(g\circ f)=d(g\circ f)X$，第一条得证；

　　同理可证第二条如下：

\begin{equation} \begin{aligned} f^*(g\sigma)|_pX&=(g\sigma)|_{f(p)}f_*(X)\\ &=g|_{f(p)}f^*(\sigma)X\\ &=(g\circ f)f^*(\sigma)X \end{aligned} ~, \end{equation}

定理 1　

　　伴随光滑映射的拉回映射把光滑余切场映射为光滑余切场。

　　 proof.

　　设 $f:M\rightarrow N$ 为光滑映射，$\sigma$ 为 $N$ 上的光滑余切场，$\{dy^i\}$ 为 $N$ 上的局部余切基¹。则可以将光滑余切场表示为 $\sigma=\sum_i\sigma_idy^i $，分量均为光滑函数。由引理 1 得：

\begin{equation} f^*(\sigma)=f^*(\sum_i\sigma_idy^i)=\sum_i(\sigma_i\circ f)f^*(dy^i)=\sum_i(\sigma_i\circ f)d(y^i\circ f)~, \end{equation}

因为光滑映射的复合是光滑的，所以 $f^*(\sigma)$ 是光滑的，得证。

张量场的拉回

　　类比余切向量场，我们可以定义张量场的拉回。如果流形间的映射和张量场都是光滑的，通过对应的拉回映射，我们可以得到另一个光滑张量场。

定义 1　

　　设 $f:M\rightarrow N$ 为光滑映射，$\sigma$ 是 $N$ 上的 $k$ 阶光滑张量场。定义 $f^*\sigma$ 使得：

\begin{equation} f^*\sigma(X_1,X_2...X_k)=\sigma|_{f(p)}(f_*X_1,f_*X_2...,f_*X_k)~, \end{equation}

称 $f^*\sigma$ 为 $\sigma$ 的拉回。

习题 1　

　　设 $F:M\rightarrow N$ 和 $G:N\rightarrow P$ 都是光滑映射，$\sigma,\tau$ 分别是 $N$ 上的 $k$ 阶，$l$ 阶光滑张量场，$h\in C^{\inf}N$。证明下述结论：

拉回映射 $F^*$ 是 $\mathbb R$线性及 $C^{\infty }(N)$ 线性的。也就是说，对于任意 $k\in \mathbb R,h$ 有：$F^*(k\sigma)=kF^*(\sigma),F^*(h\sigma)=h(F^*\sigma)$。
复合映射的拉回可以表示为拉回映射的复合。即：$(F\circ G)^{*}=G^*\circ F^*$。
单位映射的拉回还是单位映射。$ \operatorname {Id}^*\tau=\tau$

习题 2　

　　证明：光滑张量场的拉回还是光滑的。

　　提示：只需要证明其分量光滑即可。

微分形式的拉回

　　作为交错张量，微分形式也是可以被拉回的。

定义 2　

　　设 $f:M\rightarrow N$ 是光滑映射，$\omega$ 是 $N$ 上的 $k$ 次微分形式，则可以定义微分形式的拉回，使之也是微分形式，满足对于任意 $M$ 上的一组切向量 $(X_1,X_2...X_k)$ 有：

\begin{equation} f^*(\omega)(X_1,X_2...X_k)=\omega(f_*(X_1),f_*(X_2)...f_*(X_k))~. \end{equation}

　　由于微分形式的外积依然是微分形式，因此也可以被 “拉回”。

定理 2　

　　若 $f:M\rightarrow N$ 是光滑的，$\omega,\eta$ 是 $N$ 上的微分形式。那么有：

$f^*(\omega\wedge \eta)=f^*(\omega)\wedge f^*(\eta)$，即保微分形式的外代数同态。
给定一个 $N$ 上的一个局部余切基 $\{dy^{i_1}\}$，定义 $k$ 形式 $\omega$ 为 $\omega=\sum_I\omega_I dy^{i_1}\wedge dy^{i_2}...\wedge dy^{i_k}$，则有：
\begin{equation} f^*(\omega)=\sum_I (\omega_I\circ f)d(y^{i_1}\circ f)\wedge...d(y^{i_k}\circ f)~. \end{equation}

　　 proof.

