线性算子的谱

贡献者：零穹

预备知识　拓扑线性空间中的线性算子

　　 [1] 在算子理论中，谱的概念或许是最重要的概念。在提到谱的地方，我们都假定算子作用域复空间。

　　回顾有限维空间的情形。设 $A$ 是 $n$ 维空间 $C^{n}$ 的线性算子，如果方程

\begin{matrix} (1) & A x = λ x \end{matrix}

有非零解，则数

λ

称为算子

A

的本征值。所有本征值的总体称为算子的谱。而其它的

λ

值称为正则点。即

λ

是正则点，当且仅当算子

(A - λ I)

可逆。此时

(A - λ I)^{- 1}

定义在整个

C^{n}

上，并且作为有限为空间的任意算子，它是有界的。于是，在有限维空间中有两种可能：

方程 $A x = λ x$ 有非零解， $λ$ 是 $A$ 的本征值，这时算子 $(A - λ I)^{- 1}$ 不存在；
存在定义在整个空间上的算子 $(A - λ I)^{- 1}$ ，即 $λ$ 时正则点。

　　但是在无限维空间中，有第三种可能：3）算子 $(A - λ I)^{- 1}$ 存在，但不是定义在整个空间上的，且可能无界。

1. 基本定义

　　无穷维空间里，本征值、谱和正则点的基本概念几乎是一样的。为正式起见，这里给出基本的定义。一般线性拓扑空间中第三种可能的存在将导致一些本质性区别。

定义 1　本征值，谱，正则点，预解式

　　设 $A$ 是任意线性拓扑空间中的线性连续算子（定义空间和象空间一样），则称 $(A - λ I)^{- 1}$ 为算子 $A$ 的预解式。若 $A$ 的预解式 $(A - λ I)^{- 1}$ 存在且并定义在整个空间上，则称 $λ$ 对 $A$ 是正则的。所有其余的值 $λ$ 称为 $A$ 的谱。使 $A x = λ x$ 有非零矢量解的数 $λ$ 称为算子 $A$ 的本征值。

定理 1　

　　本征值属于谱。

　　 证明：若 $λ$ 是本征值，则预解式不存在，即 $λ$ 不对线性算子正则，因而属于谱。

　　 证毕！

　　该定理引入了下面的概念。

定义 2　点谱

　　本征值的总体称为点谱。

　　对第一可数性空间，定理 1 表明线性连续算子 $A, I$ 有界，特别，对于完备赋范空间上的线性连续算子，由定理 2 ，预解式是有界的。此时谱中的非点谱部分对应的预解式存在，但不是定义在整个空间上的。这是无限维和有限维空间的本质区别。

定义 3　连续谱

　　定义在完备赋范空间上的算子的谱中非点谱部分称为连续谱。

定理 2　

　　若 $A$ 是完备赋范空间 $E$ 中的有界线性算子，且 $| λ | > ‖ A ‖$ ，则 $λ$ 是正则点。

　　 证明：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} A - λ I & = - λ (I - \frac{A}{λ}) \\ ⇓ \\ (A - λ I)^{- 1} & = - \frac{1}{λ} (I - \frac{A}{λ}) = - \frac{1}{λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{λ^{k}} . \end{aligned} \end{matrix}

以上最后一式源于

‖ \frac{A}{λ} ‖ < 1

。由于

‖ \frac{A}{λ} ‖ < 1

，最后的级数是收敛、有界并定义在整个空间上的，因而

(A - λ I)^{- 1}

存在、有界且定义在整个空间上。从而

λ

是正则点。

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

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线性算子的谱

1. 基本定义

定义 1 本征值，谱，正则点，预解式

定理 1

定义 2 点谱

定义 3 连续谱

定理 2

定义 1　本征值，谱，正则点，预解式

定理 1　

定义 2　点谱

定义 3　连续谱

定理 2　