复形的单纯同调群

             

预备知识 单纯剖分(三角剖分),自由群

1. 复形上的链

定义 1 可定向单形

   一个单形 $[a_0, a_1, \cdots, a_n]$,根据下标是奇排列还是偶排列,可以分为两类.称这样划分出来的两个等价类,是单形的有向单形(oriented simplex)

   偶排列的有向单形记为 $a_0a_1a_2a_3\cdots a_n=a_1a_2a_0a_3\cdots a_n=\cdots$,奇排列的有向单形为 $a_1a_0a_2a_3\cdots a_n=a_0a_2a_1a_3\cdots a_n=\cdots$.也就是说,有向单形的表示就是去掉单形表示的中括号.

定义 2 链群

   有向单形作为字母,可以构造自由生成阿贝尔群.其中同一个单形的两个有向单形,互为彼此的逆元.

   称这样的自由生成阿贝尔群为一个链群(chain group),它的元素被称为链(chain)

   链群的运算用加法表示,于是也可以使用 $\sum$ 符号.$n$ 个相同的有向单形 $s^q$ 相加,记为 $ns^q$.

   链群的名称很直观.考虑 $1$-单形 $[a_0, a_1]$ 的有向单形 $a_0a_1$ 和 $a_1a_0$,前者可以视为从点 $a_0$ 到点 $a_1$ 的一个箭头,后者可以视为点 $a_1$ 到点 $a_0$ 的一个箭头,而 $[a_0, a_1]$ 就视为两点之间的线段,没有方向区分.这样一来,一维有向单形的链就是箭头的组合,其中首尾相连的部分就像链条一样,所以被称为链.也就是说,链群的群运算,就是链之间的 “连接” 运算,自然是交换的,因此链群被定义为有向单形的自由生成阿贝尔群.

   $2$-单形虽然乍一看不像箭头,但是考虑到箭头的特点只不过是有方向性,而我们定义有向单形的方式也确实区分开了两个方向,所以依然可以把此概念推广.更高阶的单形也是一样的.

定义 3 复形上的链群

   给复形 $K$ 的每一个单形都指定一个定向为正定向,则全体正定向的有向单形被称为 $K$ 的有向单形基本组.另一定向的有向单形们,被表示为对应正定向单形的相反数,也就是前面加一个负号.

   $K$ 的全体 $q$ 维有向单形的链群,称为 $K$ 的 $q$ 维链群,记为 $C_q(K)$,其元素被称为 $K$ 的 $q$ 维链,简称 $q$-链.

   以一维单形为例,如果 $a_0a_1$ 被指定为正向单形,那么我们从此都把 $a_1a_0$ 表示为 $-a_0a_1$,方便计算和讨论.

   根据定义,复形上的每一条 $q$-链,都可以表示为 $\sum n_is^q_i$ 的形式,其中 $s^q_i$ 是一个 $q$ 维有向单形,$n_i$ 是整数.

2. 边缘链和闭链

定义 4 有向单形的顺向面和逆向面

   给定有向单形 $s^q=a_0a_1a_2a_3\cdots a_q$,用 $\hat{a_i}$ 表示缺失了$a_i$,即 $a_0\hat{a_1}a_2\cdots a_q=a_0a_2\cdots a_q$.

   那么称 $t^{q-1}=(-1)^ia_0a_1\cdots\hat{a_i}\cdots a_q$ 为 $s^q$ 的顺向面;相应地,$-t^{q-1}$ 为逆向面

   我们举一个例子:考虑有向单形 $a_0a_1a_2$,如图 1 所示,我们可以把它看成一个 “顺时针方向的三角形”.它的面都是箭头,其中 $a_0a_1$,$a_1a_2$ 和 $a_2a_0$ 是顺向面,$a_0a_2$,$a_2a_1$ 和 $a_1a_0$ 是逆向面.

图
图 1:顺向面和逆向面的示意图.

   有了顺向面和逆向面的概念之后,我们就可以比较方便地引入一个重要的映射,边缘算子.

定义 5 边缘算子

   考虑复形 $K$ 上的 $q$ 维和 $q-1$ 维链.

   单个有向单形 $s^q$ 的所有顺向面之和,称为 $s^q$ 的边缘(border),记为 $\partial_q S^q$.

   链 $\sum n_is^q_i$ 的边缘,定义为 $\partial_q \sum n_is^q_i=\sum n_i\partial_qs^q_i$.

   这样一来,$\partial_q$ 即为 $C_q(K)\to C_{q-1}(K)$ 的一个群同态

   边缘算子的一个核心性质由下面的引理 1 给出.这一点和外导数定义中的幂零性进行比较.

引理 1 

   任意复形 $K$ 上,$\partial_q\circ\partial_{q+1}:C_{q+1}(K)\to C_{q-1}(K)\equiv 0$,即 “边缘的边缘一定为空”.

   引理 1 的证明留做习题.该引理成立的本质,是因为从一个 $q+1$ 维有向单形中拿走两个点的先后顺序不同,会造成结果的正负号不同,导致互相抵消.这就是反对称性的威力.

3. 复形上的单纯同调群

定义 6 边缘链

   在复形 $K$ 上,如果一个 $q-$ 链是一个 $q+1$ 维链条的边缘,则称该 $q-$ 链为一边缘链(border chain),记为 $B_q(K)$.

   由于边缘链就是边缘算子映射的结果,我们也可以把 $q$ 维边缘链记为 $ \operatorname {Im}\partial_{q+1}$,即 $\partial_{q+1}$ 的

定义 7 闭链

   在复形 $K$ 上,如果一个 $q-$ 链 $\sum n_is^q_i$ 满足 $\partial_q\sum n_is^q_i=0$,其中 $0$ 就是空字,那么称 $\sum n_is^q_i$ 为一条闭链(closed chain),记为 $Z_q(K)$.

例 1 闭链的例子

   如图 1 所示,$a_0a_1+a_1a_2+a_2a_0$ 就是一条闭链,其边缘为 $(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_0-a_2)=0$.

   由引理 1 ,边缘链一定是闭链,但闭链不一定是边缘链.反例可以考虑用双参数表示的环面 $\{(\cos s\cos t, \sin s\cos t, \sin t)\in\mathbb{R}^3|t, s\in\mathbb{R}\}$ 上的闭链 $\{(\cos t, 0, \sin t)\in\mathbb{R}^3|t\in\mathbb{R}\}$,它就不可能是任何链的边缘.该例子的图示如图 2 所示 .

图
图 2:非边缘链的闭链例子.如图,考虑复形为环面,则图中标出的一个套住环面小圆的曲线就是一个闭链,但很明显它不是任何 $2$-链的边缘.

   容易证明,边缘链和闭链的集合都构成群,再考虑到链群是阿贝尔群,于是可知 $B_q(K)\triangleleft Z_q(K)\triangleleft C_q(K)$.于是我们可以求商群闭链群$/$边缘链群,那就是复形上的单纯同调群.

定义 8 复形上的单纯同调群

   给定复形 $K$,则商群 $H_q=\frac{Z_q(K)}{B_q(K)}$ 称为 $K$ 上的 $q$ 维单纯同调群

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