# 球面的同伦群

以各球面 $S^n$ 为拓扑空间，则它们的各阶同伦群 $\pi_i$ 列举如下1：（第一行数字表示同伦群的阶数 $i$，第一列数字表示球面的维度 $n$）

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 $\mathbb{Z}$ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 3 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 4 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{12}$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}\times\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_{15}$ $\mathbb{Z}_2$ 5 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{30}$ 6 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ 7 0 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_{24}$ 0

该表格有两个很明显的规律：第一，当同伦群的阶数 $i$ 小于球面的维度 $n$ 的时候，同伦群一定是平凡群；第二，当同伦群的阶数等于球面的维度的时候，同伦群一定是正整数群 $\mathbb{Z}$。

1. ^ 文献来源：Allen Hatcher, Algebraic Topology, 2002 by Cambridge University Press, pp.339(Section 4.1)。