实数中的开集和闭集

                     

贡献者: 3sanha0

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预备知识 度量空间

   从实数理论中我们可以知道,有理数集和实数集都是域,同时他们都是良序的.以三个集合的描绘角度来说,它们的代数结构,序结构都是一致的,而第三个拓扑结构才是这两个集合的真正不同之处.我们要在一个足够普遍的空间上进行,但是我的能力有限,不能揭示出其中朴素的思想.总而言之,我们只需要一个有距离的空间——度量空间上去讨论.

   利用度量空间上的距离函数,我们可以定义有界集.

定义 1 有界集

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集,如果 $\exists{p}\in{X}$ 使得 $\exists{M}\in{\mathbb{R}}$,$\forall{q}\in{E}$,总是满足 \[d(p,q) < M\] 则称 $E$ 是 $X$ 上的有界集.

   注意:这里的有界的概念是度量空间的子集中的概念,和有序域中的的上下界以及上下确界是不同的.很快我们会发现它们之间的联系.

定义 2 邻域

   在度量空间 $X$ 中,$p$ 是 $X$ 上的一个点,围绕 $p$ 的满足 $d(p,q) < r$ 的点的集合,称为 $p$ 的半径为 $r$ 的邻域记作 $N_r(p)$

\begin{equation} N_r(p):=\{q|q\in{X},d(p,q) < r\} \end{equation}

定义 3 极限点

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集,$p\in{X}$ 是 $X$ 上一个点.当只要 $r$ 大于零时,总有{\heiti 去心邻域}$\hat{N_r}(p)\cap{E}\not=\varnothing$,则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 极限点}.

\begin{equation} \forall{r > 0},\hat{N_r}(p)\cap{E}\not=\varnothing \end{equation}

定义 4 内点

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集,$p\in{E}$ 是 $E$ 上一个点.总是存在大于零的 $r$,使得点 $p$ 的邻域 $N_r(p)\subset{E}$,则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 内点}.

\begin{equation} \exists{r > 0},N_r(p)\subset{E} \end{equation}

定义 5 闭集

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集,$E$ 中所有的极限点都是 $E$ 的元素,那么这样的集合称为闭集.

\begin{equation} \forall{p\in{E}},\forall{r > 0},\text{使得}\hat{N}_r(p)\cap{E}\not=\varnothing \end{equation}

定义 6 开集

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集,$E$ 中所有的点都是 $E$ 的内点,那么这样的集合称为开集.

\begin{equation} \forall{p\in{E}},\exists{r > 0},\text{使得}N_r(p)\subset{E} \end{equation}

定理 1 开集的补集是闭集

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集,如果 $E$ 是开集,则 $E^C$ 是一个闭集.

推论 1 闭集的补集是开集

   设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集,如果 $E$ 是闭集,则 $E^C$ 是一个开集.

   证明:

  1. 开集的补集是闭集 设 $E$ 是开集,所以 $E$ 中的点满足
    \begin{equation} \forall{p\in{E}},\text{都}\exists{r} > 0\text{使得}N_r(p)\subset{E} \end{equation}
    因为 $E^C$ 的极限点 $x$ 满足
    \begin{equation} \forall{r} > 0,\text{使得}\hat{N}_r(x)\cap{E^C}\not=\varnothing \end{equation}
    因此 $x$(如果存在的话)一定不属于 $E$.因此 $E^C$ 包含所有 $E^C$ 中的极限点,是闭集.
  2. 闭集的补集是开集 设 $E$ 是闭集,所以 $E$ 包含所有 $E$ 中的极限点.即,$E^C$ 不包含 $E$ 的极限点.所以,$E^C$ 中的每个点都满足
    \begin{equation} \forall{p}\in{E^C},\exists{r > 0},\text{使得}N_r(p)\cap{E}=\varnothing \end{equation}
    即 $N_r(p)\cap{E^C}=N_r(p)$ 所以,每个 $E^C$ 上的点都是内点.$E^C$ 是开集.

定理 2 开集的无限并也是开集

   设 ${K_i}$ 是一族开集,则

\begin{equation} \forall{i}\in{I},K_i\text{是开集}\Rightarrow{\bigcup_{I}K_i\text{是开集}} \end{equation}

   证明

定义 7 完备集

定义 8 闭包

定义 9 相对开集


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