简谐振子受迫运动

             

预备知识 受阻简谐振子,振动的指数形式

   在受阻简谐振子的基础上,若给振子额外施加一个周期变化的力(驱动力),得到微分方程如下.

\begin{equation} m\ddot y = -\alpha \dot y - ky + f(t) \end{equation}
这时一个二阶常系数非齐次微分方程

1. 简谐振动

   以下先来讨论 $f(t)$ 为简谐函数的情况,该讨论并不需要直接解微分方程.令其振幅为 $B$,频率为 $\omega$.我们姑且假设经过足够长的时间后,该弹簧振子也会做简谐振动,振动频率等于 $f(t)$ 的频率.若能找到一个这样的解,就说明该假设是对的.

   为了方便计算,我们用指数形式表示振动,设

\begin{equation} \tilde y(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \qquad \tilde f(t) = \tilde B \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
由于我们的微分方程是线性的,如果复数形式的 $y(t)$ 和 $f(t)$ 能满足微分方程,那么它们的实部也能满足该微分方程.将它们代入式 1 ,得
\begin{equation} \tilde A = \frac{\tilde B}{k -\omega^2 m - \mathrm{i} \alpha\omega} \end{equation}
由于弹簧振子的固有频率为 $\omega_0 = \sqrt{k/m}$,上式可用 $\omega_0$ 表示为
\begin{equation} \tilde A = \frac{\tilde B}{m(\omega_0^2 - \omega^2) - \mathrm{i} \alpha\omega} \end{equation}
上式两边求模长,得到简谐振子的振幅 $A = |\tilde A|$ 与驱动力频率 $\omega$ 的关系,称为幅频关系
\begin{equation} A = \frac{B}{\sqrt{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 m^2 + \alpha^2\omega^2}} \end{equation}
假设 $\tilde B$ 的幅角为零,对 $\tilde A$ 求负幅角,得简谐振子初相位 $\varphi_0$ 与驱动频率 $\omega$ 的关系,称为相频关系($\arctan2$ 的定义见)
\begin{equation} \varphi_0 = -\arg \tilde A = \arctan2 \left[m(\omega_0^2 - \omega^2), -\alpha\omega \right] \end{equation}

图
图 1:幅频曲线和相频曲线

   式 5 的根号内是关于 $\omega^2$ 的二次函数,求得二次函数最小值的位置为

\begin{equation} \omega_m = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}} \end{equation}
幅频曲线可改写为
\begin{equation} A = \frac{B}{m\sqrt{(\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4)}} \end{equation}
所以 $A$ 的最大值为
\begin{equation} A_m = \frac{B}{m\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}} \end{equation}
式 8 可得,当 $\omega = 0$ 和 $\omega\to +\infty$ 时,振幅分别为 $B/k$ 和 $0$.前者代表施加的是一个恒力,结论符合胡克定律.

   再来观察相频曲线,注意初相位始终为负,说明简谐运动的相位始终落后于驱动力的相位,且频率越快,落后越多.由式 6 可知当 $\omega\to +\infty$ 时相位恰好落后 $\pi$.

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