费罗贝尼乌斯定理

                     

贡献者： DTSIo; addis

　　 在微分几何中，费罗贝尼乌斯定理（Frobenius' theorem） 给出了一阶拟线性偏微分方程组可积的充分必要条件。它有许多重要的几何推论。

1. 对合分布与可积性

　　 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形。一个光滑 $k$ 维分布（smooth $k$-dimensional distribution，注意这不是分析学意义下代表广义函数的分布）$\mathfrak{D}$ 是指切丛 $TM$ 的 $k$ 维光滑子丛。等价地说，这表示在任何一点 $p\in M$ 都给出 $T_pM$ 的 $k$ 维子空间 $\mathfrak{D}_p$，而且 $\mathfrak{D}_p$ 光滑地依赖于 $p$。

　　 维数为 $k$ 的光滑分布 $\mathfrak{D}$ 称为对合的（involutive），如果对于 $\mathfrak{D}$ 的任意两个光滑截面 $X,Y$，$[X,Y]$ 也还是 $\mathfrak{D}$ 的截面。

　　 这样的分布称为可积的（integrable）。由此在小邻域内得到的子流形称为分布的积分子流形（integral submanifold），积分子流形的族称为 $M$ 局部的一个正则叶理（regular foliation）。它将流形 $M$ 在局部上划分成了许多相互不交叠的叶片。

　　 定理的证明大意如下。不妨设 $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中坐标原点的小邻域。取这小邻域里 $\mathfrak{D}$ 的局部标架 $X_1,\cdots ,X_k$，使得 $X_i(0)=\partial_i|_0$ (这总可以通过适当的旋转和缩放做到)，并定义映射 $\Pi: M\to \mathbb{R}^k$ 为 $$ \Pi(x^1,\cdots ,x^n)=(x^1,\cdots ,x^k)~. $$ 则对于 $p\in M$ 和 $p$ 处的切向量 $v=\sum_{i=1}^nv^i\partial_i|_p$, 有 $$ d\Pi(p)(v)=v^1\partial_1|_{\Pi(p)}+...+v^k\partial_k|_{\Pi(p)}~. $$ 于是切丛的子丛 $\text{ker}d\Pi$ 的秩是 $n-k$，且在原点的小邻域内与 $\mathfrak{D}$ 互补。故 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})$ 实际上是从子丛 $\mathfrak{D}$ 到切丛 $T\Pi(M)$ 的同构，因此 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}$ 在丛 $T\Pi(M)=\text{span}(\partial_1,\cdots ,\partial_k)$ 上是良好定义的，而且其像正是 $\mathfrak{D}$。命 $V_i=(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}\partial_i$，则诸 $V_i$ 都是 $\mathfrak{D}$ 的截面，根据对合性质，$[V_i,V_j]$ 也是 $\mathfrak{D}$ 的截面，而且 $$ d\Pi[V_i,V_j]=[\partial_i,\partial_j]=0~. $$ 于是 $[V_i,V_j]=0$，因此它们实际上是坐标向量场。因此 $\mathfrak{D}$ 是由坐标向量场张成的。

2. 等价表述

　　 设 $\mathfrak{D}$ 是 $k$ 维光滑分布。如果微分 $p$-形式 $\omega$ 作用在 $\mathfrak{D}^{\otimes p}$ 的任何截面上都得到零，则称 $\omega$ 消没 $\mathfrak{D}$。显然两个消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式的外积仍然消没 $\mathfrak{D}$。所有消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式组成 $M$ 的外微分代数的子代数，称为 $\mathfrak{D}$ 的消没子（annihilator）。根据外微分的计算法则，可见 $\mathfrak{D}$ 为对合分布当且仅当对于任意消没 $\mathfrak{D}$ 的 $\omega$，$d\omega$ 仍旧消没 $\mathfrak{D}$。

　　 在流形 $M$ 上给定 $n-k$ 个线性无关的微分形式 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 后，方程组 $$ \omega_{l}=0,\,l=+1,...,n-k~ $$ 称为一个普法夫系（Pfaffian system），它确定了一个 $k$ 维分布，即所有被 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 消没的子空间给出的分布。因此，费罗贝尼乌斯定理有下列等价形式：

3. 应用举例

　　 费罗贝尼乌斯定理在微分几何中有广泛的应用。大致来说，它是"偏导数可交换"这一事实的推广：偏微分方程组受制于偏导数可交换这一条件，因此可积的偏微分方程组必须满足由此导出的必要条件，而费罗贝尼乌斯定理断言这些条件也是可积的充分条件。

　　 考虑 $n$ 维自变量 $x=(x^1,...,x^n)$ 的 $m$ 个未知函数 $u=(u^1,...,u^m)$ 的拟线性偏微分方程组：

这里 $f_i^\alpha(x,z)$ 是已知的函数。为了确定这个方程组的解，需要的是一个 “初始条件”，即指定 $u$ 在某 $x_0$ 处的值。方程的可解性问题如下：

　　 设有开集 $U\subset\mathbb{R}^n$，$V\subset\mathbb{R}^m$，函数组 $f_i^\alpha(x,z)$ 定义在 $U\times V$ 上。则对于 $x_0\in U$ 和 $z_0\in V$，是否存在定义在 $U$ 上，取值于 $V$ 中，且满足式 1 和初始条件 $u(x_0)=z_0$ 的函数组 $u=(u^1,...,u^m)$?

　　 如果 $u=u(x),u(x_0)=z_0$ 是这方程组的解，那么根据偏导数的交换性，显然可得

在点 $(x_0,z_0)$ 处成立。因此，欲使得式 1 对于任何初值都可积，则式 2 必须在 $U\times V$ 中处处成立。显然式 2 处处成立当且仅当向量场 $$ X_i=\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^mf_i^\alpha(x,z)\frac{\partial}{\partial z^\alpha},\,i=1,...,n~ $$ 两两对易。然而另一方面，$u=u(x)$ 是式 1 的解当且仅当子流形 $\{(x,u(x)):x\in U\}$ 是 $n$ 维分布 $\text{span}(X_1,...,X_n)$ 的积分子流形。因此，根据费罗贝尼乌斯定理，诸 $X_i$ 两两对易实为式 1 对于任何初值均可积的充要条件。故式 2 在 $U\times V$ 上处处成立是式 1 对于任何初值均可积的充要条件。

　　 如果用普法夫系来表示则更简单。命

则式 1 等价于 $U\times V$ 上的普法夫系 $\omega^\alpha=0,1\leq\alpha\leq m$，或者直接计算可见微分 1-形式 $\{\omega^\alpha\}_{\alpha=1}^m$ 消没的那些切向量恰是 $m$ 维分布 $\text{span}\{X_i\}_{i=1}^n$。式 2 是这个普法夫系给出 $U\times V$ 上可积分布的充要条件，而通过简单的外微分运算可看出它进一步等价于 $$ d\omega^\alpha=0,1\leq\alpha\leq m~. $$ 在整个 $U\times V$ 上恒成立。用这个办法来判定可积性非常方便。