巴拿赫定理

贡献者： addis; DTSIo

预备知识　巴拿赫空间

　　在巴拿赫空间的理论中，巴拿赫定理（Banach theorems）是一组关于巴拿赫空间上的有界线性算子的定理。它们都依赖于巴拿赫空间的完备性，并且在分析数学中有广泛的应用。可参考 Kôsaku Yosida: Functional analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 123, Springer-Verlag, 1980 (6th ed.).

1. 一致有界原理（共鸣定理）

定理 1　一致有界原理（共鸣定理，Uniform Boundedness Principle）

　　设 $X$ 是巴拿赫空间， $Y$ 是赋范线性空间， $F \subset B (X, Y)$ 是有界线性算子的族。如果对于任何 $x \in X$ 皆有 $sup_{T \in F} ‖ T x ‖_{Y} < \infty$ ，那么实际上必有 $sup_{T \in F} ‖ T ‖_{B (X, Y)} = sup_{T \in F} (sup_{‖ x ‖_{X} \leq 1} ‖ T x ‖_{Y}) < \infty .$ 也就是说，从巴拿赫空间出发的线性算子的族，如果是逐点有界的，则一定是一致有界的。

　　这个定理的证明用到了贝尔纲定理（Baire category theorem），而这依赖于 $X$ 的完备性。如果 $X$ 不完备，则定理不成立。一个反例如下：取 $X$ 为仅有有限项非零的序列组成的空间，并赋以范数 $‖ x ‖ = max_{k} | x_{k} |$ 。这个空间不是完备的。定义 $T_{n} : X \to X$ 为 $T_{n} x = (x_{1}, 2 x_{2}, . . ., n x_{n}, 0, . . .),$ 则 $‖ T_{n} ‖ = n$ ，因此族 ${T_{n}}$ 不是一致有界的，但对于任何固定的 $x \in X$ ，当 $n$ 充分大时， $T_{n} x$ 将恒等于常值，因此对于任何固定的 $x \in X$ ，都有 $sup_{n} ‖ T_{n} x ‖ < \infty$ 。

　　该定理的一个应用是说明：连续函数的傅里叶级数不必逐点收敛。

2. 开映像原理

定理 2　开映像原理（Open Mapping Theorem）

　　设 $X, Y$ 是巴拿赫空间， $T : X \to Y$ 是连续线性算子，而且是满映射。则 $T$ 是开映射，即 $X$ 中的开集经 $T$ 变为 $Y$ 中的开集。

　　这个定理的证明也用到了贝尔纲定理（Baire category theorem），而这依赖于 $X, Y$ 的完备性。如果 $X$ 不完备，则定理不成立。实际上有很简单的反例可以作为说明：如果 $Z \subset X$ 是稠密的真子空间，那么自然的嵌入映射 $Z \to X$ 就显然不是开映射。

　　开映像原理有如下的直接推论：如果 $T$ 是巴拿赫空间 $X, Y$ 之间的连续线性算子，且值域 $Ran (T)$ 是 $Y$ 的闭子空间，则商映射 $X / Ker (T) \to Ran (T)$ 是同构。另外，开映像原理还说明：一个线性空间上的两个范数若都是完备的，则这两个范数必然等价。

3. 闭图像定理

定理 3　闭图像定理（Closed Graph Theorem）

　　设 $T : X \to Y$ 是巴拿赫空间之间的闭算子。则 $T$ 是连续的。

　　这个定理实际上可作为开映像原理的推论：如果 $G (T) \subset X \times Y$ 是闭子空间，则 $X$ 在图范数 $[| x |]_{T} = ‖ x ‖_{X} + ‖ T x ‖_{Y}$ 下成为巴拿赫空间。但巴拿赫空间之间的映射 $I : (X, [| \cdot |]_{T}) \to (X, ‖ \cdot ‖_{X}), I (x) = x$ 是连续的单满射，从而根据开映像原理它也是开映射，因此其逆映射是连续的。这表示 $T$ 是有界算子。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。