球面的同伦群

贡献者： JierPeter

预备知识　高阶同伦群

　　以各球面 $S^n$ 为拓扑空间，则它们的各阶同伦群 $\pi_i$ 列举如下¹：（第一行数字表示同伦群的阶数 $i$，第一列数字表示球面的维度 $n$）

表1：$S^n$ 球面的同伦群 $\pi_i$（$0$ 表示只有一个元素的平凡群）

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	$\mathbb{Z}$	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{12}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_3$	$\mathbb{Z}_{15}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
3	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{12}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_3$	$\mathbb{Z}_{15}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
4	0	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{12}$	$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_3$	$\mathbb{Z}_{15}$	$\mathbb{Z}_2$
5	0	0	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{24}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{30}$
6	0	0	0	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{24}$	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$
7	0	0	0	0	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{24}$	0	0
8	0	0	0	0	0	0	0	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_2$	$\mathbb{Z}_{24}$	0

　　该表格有两个很明显的规律：第一，当同伦群的阶数 $i$ 小于球面的维度 $n$ 的时候，同伦群一定是平凡群；第二，当同伦群的阶数等于球面的维度的时候，同伦群一定是正整数群 $\mathbb{Z}$。

1. ^ 文献来源：Allen Hatcher, Algebraic Topology, 2002 by Cambridge University Press, pp.339(Section 4.1)。

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