电偶极子辐射

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　电磁场推迟势

　　¹令原点处的电偶极子为

\begin{matrix} (1) & p (t) = p_{0} \cos (ω t) \hat{z} . \end{matrix}

　　使用洛伦兹规范，在 $d ≪ λ ≪ r$ 的远场近似下（ $d$ 是偶极子的长度， $λ = \frac{2 π}{k}$ ）

\begin{matrix} (2) & φ (r, θ, t) = - \frac{p_{0} ω}{4 π ϵ_{0} c} (\frac{\cos θ}{r}) \sin [ω (t - r / c)], \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & A (r, θ, t) = - \frac{μ_{0} p_{0} ω}{4 π r} \sin [ω (t - r / c)] \hat{z} . \end{matrix}

进而得

\begin{matrix} (4) & E = - \frac{μ_{0} p_{0} ω^{2}}{4 π} (\frac{\sin θ}{r}) \cos [ω (t - r / c)] \hat{θ}, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & B = - \frac{μ_{0} p_{0} ω^{2}}{4 π c} (\frac{\sin θ}{r}) \cos [ω (t - r / c)] \hat{ϕ} . \end{matrix}

图 1：

Z = 0

平面上的电场矢量场.原点附近由于远场近似不再有效而发散。笔者制作的一个可动的立体模型（站外链接）

图 2：

X

轴上的电场矢量场。在远处辐射场行为类似平面电磁波

图 3：

Y = 0

上的电场矢量场。

绘制矢量场的.m 代码

clc
clear
T=2;%周期
w=2*pi/T;
v=1;%波速
k=w/v;
t=0;%时刻

[x y z] = meshgrid(-5:0.2:5,-5:0.2:5,-5:0.2:5);
%将轴的范围设成0，可得到截面上的矢量场.完整的矢量场太复杂了
[phi theta r]=cart2sph(x,y,z);
theta = pi/2-theta;
E = -(sin(theta)./r).*cos(w*t-k*r);%电场强度数值
a = E.*cos(theta).*cos(phi);
b = E.*cos(theta).*sin(phi);
c = E.*-sin(theta);

hold on
axis equal;
axis([-5 5 -5 5 -5 5]);

xlabel('X','fontsize',12,'fontname','Times New Roman');
ylabel('Y','fontsize',12,'fontname','Times New Roman');
zlabel('Z','fontsize',12,'fontname','Times New Roman');

quiver3(x,y,z,a,b,c,0);

line([-10 10], [0 0],[0 0]);

hold off

辐射功率

　　可用能流密度（坡印廷矢量）描述辐射功率。

\begin{matrix} (6) & s (r, t) = \frac{1}{μ_{0}} E \times B = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4}}{16 π^{2} c} \frac{\sin^{2} θ}{r^{2}} \cos^{2} [ω (t - r / c)] \hat{r} . \end{matrix}

时间平均值为

\begin{matrix} (7) & ⟨ s ⟩ = \frac{1}{μ_{0}} E \times B = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4}}{32 π^{2} c} \frac{\sin^{2} θ}{r^{2}} \hat{r} . \end{matrix}

图 4：

⟨ s ⟩

的“等强度面”,内圈的

⟨ s ⟩

强度更高.注意平行于偶极子的方向上没有能流.一个立体模型（站外链接）

　　总辐射功率（时间平均）为

\begin{matrix} (8) & ⟨ P ⟩ = \oint ⟨ s ⟩ \cdot d a = \frac{μ_{0} p_{0}^{2} ω^{4}}{12 π c} . \end{matrix}

总辐射功率是定值体现了能量守恒。如果总辐射功率不为定值，说明来自源的一部分能量在传播过程中被损耗掉了。

1. ^ 参考 [1]。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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