电偶极子辐射

                     

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预备知识 电磁场推迟势

  1令原点处的电偶极子为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t) = p_0 \cos\left(\omega t\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

   使用洛伦兹规范,在 $d \ll \lambda \ll r$ 的近似下($d$ 是偶极子的长度,$\lambda = \frac{2\pi}{k}$)

\begin{equation} \varphi(r, \theta, t) = -\frac{p_0\omega}{4\pi\epsilon_0 c} \left(\frac{\cos\theta}{r} \right) \sin[\omega(t - r/c)] \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} (r, \theta, t) = -\frac{\mu_0 p_0 \omega}{4\pi r} \sin[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
进而得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi} \left(\frac{\sin\theta}{r} \right) \cos[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi c} \left(\frac{\sin\theta}{r} \right) \cos[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}

图
图 1:$\theta = \pi/2$ 时的电场强度大小随 r 关系示意图.z 轴高度为电场强度.在一个局域截面上,辐射出的球面波行为类似于平面电磁波 .一个可动的模型(站外链接)

辐射功率

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{16\pi^2c} \frac{\sin^2\theta}{r^2} \cos^2[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
时间平均值为
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rangle = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{32\pi^2c} \frac{\sin^2\theta}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}

图
图 2:$s$ 的“等强度面”.注意平行于偶极子的 $ \boldsymbol{\mathbf{z}} $ 方向上没有能流.仿自 [19] .一个立体模型(站外链接)

   总辐射功率(时间平均)为

\begin{equation} \left\langle P \right\rangle = \oint \left\langle \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rangle \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} \end{equation}
总辐射功率是定值体现了能量守恒.如果总辐射功率不为定值,说明来自源的一部分能量在传播过程中被损耗掉了.


1. ^ 参考 [19]


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