标准差与方差

贡献者： JierPeter; ACertainUser

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图 1：经典的正态分布示意图。三组数据的平均值虽然相同，但是他们的离散程度不同。

　　标准差和方差用于衡量一组数据的离散程度。

　　直观地，如果所有数据都是相等的，我们就认为这组数据没有一点离散；但若数据平均值不变，各数据离平均值越远，我们就认为数据离散程度越高。因此，我们可以给出衡量离散程度的式子：

定义 1　方差

　　设有一组数据 $\{x_i\}_{i=1}^n$，它们的平均值是 $\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$。则定义这组数据的方差为

\begin{equation} \sigma^2 = \frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{n}~. \end{equation}

　　定义方差时使用平方，是为了避免向不同方向离开平均值的数据相互抵消。

定义 2　总体标准差

　　设有一组数据 $\{x_i\}_{i=1}^n$，它们的平均值是 $\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$。则定义这组数据的总体标准差为

\begin{equation} \sigma = \sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{n}}~. \end{equation}

定义 3　标准误差

　　数据的标准误差定义为 $\sigma_n=\sigma/\sqrt{n}$。

定义 4　样本标准差

　　设有一组数据 $\{x_i\}_{i=1}^n$，它们的平均值是 $\mu=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$。则定义这组数据的样本标准差为

\begin{equation} S = \sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+\cdots+(x_n-\mu)^2}{n-1}}~. \end{equation}

1. 与期望值的关系

　　给定一组数据 $\{x_i\}_{i=1}^n$，记它的平均值（期望值）为 $\langle x_i \rangle$，即定义 1 里的 $\mu$。有了这个符号，就可以方便地表示 $\{x_i^2\}$ 的平均值了：$\langle x_i^2 \rangle$。

　　根据式 1 ，

\begin{equation} \begin{aligned} \sigma^2 &= \frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}+\frac{n\mu^2}{n}-\frac{2\mu(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}\\ &=\langle x_i^2 \rangle+\mu^2-2\mu\langle x_i \rangle\\ &=\langle x_i^2 \rangle-\langle x_i \rangle^2~. \end{aligned} \end{equation}

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标准差与方差

定义 1 方差

定义 2 总体标准差

定义 3 标准误差

定义 4 样本标准差

1. 与期望值的关系

定义 1　方差

定义 2　总体标准差

定义 3　标准误差

定义 4　样本标准差