相空间

             

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1. 单个粒子的相空间

   单个粒子(看做质点)的状态可以由 3 个位置坐标 $(x,y,z)$ 和三个动量坐标 $(p_x, p_y, p_z)$ 来描述,为了便于拓展到一般情况,我们用 $q_1 \equiv x$, $q_2 \equiv y$,$q_3 \equiv z$ 和 $p_1 \equiv p_x$,$p_2 \equiv p_y$,$p_3 \equiv p_z$ 表示.想象一个由 3 个 $q_i$ 坐标和 3 个 $p_i$ 坐标组成的 $6$ 维空间(这就是单个粒子的相空间),体积元定义为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\Omega_1} = \,\mathrm{d}{q_1} \,\mathrm{d}{q_2} \,\mathrm{d}{q_3} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{p_1} \,\mathrm{d}{p_2} \,\mathrm{d}{p_3} \end{equation}
为了方便表示,简写为 $d{\Omega_1} = \,\mathrm{d}^{3}{q} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}^{3}{p} $.
\begin{equation} \Omega_1 = \int_{\Omega_1} \,\mathrm{d}^{3}{q} \,\mathrm{d}^{3}{p} \end{equation}
积分对所有可能的 $q_i$ 和 $p_i$ 进行.例如粒子若被限制在一个长宽高分别为 $L_x, L_y, L_z$ 的盒子里,而动量没有限制,那么上面积分变为
\begin{equation} \Omega_1 = \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} \int_0^{L_z} \int \,\mathrm{d}{q_1} \,\mathrm{d}{q_2} \,\mathrm{d}{q_3} \,\mathrm{d}^{3}{p} = L_x L_y L_z\int \,\mathrm{d}^{3}{p} \end{equation}

   根据量子力学粒子坐标的不确定度 $\Delta q$ 和与之共轭的动量的不确定度 $\Delta p$ 满足 $\Delta q\Delta p\approx h$,因此一个状态实际上对应着相空间的相格,其体积为 $h^3$,所以(这里只提供一种理解,不是证明)一个小体积元中的微观状态数可以表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{\Omega} =\frac{1}{h^3} \,\mathrm{d}{q_1} \,\mathrm{d}{q_2} \,\mathrm{d}{q_3} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{p_1} \,\mathrm{d}{p_2} \,\mathrm{d}{p_3} \end{equation}

2. 相空间

   经典力学中,对于 $N$ 个粒子(看作质点)的系统,可以用 $3N$ 个位置坐标和 $3N$ 个动量坐标来完全描述系统的状态.则相空间为 $6N$ 维空间.用 $f$ 表示系统的自由度(在这里 $f=3N$),$q_1,q_2,\cdots,q_f$ 为它的 $N$ 个广义坐标,$p_1,p_2,\cdots,p_f$ 为与其共轭的广义动量,那么以 $q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f$ 共 $2f$ 个变量为直角坐标构成的 $2f$ 维相空间.

   系统在某一时刻的运动状态 $q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f$ 可用相空间中的一点表示,称为系统运动状态的代表点

   系统的运动状态随时间而变,遵从哈密顿正则方程:

\begin{equation} \dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i},\ \dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\ i=1,2,\cdots,f \end{equation}

   其中 $H$ 为系统的哈密顿量.对于保守系统,哈密顿量就是它的能量,包括粒子的动能,粒子相互作用的势能和在保守外场中的势能.它是 $q_1,\cdots,q_f,p_1,\cdots,p_f$ 的函数,当存在外场时还是外场参量的函数,但不是时间 $t$ 的显函数.当系统运动状态随时间变化,式 5 决定了代表点在相空间中的运动轨道.轨道是永不自交的曲线(可能是封闭曲线),不同的轨道也互不相交.

   对于孤立系统,能量 $E$ 不随时间改变,那么哈密顿量 $H(q_1,\cdots,q_f;p_1,\cdots,p_f)=E$ 确定了相空间中的一个曲面,称为 能量曲面

   现在考虑由 $N$ 个全同粒子组成的系统,那么在计算微观状态数时我们需要除以 $N!$:

\begin{equation} \Omega =\frac{1}{N!h^{3N}} \int { \,\mathrm{d}{}} ^{3N} q { \,\mathrm{d}{}} ^{3N} p \end{equation}

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