电偶极子辐射

             

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预备知识 电磁场推迟势

  1令原点处的电偶极子为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} (t) = p_0 \cos\left(\omega t\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
使用洛伦兹规范,在 $r \gg \lambda$ 的近似下
\begin{equation} \varphi(r, \theta, t) = -\frac{p_0\omega}{4\pi\epsilon_0 c} \left(\frac{\cos\theta}{r} \right) \sin[\omega(t - r/c)] \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} (r, \theta, t) = -\frac{\mu_0 p_0 \omega}{4\pi r} \sin[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
进而得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi} \left(\frac{\sin\theta}{r} \right) \cos[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi c} \left(\frac{\sin\theta}{r} \right) \cos[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
其中用到了近似($d$ 是偶极子的长度,$k = 2\pi/\lambda$)
\begin{equation} d \ll \frac{1}{k} \ll r \end{equation}

辐射功率

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{16\pi^2c} \frac{\sin^2\theta}{r^2} \cos^2[\omega(t - r/c)] \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
时间平均值为
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rangle = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\mu_0p_0^2\omega^4}{32\pi^2c} \frac{\sin^2\theta}{r^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
总辐射功率(时间平均)为
\begin{equation} \left\langle P \right\rangle = \oint \left\langle \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rangle \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} \end{equation}


1. ^ 参考 [15]

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