球面的同伦群

             

预备知识 高阶同伦群

   以各球面 $S^n$ 为拓扑空间,则它们的各阶同伦群 $\pi_i$ 列举如下1:(第一行数字表示同伦群的阶数 $i$,第一列数字表示球面的维度 $n$)

表1:$S^n$ 球面的同伦群 $\pi_i$($0$ 表示只有一个元素的平凡群)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 $\mathbb{Z}$ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
3 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
4 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$
5 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{30}$
6 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$
7 0 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0 0
8 0 0 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0

   该表格有两个很明显的规律:第一,当同伦群的阶数 $i$ 小于球面的维度 $n$ 的时候,同伦群一定是平凡群;第二,当同伦群的阶数等于球面的维度的时候,同伦群一定是正整数群 $\mathbb{Z}$.


1. ^ 文献来源:Allen Hatcher, Algebraic Topology, 2002 by Cambridge University Press, pp.339(Section 4.1).

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