线性算子的谱
贡献者: 零穹
[1] 在算子理论中,谱的概念或许是最重要的概念。在提到谱的地方,我们都假定算子作用域复空间。
回顾有限维空间的情形。设 是 维空间 的线性算子,如果方程
有非零解,则数 称为算子 的
本征值。所有本征值的总体称为算子的
谱。而其它的 值称为
正则点。即 是正则点,当且仅当算子 可逆。此时 定义在整个 上,并且作为有限为空间的任意算子,它是有界的。于是,在有限维空间中有两种可能:
- 方程 有非零解, 是 的本征值,这时算子 不存在;
- 存在定义在整个空间上的算子 ,即 时正则点。
但是在无限维空间中,有第三种可能:3)算子 存在,但不是定义在整个空间上的,且可能无界。
1. 基本定义
无穷维空间里,本征值、谱和正则点的基本概念几乎是一样的。为正式起见,这里给出基本的定义。一般线性拓扑空间中第三种可能的存在将导致一些本质性区别。
定义 1 本征值,谱,正则点,预解式
设 是任意线性拓扑空间中的线性连续算子(定义空间和象空间一样),则称 为算子 的预解式。若 的预解式 存在且并定义在整个空间上,则称 对 是正则的。所有其余的值 称为 的谱。使 有非零矢量解的数 称为算子 的本征值。
证明:若 是本征值,则预解式不存在,即 不对线性算子正则,因而属于谱。
证毕!
该定理引入了下面的概念。
对第一可数性空间,定理 1 表明线性连续算子 有界,特别,对于完备赋范空间上的线性连续算子,由定理 2 ,预解式是有界的。此时谱中的非点谱部分对应的预解式存在,但不是定义在整个空间上的。这是无限维和有限维空间的本质区别。
定义 3 连续谱
定义在完备赋范空间上的算子的谱中非点谱部分称为连续谱。
定理 2
若 是完备赋范空间 中的有界线性算子,且 ,则 是正则点。
证明:
以上最后一式源于 。由于 ,最后的级数是收敛、有界并定义在整个空间上的,因而 存在、有界且定义在整个空间上。从而 是正则点。
证毕!
[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫,C.B.佛明.函数论与泛函分析初步(段虞荣等译)第七版
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