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简谐振子的品质因数为
\begin{equation}
Q = \frac{k}{\alpha \omega_m}~,
\end{equation}
其中 $k$ 为弹性系数，$\alpha$ 为线性阻尼，$\omega_m$ 为共振角频率。
弹簧振子的品质因数有几种定义方法，它们是等效的
1. 从能量定义
\begin{equation}
Q = \frac{2\pi E}{W}~,
\end{equation}
其中 $E$ 是当 $\omega = \omega_m$ 时弹簧振子做简谐运动的总能量，$W$ 是 $\omega = \omega_m$ 时 $f(t)$ 在一个周期内给弹簧振子做的功，等于阻力在一个周期内消耗的能量。下面根据该定义推导。
当达到共振频率时（$\omega = \omega_m$），外力一周期做功
\begin{equation}
W = \int_0^{2\pi/\omega} \operatorname{Re} [y'(t)] \operatorname{Re} [f(t)] \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
令 $A = A_x + \mathrm{i} A_y$，则
\begin{equation}
\operatorname{Re} [y'(x)] = \operatorname{Re} [ \mathrm{i} \omega (A_x + \mathrm{i} A_y)(\cos\omega t + \mathrm{i} \sin\omega t)] = -\omega A_y \cos\omega t - \omega A_x \sin\omega t~,
\end{equation}
\begin{equation}
\operatorname{Re} f(t) = B\cos \omega t~.
\end{equation}
代入方程，得
\begin{equation}
W = -\omega B \int_0^{2\pi/\omega} (A_y \cos\omega t + A_x \sin\omega t) \cos\omega t \,\mathrm{d}{t} = -B A_y \pi~.
\end{equation}
另外弹簧振子的总能量为 $E = k \left\lvert A \right\rvert ^2/2$，所以品质因数为
\begin{equation}
Q = \frac{2\pi E}{W} = -\frac{k \left\lvert A \right\rvert ^2}{B A_y}~.
\end{equation}
此时
\begin{equation}
A = \frac{B}{m(\omega_0^2 - \omega^2) + \mathrm{i} \alpha\omega} = \frac{B}{\frac{\alpha^2}{2m} + \mathrm{i} \omega \alpha}~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\left\lvert A \right\rvert = \frac{ \left\lvert B \right\rvert }{\sqrt{\alpha^2\omega^2 + \frac{\alpha^4}{4m^2}}}~,
\end{equation}
\begin{equation}
A_y = \operatorname{Im} [A] = \frac{-B\omega\alpha}{\alpha^2\omega^2 + \frac{\alpha^2}{4m^2}}~.
\end{equation}
代入
式 7 ，得品质因数为
\begin{equation}
Q = \frac{k}{\alpha\omega_m}~.
\end{equation}
2. 从幅频曲线定义
当线性阻尼 $\alpha$ 很小时，品质因数为
\begin{equation}
Q = \frac{f_m}{\Delta {f}} = \frac{\omega_m}{\Delta \omega}~,
\end{equation}
其中 $\Delta\omega$ 是系统的能量—频率曲线的半高宽（FWHM）。由此可以看出品质因数越大，幅频曲线就越尖锐越细。
由于弹簧振子能量为 $E = k \left\lvert A \right\rvert _{max}^2/2$，$\Delta \omega$ 也是幅频曲线的 “$1/\sqrt{2}$ 高宽”。即满足
\begin{equation}
\left\lvert A \right\rvert \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \left\lvert A \right\rvert _{max}~
\end{equation}
的 $\omega$ 区间的宽度。
由于
\begin{equation}
\omega_m = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{\alpha^2}{2m^2}} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}}~,
\end{equation}
当阻力系数 $\alpha$ 很小时，弹簧振子的共振频率接近于无阻力时的频率。根据（未完成），
\begin{equation}
\omega_m = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\alpha^2}{2m^2}} = \omega_0 - \frac{\alpha^2}{4\omega_0 m^2}~,
\end{equation}
所以可以认为 $\omega_m \approx \omega_0$。
把幅频关系
\begin{equation}
\left\lvert A \right\rvert = \frac{ \left\lvert B \right\rvert }{m\sqrt{(\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4)}}~,
\end{equation}
代入
式 13 得
\begin{equation}
(\omega^2 - \omega_m^2)^2 + (\omega_0^4 - \omega_m^4) = 2(\omega_0^4 - \omega_m^4)~.
\end{equation}
解得
\begin{equation}
\omega^2 = \omega_m^2 \pm \sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}~,
\end{equation}
所以区间以 $\omega_0$ 为中心且
\begin{equation}
\Delta(\omega^2) = 2\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}~.
\end{equation}
而 $\Delta(\omega^2) \approx 2\omega_m \Delta \omega$，所以
\begin{equation}
\Delta \omega = \frac{\Delta(\omega^2)}{2\omega_m} = \frac{\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4}}{\omega_m}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\sqrt{\omega_0^4 - \omega_m^4} = \sqrt{(\omega_0^2 - \omega_m^2)(\omega_0^2 + \omega_m^2)}
\approx \sqrt{\frac{\alpha^2}{2m^2} \cdot 2\omega_m^2} = \frac{\alpha\omega_m}{m}~,
\end{equation}
所以 $\Delta \omega = {\alpha}/{m}$。所以
\begin{equation}
Q = \frac{\omega_m}{\Delta \omega} \approx \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{m\omega_0}{\alpha} = \frac{m}{\alpha} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{k}{\alpha \omega_0}
\approx \frac{k}{\alpha\omega_m}~,
\end{equation}
与第一种定义结论一致。
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