　　因为楔积是双线性的，因此我们只需要证明第一条对微分形式的基成立即可。设 $\omega$ 是 $k$ 形式，对应的基为 $\{\varepsilon^I\},I=\{i_1,i_2...i_k\}$，$\eta$ 是 $l$ 形式，对应的基为 $\{\varepsilon^J\},J=\{j_1,j_2...j_l\}$。简化左侧表达式为：

\begin{equation} f^*(\varepsilon^I\wedge \varepsilon^J)(X_{1},X_{2}...X_{k+l})=\varepsilon^I\wedge \varepsilon^J(f_*(X_{1}),f_*(X_{2})...f_*(X_{k+l}))~. \end{equation}

根据张量的外积定义，可简化右侧的表达式为：

\begin{equation} \begin{aligned} f^*(\varepsilon^I)\wedge f^*(\varepsilon^J)(X_{1},X_{2}...X_{k+l})&=\frac{(k+l)!}{k!l!} \operatorname {Alt}(f^*(\varepsilon^I)\otimes f^*(\varepsilon^J))(X_{1},X_{2}...X_{k+l})\\ &=\frac{1}{k!l!} \operatorname {sgn}\sigma^I \operatorname {sgn}\sigma^Jf^*(\varepsilon^I)(X_1,X_2...X_k)f^*(\sigma^J)(X_{k+1},X_{K+2}...X_{k+l})\\ &= \operatorname {Alt}\varepsilon^I(f_*(X_1),f_*(X_2)...f_*(X_k)) \operatorname {Alt}\varepsilon^J(f_*(X_1),f_*(X_2)...f_*(X_{k+l}))\\ &=\varepsilon^I\wedge\varepsilon^J(f_*(X_{1}),f_*(X_{2})...f_*(X_{k+l}))~. \end{aligned} \end{equation}

现证第二条。由第一条得：

\begin{equation} f^*(\omega)=\sum_If^*(\omega_I dy^{i_1} )\wedge f^*(dy^{i_2})...\wedge f^*(dy^{i_k})~. \end{equation}

　　因为 $dy^{i_k}$ 是光滑余切场，由引理 1 得：$f^*(\omega_I)dy^{i_1}=(\omega\circ f)d(y^{i_1}\circ f)$ 且 $f^*(dy^{i_k})=d(y^{i_k}\circ f)$，代入上式即可得证。

定理 3　

　　令 $f:M\rightarrow N$ 是 n 维微分流形之间的光滑映射。设 $\{x_i\}$ 为 $U\subset M$ 上的局部坐标系，$\{y_i\}$ 是 $V\subset N$ 上的局部坐标系，$u$ 是 $V$ 上的光滑函数。那么在 $U\cap F^{-1}(V)$ 上有：

\begin{equation} f^*\left(u d y^1 \wedge \cdots \wedge d y^n\right)=(u \circ f) \operatorname{det}\left(\frac{\partial f^j}{\partial x^i}\right) d x^1 \wedge \cdots \wedge d x^n~. \end{equation}

　　 proof.

　　由定理 2 得：

\begin{equation} f^*\left(u d y^1 \wedge \cdots \wedge d y^n\right)=(u \circ f) df^1\wedge df^2\wedge ...\wedge df^n~, \end{equation}

又因为 $df^i=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}dx^j$，结合楔积的反对称性可知：

\begin{equation} df^1\wedge df^2\wedge ...\wedge df^n=\operatorname{det}\left(\frac{\partial f^j}{\partial x^i}\right) d x^1 \wedge \cdots \wedge d x^n~. \end{equation}

代入式 13 得证。

1. ^ $y^i:V\subset N\rightarrow R$ 是对应坐标卡的坐标函数

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