费罗贝尼乌斯定理

             

预备知识 切空间

   在微分几何中,费罗贝尼乌斯定理(Frobenius' theorem) 给出了一阶拟线性偏微分方程组可积的充分必要条件.它有许多重要的几何推论.

1. 对合分布与可积性

   设 $M$ 是 $n$ 维微分流形.一个光滑 $k$ 维分布(smooth $k$-dimensional distribution,注意这不是分析学意义下代表广义函数的分布)$\mathfrak{D}$ 是指切丛 $TM$ 的 $k$ 维光滑子丛.等价地说,这表示在任何一点 $p\in M$ 都给出 $T_pM$ 的 $k$ 维子空间 $\mathfrak{D}_p$,而且 $\mathfrak{D}_p$ 光滑地依赖于 $p$.

   维数为 $k$ 的光滑分布 $\mathfrak{D}$ 称为对合的(involutive),如果对于 $\mathfrak{D}$ 的任意两个光滑截面 $X,Y$,$[X,Y]$ 也还是 $\mathfrak{D}$ 的截面.

定理 1 费罗贝尼乌斯定理

   设 $\mathfrak{D}$ 是 $M$ 上的 $k$ 维对合分布.则在任意一点 $p\in M$,都有局部坐标系 $\{x^i\}$ 使得 $\mathfrak{D}$ 在该点处由坐标向量 $\partial_1,\cdots ,\partial_k$ 张成.等价地说,在任意一点 $p$ 都有一过点 $p$ 的 $k$ 维子流形 $N_p$ 使得 $\mathfrak{D}$ 恰为 $N_p$ 的切丛.

   这样的分布称为可积的(integrable).由此在小邻域内得到的子流形称为分布的积分子流形(integral submanifold),积分子流形的族称为 $M$ 局部的一个正则叶理(regular foliation).它将流形 $M$ 在局部上划分成了许多相互不交叠的叶片.

   定理的证明大意如下.不妨设 $M$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中坐标原点的小邻域.取这小邻域里 $\mathfrak{D}$ 的局部标架 $X_1,\cdots ,X_k$,使得 $X_i(0)=\partial_i|_0$ (这总可以通过适当的旋转和缩放做到),并定义映射 $\Pi: M\to \mathbb{R}^k$ 为 $$ \Pi(x^1,\cdots ,x^n)=(x^1,\cdots ,x^k). $$ 则对于 $p\in M$ 和 $p$ 处的切向量 $v=\sum_{i=1}^nv^i\partial_i|_p$, 有 $$ d\Pi(p)(v)=v^1\partial_1|_{\Pi(p)}+...+v^k\partial_k|_{\Pi(p)}. $$ 于是切丛的子丛 $\text{ker}d\Pi$ 的秩是 $n-k$,且在原点的小邻域内与 $\mathfrak{D}$ 互补.故 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})$ 实际上是从子丛 $\mathfrak{D}$ 到切丛 $T\Pi(M)$ 的同构,因此 $(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}$ 在丛 $T\Pi(M)=\text{span}(\partial_1,\cdots ,\partial_k)$ 上是良好定义的,而且其像正是 $\mathfrak{D}$.命 $V_i=(d\Pi|_{\mathfrak{D}})^{-1}\partial_i$,则诸 $V_i$ 都是 $\mathfrak{D}$ 的截面,根据对合性质,$[V_i,V_j]$ 也是 $\mathfrak{D}$ 的截面,而且 $$ d\Pi[V_i,V_j]=[\partial_i,\partial_j]=0. $$ 于是 $[V_i,V_j]=0$,因此它们实际上是坐标向量场.因此 $\mathfrak{D}$ 是由坐标向量场张成的.

2. 等价表述

   设 $\mathfrak{D}$ 是 $k$ 维光滑分布.如果微分 $p$-形式 $\omega$ 作用在 $\mathfrak{D}^{\otimes p}$ 的任何截面上都得到零,则称 $\omega$ 消没 $\mathfrak{D}$.显然两个消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式的外积仍然消没 $\mathfrak{D}$.所有消没 $\mathfrak{D}$ 的微分形式组成 $M$ 的外微分代数的子代数,称为 $\mathfrak{D}$ 的消没子(annihilator).根据外微分的计算法则,可见 $\mathfrak{D}$ 为对合分布当且仅当对于任意消没 $\mathfrak{D}$ 的 $\omega$,$d\omega$ 仍旧消没 $\mathfrak{D}$.

