弹簧的串联和并联

             

预备知识 胡克定律
图
图 1:弹簧的串联(左)、并联(右)

   两个劲度系数为 $k_1, k_2$ 的弹簧的串联后劲度系数为 $k$,那么

\begin{equation} \frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \quad \text{或} \qquad k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \end{equation}
若并联后劲度系数为 $k$,那么
\begin{equation} k = k_1 + k_2 \end{equation}
可见弹簧的串联和并联分别类似于电阻的并联和串联.类似地多个弹簧串联或并联有
\begin{equation} \frac{1}{k} = \sum_i \frac{1}{k_i} \end{equation}
\begin{equation} k = \sum_i k_i \end{equation}

1. 推导

弹簧的串联

   先考虑两弹簧串联的情况, 如图 1 左,对于弹簧的串联,设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡.对弹簧 $1$ 受力分析,由平衡条件,其受弹簧 $2$ 的力大小 $F_1$ 等于外力 $F$,由牛顿第三定律,弹簧 $2$ 受弹簧 $1$ 作用力大小 $F_2$ 也为 $F$.即

\begin{equation} F_1=F_2=F \end{equation}
由胡克定律 $F=-k\Delta x$,上式可写为
\begin{equation} k_1\Delta x_1=k_2\Delta x_2=-F \end{equation}
那么对于弹簧系统,其劲度系数 $k$ 为
\begin{equation} k=\frac{-F}{\Delta x}=\frac{-F}{\Delta x_1+\Delta x_2}=\frac{-F}{\frac{-F}{k_1}+\frac{-F}{k_1}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2} \end{equation}
或者
\begin{equation} \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2} \end{equation}

   现在,我们用数学归纳法推导 $n(n\in \mathbb N)$ 个弹簧的串联公式式 3

   1)对于 $n=2$ 的情形,已由上面所证明;

   2)假设对任意给定的 $n=l$,式 3 成立,那么对 $n=l+1$ 情形,可看成前 $l$ 个弹簧串联的弹簧系统(劲度系数 $k_l$)与第 $l+1$ 个弹簧(劲度系数 $ k_{l+1}$)串联的情形.即对于 $n=l+1$ 个弹簧串联的系统,其劲度系数 $k$ 满足

\begin{equation} \frac{1}{k}=\frac{1}{k_l}+\frac{1}{k_{l+1}} \end{equation}

   由假设

\begin{equation} \frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{1}{k_i} \end{equation}
代入式 9 ,得
\begin{equation} \frac{1}{k_l}=\sum\limits_{i=1}^{l+1}\frac{1}{k_i} \end{equation}

   由数学归纳法原理,式 3 成立

弹簧的并联

   同样,先考虑两弹簧并联的情况, 如图 1 右,对于弹簧的并联,设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡.设弹簧 1 和弹簧 2 受力分别为 $F_1$ 和 $F_2$,对整个系统受力分析,由平衡条件

\begin{equation} F_1+F_2=F \end{equation}
而对并联情形,明显有整个系统伸长量 $\Delta x$、两弹簧伸长量 $\Delta x_1$ 和 $\Delta x_2$ 三者相同
\begin{equation} \Delta x=\Delta x_1=\Delta x_2 \end{equation}
由胡克定律 $F=-k\Delta x$,式 16 可写为
\begin{equation} k_1\Delta x_1+k_2\Delta x_2=k\Delta x \end{equation}
式 13 代入式 14 ,得整个弹簧系统劲度系数 $k$
\begin{equation} k=k_1+k_2 \end{equation}

   与弹簧串联中证明完全类似,我们得到 $n$ 个弹簧并联时的公式式 4

2. 弹簧的切割

   如果把一根均匀弹簧切割成原长的 $\lambda$($\lambda < 1$)倍,那么它的劲度系数变为

\begin{equation} k' = \frac{k}{\lambda} \end{equation}

   证明:我们可以把弹簧原长分割成 $n$ 等分,由于弹簧是均匀的,每份的劲度系数都为 $k_0$,那么根据式 3

\begin{equation} k_0 = nk \end{equation}
然后再把其中连续的 $m$($m < n$)等分串联,有
\begin{equation} k' = \frac{n}{m}k \end{equation}
由于以上的 $m, n$ 可以任取,我们可以使 $m/n \to x$(当 $x$ 是有理数时取等号).所以有式 16

例 1 

   一根弹性绳劲度系数为 $k$,固定在水平相距为 $L$ 的两点之间,绳子原长远小于 $L$.在距离绳一端 $x$ 处固定一个质点,质点受重力下沉后使其平衡静止,求下沉的深度 $h$.

图
图 2:受力分析

   假设质点左边部分的原长占总原长的比例为 $\lambda$,右边部分的原长占 $1-\lambda$,则有

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\frac{k_1}{k_2} = \frac{1-\lambda}{\lambda}\\ &\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \end{aligned}\right. \end{equation}
根据式 16
\begin{equation} k_1 = \frac{k}{\lambda} \qquad k_2 = \frac{k}{1-\lambda} \end{equation}
受力分析
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &T_1\sin\theta_1 + T_2\sin\theta_2 = mg\\ &T_1\cos\theta_1 = T_2\cos\theta_2 \end{aligned}\right. \end{equation}
其中
\begin{equation} \tan\theta_1 = \frac{h}{x} \qquad \tan\theta_2 = \frac{h}{L-x} \end{equation}
\begin{equation} T_1 = \frac{x}{\cos\theta_1} k_1 \qquad T_2 = \frac{L-x}{\cos\theta_2} k_2 \end{equation}
解得
\begin{equation} h = \frac{mg}{Lk \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{L-x} \right) } \end{equation}

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