单纯同调群的计算

             

预备知识 单纯剖分(三角剖分),群同态

  

未完成:未来可能添加更多实例.

   对一个拓扑空间进行单纯剖分,也就是把这个空间用一个复形来表示.复形上的单纯同调群,就是这个拓扑空间的单纯同调群.本节讨论一些常见拓扑空间的单纯同调群计算,以及一些有助于计算的定理.

连通复形上的零维单纯同调群

   考虑复形 $K$,将其顶点的集合记为 $\{a_i\}_{i=1}^n$,那么 $K$ 的零维链群 $C_0(K)$、同时也是零维闭链群 $Z_0(K)$1,就是顶点集合的自由生成阿贝尔群

   如果一条零维链为 $x_o=\sum m_ia_i$,其中 $m_i\in\mathbb{Z}$,则称 $ \operatorname {ind} x_0=\sum m_i$ 为 $x_0$ 的指数(index)

   用指数定义一个群同态$\epsilon: C_0(K)=Z_0(0)\to\mathbb{Z}$2,其中 $\epsilon(x)= \operatorname {ind} x$.

引理 1 

   $B_0(K)= \operatorname {ker}\epsilon$.换句话说,$K$ 上的一条零维(闭)链,“它是边缘链”$\iff$“它的指数为零”.

   证明

   $\Rightarrow$:一维链 $\sum m_{ij}a_ia_j$ 的边缘就是 $\partial\sum m_{ij}a_ia_j=\sum m_{ij}(a_j-a_i)$,其中 $m_{ij}=m{ji}$.易得 $ \operatorname {ind}\sum m_{ij}(a_j-a_i)=0$.

   一个简单的例子是,$a_0a_1+a_0a_2$ 的边缘就是 $a_1-a_0+a_2-a_0$,其指数就是 $1-1+1-1=0$.

   $\Leftarrow$:如果一个零维链 $\sum m_ia_i$ 指数为零,那么 $\sum a_i=0$.我们可以把 $m_ia_i$ 分为 $ \left\lvert m_i \right\rvert $ 个不同的 $ \operatorname {sgn}(m_i)a_i$3,然后就可以一正一负两两配对,互相抵消掉,结果的指数就是零.

   一个简单的例子是,$a_1+2a_2-3a_3$ 的指数为 $1+2-3=0$,我们可以把它分成 $a_1-a_3, a_2-a_3, a_2-a_3$,每一个都是边缘链,因此 $a_1+2a_2-3a_3$ 是一个边缘链.

   证毕

   由引理 1 群同态基本定理习题 1 ),$H_0(K)=Z_0(K)/B_0(K)=Z_0(K)/ \operatorname {ker}\epsilon= \operatorname {Im}\epsilon=\mathbb{Z}$.

圆柱面的单纯同调群

   将圆柱面进行三角剖分,如图 1 所示.取有向单形基本组时,可以定义左图中的三角形都以逆时针为正方向.

图
图 1:圆柱面的三角剖分.两个图都是三角剖分的示意图,只不过右图将 $a_1$ 和 $a_4$ 对应合并了,此时不得不用曲线段来代替直线段.

   记这个圆柱面的三角剖分为复形 $K$.

   由上一小节 “连通复形上的零维单纯同调群” 知,$H_0(K)=\mathbb{Z}$.

   由于非零 $2$ 维链的边缘链,总有 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_2$(即图 1 右边示意图中的 “外边缘”)和/或 $a_4a_5, a_5a_6, a_6a_4$(即图 1 右边示意图中的 “内边缘”)中的项,是无法被抵消掉的,因此 $K$ 上不存在$2$维的闭链.于是,$H_2(K)=0$.

   于是我们只需要计算 $H_1(K)$.

引理 2 

   对于本小节所说的圆柱面剖分 $K$,$C_1(K)$ 中的任一链都同调于 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_2$(外边缘)、$a_4a_5, a_5a_6, a_6a_4$(内边缘)或者 $a_1a_4$ 中的一个,或者这七个的某一线性组合.

   证明

   以 $a_1a_5$ 为例.由于同调群是商去了边缘链群的结果,因此 “两条闭链同调”$\iff$“两条闭链的差是一个边缘链”.

   计算单形 $a_1a_2a_5$(看图辅助理解)的边缘后易得,$a_1a_5$ 和 $a_1a_2+a_2a_5$ 同调4.类似地,我们可以给出如下变换过程,每一步变换都保持变换前后的链是同调的:

\begin{equation} \begin{aligned} a_1a_5&\to a_1a_2+a_2a_5\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_6\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_3a_6\\& \to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_4a_6+a_3a_4\\ &\to a_1a_2+a_6a_5+a_2a_3+a_4a_6+a_3a_1+a_1a_4 \end{aligned} \end{equation}
这就把 $a_1a_5$ 变换为用引理中所说的那七个一维链的组合了.

   所有的 $a_ia_j$ 都可以用这个方法变换为那七个链的组合,而一切一维链条都是由 $a_ia_j$ 组合而成的,从而得证.

   证毕

引理 3 

   引理 2 中的七个一维链所构成的闭链,必然同调于 $a_1a_2, a_2a_3, a_3a_1$ 组合而成的某个闭链.

   证明

   根据引理 1 ,任何闭链都可以表示为那七个链的组合,又因为是闭链,这种组合一定是 $n_1(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)+n_2(a_4a_5+a_5a_6+a_6a_4)$,其中各 $n_i\in\mathbb{Z}$5

   仿照式 1 的变换过程,容易证明 $a_4a_5+a_5a_6+a_6a_4$ 同调于 $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$.因此任何闭链都可以同调于 $(n_1+n_2)(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)$,得证.

   证毕

推论 1 圆柱面的一维单纯同调群

   由引理 2 引理 3 知,$K$ 的任何一维闭链都同调于 $k\sum (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1)$,其中 $k\in\mathbb{Z}$.类比零维的单纯同调群中 “指数” 以及用指数定义的群同态,我们也可以定义 $K$ 中一维闭链群到整数群的群同态 $\epsilon: Z_1(K)\to \mathbb{Z}$,其中 $\epsilon(k\sum (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1))=k$.

   由于 $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1$ 不是边缘链,故 $Z_1(K)$ 中的边缘链只能是 $0$,即 $B_1(K)= \operatorname {ker}\epsilon$.

   故 $H_1(K)=Z_1(K)/B_1(K)=Z_1(K)/ \operatorname {ker}\epsilon=\mathbb{Z}$.


1. ^ 因为零维的链必然闭链.
2. ^ 这句的意思是,$\epsilon$ 既是 $C_0(K)$ 上的映射,又是 $Z_0(K)$ 上的映射,因为这两个群是一样的.
3. ^ $ \operatorname {sgn}$ 是符号函数;举例而言,对于 $-2a_i$,就可以分成 $2$ 个 $-a_i$.
4. ^ 观察这一结果,可以总结出寻找圆柱面上同调的链的简便方法,即 “掐头去尾”.比如这一例子里,$a_1a_2$ 的尾巴和 $a_2a_5$ 的头部相同,都是 $a_2$,那么我们就把它们首尾相连后去掉 $a_2$,就得到 $a_1a_5$.
5. ^ 注意,没有 $a_1a_4$ 项.

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