辛流形

贡献者： JierPeter; Giacomo

1. 引入的动机

　　 辛流形是经典力学研究中自然出现的几何结构。

　　 要描述质点组成的系统所处的状态，只需要知道每个质点的速度和位置（拉格朗日力学），或者动量和位置（哈密顿力学）；这篇文章我们考虑动量和位置。一个系统的所有可能的状态构成的集合被称为相空间（phase space），它是一个微分流形。

　　 对于自由质点，它的相空间是一个欧几里得空间，具体地，$M$ 维空间中的 $N$ 个自由质点构成的系统，其相空间是 $M^{2 N}$ 维欧几里得空间。

　　 但是如果存在约束，那么系统的相空间一般来说不是欧几里得空间。比如说，一个 $3$ 维空间中的自由质点，其相空间是 $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3$，即描述其位置需要一个 $\mathbb{R}^3$、描述动量又需要一个 $\mathbb{R}^3$，合起来就是一个 $6$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^6$。但如果此质点被固定在轻质杆的一端，而杆的另一端在某惯性系中固定不动，那么其相空间就是 $S^2$ 的余切丛 $T^* S^2$¹。$S^2$ 描述的是质点的位置，这是一个流形。

　　 一般地，系统的相空间是一个 $2N$ 维流形，此流形是一个 $N$ 维流形上的余切丛。

　　 有了描述状态的相空间，我们还需要描述系统的相点运动规律，那就是牛顿三定律，我们写为哈密顿正则方程的形式：

　　 由式 1 可见，决定系统状态随时间变化的是哈密顿函数，它是定义在相空间上的一个函数。以相空间上各点为起点，系统状态随时间的变化构成一族曲线，相空间上每一点处都由过这点的曲线定义了一个切向量。综上，哈密顿函数定义了一个相空间上的切向量场，称为该函数决定的哈密顿向量场（Hamiltonian flow）。那么函数如何与一个切向量场联系起来呢？

　　 给定流形上的可微函数 $f$，我们总能找到与之关联的一个余切向量场 $ \,\mathrm{d}{f} $，定义为：对于任意切向量场 $X$，都有 $Xf = (X, \,\mathrm{d}{f} )$，这里 $(X, \,\mathrm{d}{f} )$ 表示切场与余切场之间的作用。一般的流形是无法把函数和切场联系起来的，本质上是因为对偶空间之间没有自然同构。

　　 要建立对偶空间之间的自然同构，只需要给这对对偶空间定义一个度量即可。在线性空间 $V$ 上定义度量 $g$ 后，就可以把 $V^*$ 中的 $\phi$ 对应到 $V$ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，方式是：$\phi( \boldsymbol{\mathbf{u}} )=g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )$ 对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$ 成立。这个自然同构，就是所谓的指标升降。用指标表示法，主空间 $V$ 中的向量表示为 $v^i$ 和 $u^i$，度量就表示为 $g_{ij}$，于是内积表示为 $g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )=g_{ij}v^iu^j$，所以用内积定义的 $v^i$ 的对应，就是 $v_i=v^jg_{ij}$，于是 $v_iu^i=g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )$，所以 $v_i$ 就是上面说的对偶向量 $\phi$。

　　 对于一对对偶空间，给定其中之一 $V$ 的度量，也就自然给出了 $V^*$ 上的对偶度量。用指标的语言来说，就是如果给定了 $g_{ij}$，那么可以通过 $g^{ik}g_{jk}=\delta^i_j$ 来定义 $g^{ij}$。不用指标的话，也可以说给定 $V$ 的标准正交基，则它的对偶基也是 $V^*$ 的标准正交基，以此来定义 $V^*$ 上的度量。

　　 现在定义相空间流形上的度量，使得哈密顿函数对应到我们之前定义哈密顿向量场上，方式是函数先自然对应一个余切场，然后再利用度量把余切场升指标为哈密顿向量场。这一度量就被称为 “辛形式（symplectic form）”。配备了辛形式的流形，就叫做 “辛流形（symplectic manifold）”。

　　 需要注意的是，辛形式违反正定性和对称性，故不是通常意义上的度量，但依然可以发挥度量的作用来建立切丛和余切丛之间的同构，或者说进行指标升降。

2. 辛流形的构造

　　 所谓 “非退化”，就是说在辛流形上各点处任取一个非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，则 $\omega( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} )\neq 0$。所谓 “闭”，就是说 $ \,\mathrm{d}{\omega} =0$。

　　 辛流形上处处存在局部坐标系，使得此坐标系中，函数 $H$ 的哈密顿向量场的坐标表示正如式 1 描述。

1. ^ 实际上这是切丛（位置-速度空间）的定义，但