弹簧的串联和并联

贡献者：零穹; addis

预备知识　胡克定律

图 1：弹簧的串联（左）、并联（右）

　　两个劲度系数为 $k_{1}, k_{2}$ 的弹簧的串联后劲度系数为 $k$ ，那么

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} 或 k = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}} . \end{matrix}

若并联后劲度系数为

k

，那么

\begin{matrix} (2) & k = k_{1} + k_{2} . \end{matrix}

可见弹簧的串联和并联分别类似于电阻的并联和串联。类似地多个弹簧串联或并联有

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{k} = \sum_{i} \frac{1}{k_{i}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & k = \sum_{i} k_{i} . \end{matrix}

1. 推导

弹簧的串联

　　先考虑两弹簧串联的情况，如图 1 左，对于弹簧的串联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。对弹簧 $1$ 受力分析，由平衡条件，其受弹簧 $2$ 的力大小 $F_{1}$ 等于外力 $F$ ，由牛顿第三定律，弹簧 $2$ 受弹簧 $1$ 作用力大小 $F_{2}$ 也为 $F$ 。即

\begin{matrix} (5) & F_{1} = F_{2} = F . \end{matrix}

由胡克定律

F = - k Δ x

，上式可写为

\begin{matrix} (6) & k_{1} Δ x_{1} = k_{2} Δ x_{2} = - F . \end{matrix}

那么对于弹簧系统，其劲度系数

k

为

\begin{matrix} (7) & k = \frac{- F}{Δ x} = \frac{- F}{Δ x_{1} + Δ x_{2}} = \frac{- F}{\frac{- F}{k_{1}} + \frac{- F}{k_{2}}} = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}, \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} . \end{matrix}

　　现在，我们用数学归纳法推导 $n (n \in N)$ 个弹簧的串联公式式 3 。

　　 1）对于 $n = 2$ 的情形，已由上面所证明；

　　 2）假设对任意给定的 $n = l$ ，式 3 成立，那么对 $n = l + 1$ 情形，可看成前 $l$ 个弹簧串联的弹簧系统（劲度系数 $k_{l}$ ）与第 $l + 1$ 个弹簧（劲度系数 $k_{l + 1}$ ）串联的情形。即对于 $n = l + 1$ 个弹簧串联的系统，其劲度系数 $k$ 满足

\begin{matrix} (9) & \frac{1}{k} = \frac{1}{k_{l}} + \frac{1}{k_{l + 1}} . \end{matrix}

　　由假设

\begin{matrix} (10) & \frac{1}{k_{l}} = \sum_{i = 1}^{l} \frac{1}{k_{i}}, \end{matrix}

代入式 9 ，得

\begin{matrix} (11) & \frac{1}{k_{l}} = \sum_{i = 1}^{l + 1} \frac{1}{k_{i}} . \end{matrix}

　　由数学归纳法原理，式 3 成立

弹簧的并联

　　同样，先考虑两弹簧并联的情况，如图 1 右，对于弹簧的并联，设弹簧系统两边受力 $F$ 达到平衡。设弹簧 1 和弹簧 2 受力分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，对整个系统受力分析，由平衡条件

\begin{matrix} (12) & F_{1} + F_{2} = F, \end{matrix}

而对并联情形，明显有整个系统伸长量

Δ x

、两弹簧伸长量

Δ x_{1}

和

Δ x_{2}

三者相同

\begin{matrix} (13) & Δ x = Δ x_{1} = Δ x_{2} . \end{matrix}

由胡克定律

F = - k Δ x

，式 16 可写为

\begin{matrix} (14) & k_{1} Δ x_{1} + k_{2} Δ x_{2} = k Δ x . \end{matrix}

式 13 代入式 14 ，得整个弹簧系统劲度系数

k

\begin{matrix} (15) & k = k_{1} + k_{2} . \end{matrix}

　　与弹簧串联中证明完全类似，我们得到 $n$ 个弹簧并联时的公式式 4

2. 弹簧的切割

　　如果把一根均匀弹簧切割成原长的 $λ$ （ $λ < 1$ ）倍，那么它的劲度系数变为

\begin{matrix} (16) & k^{'} = \frac{k}{λ} . \end{matrix}

　　证明：我们可以把弹簧原长分割成 $n$ 等分，由于弹簧是均匀的，每份的劲度系数都为 $k_{0}$ ，那么根据式 3 有

\begin{matrix} (17) & k_{0} = n k, \end{matrix}

然后再把其中连续的

m

（

m < n

）等分串联，有

\begin{matrix} (18) & k^{'} = \frac{n}{m} k . \end{matrix}

由于以上的

m, n

可以任取，我们可以使

m / n \to x

（当

x

是有理数时取等号）。所以有式 16 。

例 1　

　　一根弹性绳劲度系数为 $k$ ，固定在水平相距为 $L$ 的两点之间，绳子原长远小于 $L$ 。在距离绳一端 $x$ 处固定一个质点，质点受重力下沉后使其平衡静止，求下沉的深度 $h$ 。

图 2：受力分析

　　假设质点左边部分的原长占总原长的比例为 $λ$ ，右边部分的原长占 $1 - λ$ ，则有

\begin{matrix} (19) & {\begin{aligned} \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{1 - λ}{λ} \\ \frac{1}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

根据式 16

\begin{matrix} (20) & k_{1} = \frac{k}{λ}, k_{2} = \frac{k}{1 - λ} . \end{matrix}

受力分析

\begin{matrix} (21) & {\begin{aligned} T_{1} \sin θ_{1} + T_{2} \sin θ_{2} = m g \\ T_{1} \cos θ_{1} = T_{2} \cos θ_{2}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (22) & \tan θ_{1} = \frac{h}{x}, \tan θ_{2} = \frac{h}{L - x}, \end{matrix}

\begin{matrix} (23) & T_{1} = \frac{x}{\cos θ_{1}} k_{1}, T_{2} = \frac{L - x}{\cos θ_{2}} k_{2} . \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (24) & h = \frac{m g}{L k (\frac{1}{x} + \frac{1}{L - x})} . \end{matrix}

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