   在流形 $M$ 上给定 $n-k$ 个线性无关的微分形式 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 后,方程组 $$ \omega_{l}=0,\,l=+1,...,n-k $$ 称为一个普法夫系(Pfaffian system),它确定了一个 $k$ 维分布,即所有被 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 消没的子空间给出的分布.因此,费罗贝尼乌斯定理有下列等价形式:

定理 2 

   设 $\omega_{k},...,\omega_{n}$ 是 $M$ 上线性无关的微分形式,则普法夫系 $$ \omega_{l}=0,\,l=k+1,...,n-k $$ 给出可积的 $k$ 维分布当且仅当每个 $d\omega_l$ 皆由 $\omega_{k+1},...,\omega_{n}$ 生成,或等价地, $$ d\omega_{l}\wedge\omega_{k+1}\wedge...\wedge\omega_{n}=0,\,\forall l. $$ 这称为费罗贝尼乌斯条件.

3. 应用举例

   费罗贝尼乌斯定理在微分几何中有广泛的应用.大致来说,它是"偏导数可交换"这一事实的推广:偏微分方程组受制于偏导数可交换这一条件,因此可积的偏微分方程组必须满足由此导出的必要条件,而费罗贝尼乌斯定理断言这些条件也是可积的充分条件.

   考虑 $n$ 维自变量 $x=(x^1,...,x^n)$ 的 $m$ 个未知函数 $u=(u^1,...,u^m)$ 的拟线性偏微分方程组:

\begin{equation} \frac{\partial u^\alpha}{\partial x^i}=f_i^\alpha(x,u),\,1\leq\alpha\leq m;1\leq i\leq n. \end{equation}
这里 $f_i^\alpha(x,z)$ 是已知的函数.为了确定这个方程组的解,需要的是一个 “初始条件”,即指定 $u$ 在某 $x_0$ 处的值.方程的可解性问题如下:

   设有开集 $U\subset\mathbb{R}^n$,$V\subset\mathbb{R}^m$,函数组 $f_i^\alpha(x,z)$ 定义在 $U\times V$ 上.则对于 $x_0\in U$ 和 $z_0\in V$,是否存在定义在 $U$ 上,取值于 $V$ 中,且满足式 1 和初始条件 $u(x_0)=z_0$ 的函数组 $u=(u^1,...,u^m)$?

   如果 $u=u(x),u(x_0)=z_0$ 是这方程组的解,那么根据偏导数的交换性,显然可得

\begin{equation} \frac{\partial f_i^\alpha}{\partial x^j}+\sum_{\beta=1}^mf_j^\beta\frac{\partial f_i^\alpha}{\partial z^\beta} =\frac{\partial f_j^\alpha}{\partial x^i}+\sum_{\beta=1}^mf_i^\beta\frac{\partial f_j^\alpha}{\partial z^\beta},\forall i,j,\alpha \end{equation}
在点 $(x_0,z_0)$ 处成立.因此,欲使得式 1 对于任何初值都可积,则式 2 必须在 $U\times V$ 中处处成立.显然式 2 处处成立当且仅当向量场 $$ X_i=\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^mf_i^\alpha(x,z)\frac{\partial}{\partial z^\alpha},\,i=1,...,n $$ 两两对易.然而另一方面,$u=u(x)$ 是式 1 的解当且仅当子流形 $\{(x,u(x)):x\in U\}$ 是 $n$ 维分布 $\text{span}(X_1,...,X_n)$ 的积分子流形.因此,根据费罗贝尼乌斯定理,诸 $X_i$ 两两对易实为式 1 对于任何初值均可积的充要条件.故式 2 在 $U\times V$ 上处处成立是式 1 对于任何初值均可积的充要条件.

   如果用普法夫系来表示则更简单.命

\begin{equation} \omega^\alpha:=dz^\alpha-\sum_{i=1}^nf_i^\alpha dx^i,1\leq\alpha\leq m. \end{equation}
式 1 等价于 $U\times V$ 上的普法夫系 $\omega^\alpha=0,1\leq\alpha\leq m$,或者直接计算可见微分 1-形式 $\{\omega^\alpha\}_{\alpha=1}^m$ 消没的那些切向量恰是 $m$ 维分布 $\text{span}\{X_i\}_{i=1}^n$.式 2 是这个普法夫系给出 $U\times V$ 上可积分布的充要条件,而通过简单的外微分运算可看出它进一步等价于 $$ d\omega^\alpha=0,1\leq\alpha\leq m $$ 在整个 $U\times V$ 上恒成立.用这个办法来判定可积性非常方便.

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