巴拿赫定理

             

预备知识 巴拿赫空间

   在巴拿赫空间的理论中,巴拿赫定理(Banach theorems)是一组关于巴拿赫空间上的有界线性算子的定理.它们都依赖于巴拿赫空间的完备性,并且在分析数学中有广泛的应用.可参考 Kôsaku Yosida: Functional analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag, 1980 (6th ed.).

1. 一致有界原理(共鸣定理)

定理 1 一致有界原理(共鸣定理,Uniform Boundedness Principle)

   设 $X$ 是巴拿赫空间,$Y$ 是赋范线性空间,$\mathfrak{F}\subset\mathfrak{B}(X,Y)$ 是有界线性算子的族.如果对于任何 $x\in X$ 皆有 $\sup_{T\in\mathfrak{F}}\|Tx\|_Y < \infty$,那么实际上必有 $$ \sup_{T\in\mathfrak{F}}\|T\|_{\mathfrak{B}(X,Y)} =\sup_{T\in\mathfrak{F}}\left(\sup_{\|x\|_X\leq 1}\|Tx\|_Y\right)<\infty. $$ 也就是说,从巴拿赫空间出发的线性算子的族,如果是逐点有界的,则一定是一致有界的.

   这个定理的证明用到了贝尔纲定理(Baire category theorem),而这依赖于 $X$ 的完备性.如果 $X$ 不完备,则定理不成立.一个反例如下:取 $X$ 为仅有有限项非零的序列组成的空间,并赋以范数 $\|x\|=\max_{k}|x_k|$.这个空间不是完备的.定义 $T_n:X\to X$ 为 $$ T_nx=(x_1,2x_2,...,nx_n,0,...), $$ 则 $\|T_n\|=n$,因此族 $\{T_n\}$ 不是一致有界的,但对于任何固定的 $x\in X$,当 $n$ 充分大时,$T_nx$ 将恒等于常值,因此对于任何固定的 $x\in X$,都有 $\sup_n\|T_nx\| < \infty$.

   该定理的一个应用是说明:连续函数的傅里叶级数不必逐点收敛.

2. 开映像原理

定理 2 开映像原理(Open Mapping Theorem)

   设 $X,Y$ 是巴拿赫空间,$T:X\to Y$ 是连续线性算子,而且是满映射.则 $T$ 是开映射,即 $X$ 中的开集经 $T$ 变为 $Y$ 中的开集.

   这个定理的证明也用到了贝尔纲定理(Baire category theorem),而这依赖于 $X,Y$ 的完备性.如果 $X$ 不完备,则定理不成立.实际上有很简单的反例可以作为说明:如果 $Z\subset X$ 是稠密的真子空间,那么自然的嵌入映射 $Z\to X$ 就显然不是开映射.

   开映像原理有如下的直接推论:如果 $T$ 是巴拿赫空间 $X,Y$ 之间的连续线性算子,且值域 $\text{Ran}(T)$ 是 $Y$ 的闭子空间,则商映射 $X/\text{Ker}(T)\to \text{Ran}(T)$ 是同构.另外,开映像原理还说明:一个线性空间上的两个范数若都是完备的,则这两个范数必然等价.

3. 闭图像定理

定理 3 闭图像定理(Closed Graph Theorem)

   设 $T:X\to Y$ 是巴拿赫空间之间的闭算子.则 $T$ 是连续的.

   这个定理实际上可作为开映像原理的推论:如果 $\text{G}(T)\subset X\times Y$ 是闭子空间,则 $X$ 在图范数 $[|x|]_T=\|x\|_X+\|Tx\|_Y$ 下成为巴拿赫空间.但巴拿赫空间之间的映射 $I:(X,[|\cdot|]_T)\to(X,\|\cdot\|_X),\,I(x)=x$ 是连续的单满射,从而根据开映像原理它也是开映射,因此其逆映射是连续的.这表示 $T$ 是有界算子.

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