线性算子的谱

                     

贡献者: 零穹

预备知识 拓扑线性空间中的线性算子

   [1] 在算子理论中,谱的概念或许是最重要的概念。在提到谱的地方,我们都假定算子作用域复空间。

   回顾有限维空间的情形。设 An 维空间 Cn 的线性算子,如果方程

(1)Ax=λx 
有非零解,则数 λ 称为算子 A本征值。所有本征值的总体称为算子的。而其它的 λ 值称为正则点。即 λ 是正则点,当且仅当算子 (AλI) 可逆。此时 (AλI)1 定义在整个 Cn 上,并且作为有限为空间的任意算子,它是有界的。于是,在有限维空间中有两种可能:

  1. 方程 Ax=λx 有非零解,λA 的本征值,这时算子 (AλI)1 不存在;
  2. 存在定义在整个空间上的算子 (AλI)1,即 λ 时正则点。

   但是在无限维空间中,有第三种可能:3)算子 (AλI)1 存在,但不是定义在整个空间上的,且可能无界。

1. 基本定义

   无穷维空间里,本征值、谱和正则点的基本概念几乎是一样的。为正式起见,这里给出基本的定义。一般线性拓扑空间中第三种可能的存在将导致一些本质性区别。

定义 1 本征值,谱,正则点,预解式

   设 A 是任意线性拓扑空间中的线性连续算子(定义空间和象空间一样),则称 (AλI)1 为算子 A预解式。若 A 的预解式 (AλI)1 存在且并定义在整个空间上,则称 λA正则的。所有其余的值 λ 称为 A。使 Ax=λx 有非零矢量解的数 λ 称为算子 A本征值

定理 1 

   本征值属于谱。

   证明:λ 是本征值,则预解式不存在,即 λ 不对线性算子正则,因而属于谱。

   证毕!

   该定理引入了下面的概念。

定义 2 点谱

   本征值的总体称为点谱

   对第一可数性空间,定理 1 表明线性连续算子 A,I 有界,特别,对于完备赋范空间上的线性连续算子,由定理 2 ,预解式是有界的。此时谱中的非点谱部分对应的预解式存在,但不是定义在整个空间上的。这是无限维和有限维空间的本质区别。

定义 3 连续谱

   定义在完备赋范空间上的算子的谱中非点谱部分称为连续谱

定理 2 

   若 A 是完备赋范空间 E 中的有界线性算子,且 |λ|>A,则 λ 是正则点。

   证明:

(2)AλI=λ(IAλ)(AλI)1=1λ(IAλ)=1λk=0Akλk. 
以上最后一式源于 Aλ<1。由于 Aλ<1,最后的级数是收敛、有界并定义在整个空间上的,因而 (AλI)1 存在、有界且定义在整个空间上。从而 λ 是正则点。

   证毕!


[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫,C.B.佛明.函数论与泛函分析初步(段虞荣等译)第七版

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