辛流形

                     

贡献者: JierPeter

1. 引入的动机

   辛流形是经典力学研究中自然出现的几何结构。

   要描述质点组成的系统所处的状态,只需要知道每个质点的速度和位置,或者动量和位置。自由质点组成的系统,其所有可能的状态构成的相空间(phase space)是一个欧几里得空间。具体地,$M$ 维空间中的 $N$ 个自由质点构成的系统,其相空间是 $M^N$ 维欧几里得空间

   但是如果存在约束,那么系统的相空间一般来说不是欧几里得空间。比如说,一个 $3$ 维空间中的自由质点,其相空间就是 $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3$,即描述其位置需要一个 $\mathbb{R}^3$、描述动量又需要一个 $\mathbb{R}^3$,合起来就是一个 $6$ 维欧几里得空间 $\mathbb{R}^6$。但如果此质点被固定在轻质杆的一端,而杆的另一端在某惯性系中固定不动,那么其相空间就是 $S^2\times \mathbb{R}^2$,或者更准确地,$T^* S^2$。$S^2$ 描述的是质点的位置,这是一个流形;而 $\mathbb{R}^2$ 则是 $S^2$ 的余切空间

   一般地,系统的相空间是一个 $2N$ 维流形,此流形是一个 $N$ 维流形上的余切丛

   有了描述状态的相空间,我们还需要描述系统的相点运动规律,那就是牛顿三定律,我们写为哈密顿正则方程的形式:

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{q} _i}{ \,\mathrm{d}{t} } &= \frac{\partial H}{\partial p_i}\\ \frac{ \,\mathrm{d}{p} _i}{ \,\mathrm{d}{t} } &= -\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{aligned} \right. \end{equation}

   由式 1 可见,决定系统状态随时间变化的是哈密顿函数,它是定义在相空间上的一个函数。以相空间上各点为起点,系统状态随时间的变化构成一族曲线,相空间上每一点处都由过这点的曲线定义了一个切向量。综上,哈密顿函数定义了一个相空间上的切向量场,称为该函数决定的哈密顿向量场(Hamiltonian flow)。那么函数如何与一个切向量场联系起来呢?

   给定流形上的可微函数 $f$,我们总能找到与之关联的一个余切向量场 $ \,\mathrm{d}{f} $,定义为:对于任意切向量场 $X$,都有 $Xf = (X, \,\mathrm{d}{f} )$,这里 $(X, \,\mathrm{d}{f} )$ 表示切场与余切场之间的作用。一般的流形是无法把函数和切场联系起来的,本质上是因为对偶空间之间没有自然同构。

   要建立对偶空间之间的自然同构,只需要给这对对偶空间定义一个度量即可。在线性空间 $V$ 上定义度量 $g$ 后,就可以把 $V^*$ 中的 $\phi$ 对应到 $V$ 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,方式是:$\phi( \boldsymbol{\mathbf{u}} )=g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )$ 对任意 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \in V$ 成立。这个自然同构,就是所谓的指标升降。用指标表示法,主空间 $V$ 中的向量表示为 $v^i$ 和 $u^i$,度量就表示为 $g_{ij}$,于是内积表示为 $g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )=g_{ij}v^iu^j$,所以用内积定义的 $v^i$ 的对应,就是 $v_i=v^jg_{ij}$,于是 $v_iu^i=g( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} )$,所以 $v_i$ 就是上面说的对偶向量 $\phi$。

   对于一对对偶空间,给定其中之一 $V$ 的度量,也就自然给出了 $V^*$ 上的对偶度量。用指标的语言来说,就是如果给定了 $g_{ij}$,那么可以通过 $g^{ik}g_{jk}=\delta^i_j$ 来定义 $g^{ij}$。不用指标的话,也可以说给定 $V$ 的标准正交基,则它的对偶基也是 $V^*$ 的标准正交基,以此来定义 $V^*$ 上的度量。

   现在定义相空间流形上的度量,使得哈密顿函数对应到我们之前定义哈密顿向量场上,方式是函数先自然对应一个余切场,然后再利用度量把余切场升指标为哈密顿向量场。这一度量就被称为 “辛形式(symplectic form)”。配备了辛形式的流形,就叫做 “辛流形(symplectic manifold)”。

   需要注意的是,辛形式违反正定性和对称性,故不是通常意义上的度量,但依然可以发挥度量的作用来建立切丛和余切丛之间的同构,或者说进行指标升降。

2. 辛流形的构造

定义 1 辛形式

   设 $M$ 为一 $2n$ 维微分流形,称 $M$ 上一个非退化$2$-形式 $\omega$ 为一个辛形式(symplectic form),称 $(M, \omega)$ 为一个辛流形(symplectic manifold)

   所谓 “非退化”,就是说在辛流形上各点处任取一个非零向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则 $\omega( \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} )\neq 0$。所谓 “闭”,就是说 $ \,\mathrm{d}{\omega} =0$。

   辛流形上处处存在局部坐标系,使得此坐标系中,函数 $H$ 的哈密顿向量场的坐标表示正如式 1 描述。


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