实数中的开集和闭集

贡献者： 3sanha0

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与实数集的拓扑重复了

预备知识　度量空间

　　从实数理论中我们可以知道，有理数集和实数集都是域，同时他们都是良序的。以三个集合的描绘角度来说，它们的代数结构，序结构都是一致的，而第三个拓扑结构才是这两个集合的真正不同之处。我们要在一个足够普遍的空间上进行，但是我的能力有限，不能揭示出其中朴素的思想。总而言之，我们只需要一个有距离的空间——度量空间上去讨论。

　　利用度量空间上的距离函数，我们可以定义有界集。

定义 1　有界集

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $\exists p \in X$ 使得 $\exists M \in R$ ， $\forall q \in E$ ，总是满足 $d (p, q) < M,$ 则称 $E$ 是 $X$ 上的有界集。

　　注意：这里的有界的概念是度量空间的子集中的概念，和有序域中的的上下界以及上下确界是不同的。很快我们会发现它们之间的联系。

定义 2　邻域

　　在度量空间 $X$ 中， $p$ 是 $X$ 上的一个点，围绕 $p$ 的满足 $d (p, q) < r$ 的点的集合，称为 $p$ 的半径为 $r$ 的邻域记作 $N_{r} (p)$

\begin{matrix} (1) & N_{r} (p) := {q | q \in X, d (p, q) < r} . \end{matrix}

定义 3　极限点

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集， $p \in X$ 是 $X$ 上一个点。当只要 $r$ 大于零时，总有{\heiti 去心邻域} $\hat{N_{r}} (p) \cap E \neq \emptyset$ ，则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 极限点}。

\begin{matrix} (2) & \forall r > 0, \hat{N_{r}} (p) \cap E \neq \emptyset . \end{matrix}

定义 4　内点

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集， $p \in E$ 是 $E$ 上一个点。总是存在大于零的 $r$ ，使得点 $p$ 的邻域 $N_{r} (p) \subset E$ ，则称 $p$ 点为 $E$ 上的一个{\heiti 内点}。

\begin{matrix} (3) & \exists r > 0, N_{r} (p) \subset E . \end{matrix}

定义 5　闭集

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集， $E$ 中所有的极限点都是 $E$ 的元素，那么这样的集合称为闭集。

\begin{matrix} (4) & \forall p \in E, \forall r > 0, 使得 {\hat{N}}_{r} (p) \cap E \neq \emptyset . \end{matrix}

定义 6　开集

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的一个子集， $E$ 中所有的点都是 $E$ 的内点，那么这样的集合称为开集。

\begin{matrix} (5) & \forall p \in E, \exists r > 0, 使得 N_{r} (p) \subset E . \end{matrix}

定理 1　开集的补集是闭集

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $E$ 是开集，则 $E^{C}$ 是一个闭集。

推论 1　闭集的补集是开集

　　设 $E$ 是度量空间 $X$ 的子集，如果 $E$ 是闭集，则 $E^{C}$ 是一个开集。

　　证明:

开集的补集是闭集 设 $E$ 是开集，所以 $E$ 中的点满足
$\begin{matrix} (6) & \forall p \in E, 都 \exists r > 0 使得 N_{r} (p) \subset E . \end{matrix}$
因为 $E^{C}$ 的极限点 $x$ 满足
$\begin{matrix} (7) & \forall r > 0, 使得 {\hat{N}}_{r} (x) \cap E^{C} \neq \emptyset, \end{matrix}$
因此 $x$ （如果存在的话）一定不属于 $E$ 。因此 $E^{C}$ 包含所有 $E^{C}$ 中的极限点，是闭集。
闭集的补集是开集 设 $E$ 是闭集，所以 $E$ 包含所有 $E$ 中的极限点。即， $E^{C}$ 不包含 $E$ 的极限点。所以， $E^{C}$ 中的每个点都满足
$\begin{matrix} (8) & \forall p \in E^{C}, \exists r > 0, 使得 N_{r} (p) \cap E = \emptyset . \end{matrix}$
即 $N_{r} (p) \cap E^{C} = N_{r} (p)$ 所以，每个 $E^{C}$ 上的点都是内点。 $E^{C}$ 是开集。

定理 2　开集的无限并也是开集

　　设 $K_{i}$ 是一族开集，则

\begin{matrix} (9) & \forall i \in I, K_{i} 是开集 \Rightarrow ⋃_{I} K_{i} 是开集 . \end{matrix}

　　证明

定义 7　完备集

定义 8　闭包

定义 9　相对开集

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实数中的开集和闭集

定义 1 有界集

定义 2 邻域

定义 3 极限点

定义 4 内点

定义 5 闭集

定义 6 开集

定理 1 开集的补集是闭集

推论 1 闭集的补集是开集

定理 2 开集的无限并也是开集

定义 7 完备集

定义 8 闭包

定义 9 相对开集