费米黄金法则

                     

贡献者: addis

预备知识 几种含时微扰

  1使用含时微扰法,方形脉冲的跃迁率为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f) \end{equation}
若加上简谐调制,则需要除以 4 得到每个方向的跃迁概率.这叫做费米黄金法则(Fermi's Golden rule)

   其中 $\rho$ 是能级密度.若末态处于连续态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 中(例如平面波或库伦平面波),归一化条件 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ')$,那么

\begin{equation} \rho(E_f) = \frac{4\pi k_f^2 \,\mathrm{d}{k_f} }{ \,\mathrm{d}{E_f} } = \frac{4\pi m k_f}{\hbar^2} = \frac{4\pi m}{\hbar^2}\sqrt{2mE_f} \end{equation}
未完成:使用氢原子的光电离的例子来验证.

1. 方形脉冲

   方形脉冲(式 8

\begin{equation} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{\hbar^2} \Delta t^2 \operatorname{sinc} ^2[\omega_{fi}\Delta t/2] \end{equation}
当 $\Delta t$ 变大的时候,$ \operatorname{sinc} ^2$ 函数趋近于 $\delta$ 函数(式 4 ).
\begin{equation} \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}\mp\omega)\Delta t/2] \to \frac{2\pi\hbar}{\Delta t}\delta(E_f - E_i \mp \omega\hbar) \end{equation}
$E_i=E_f$ 附近的态能量密度为 $\rho(E_f)$,那么总跃迁概率约等于
\begin{equation} \Delta P = \rho(E_f)\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{E_f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f)\Delta t \end{equation}
跃迁率(transition rate),即单位时间的概率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{2\pi}{\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_f) \end{equation}

2. 方形脉冲中的简谐微扰

   方形脉冲中的简谐微扰(式 14

\begin{equation} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 = \frac{ \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2}{4\hbar^2} \Delta t^2 \{ \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}-\omega)\Delta t/2] + \operatorname{sinc} ^2[(\omega_{fi}+\omega)\Delta t/2]\} \end{equation}

   若 $E_{f0} = E_i \pm \omega\hbar$ 附近的态能量密度为 $\rho(E_{f0})$,那么总跃迁概率约等于

\begin{equation} \Delta P = \rho(E_{f0})\int_{E_{f0}-\epsilon}^{E_{f0}+\epsilon} \left\lvert c_i(t) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{E_f} = \frac{\pi}{2\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_{f0})\Delta t \end{equation}
每个方向的跃迁率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{P}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\pi}{2\hbar} \left\lvert W_{fi} \right\rvert ^2\rho(E_{f}) \end{equation}


1. ^ 参考 [33] 以及 Wikipedia 相关页面


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