标准差与方差

贡献者： JierPeter; ACertainUser

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图 1：经典的正态分布示意图。三组数据的平均值虽然相同，但是他们的离散程度不同。

　　标准差和方差用于衡量一组数据的离散程度。

　　直观地，如果所有数据都是相等的，我们就认为这组数据没有一点离散；但若数据平均值不变，各数据离平均值越远，我们就认为数据离散程度越高。因此，我们可以给出衡量离散程度的式子：

定义 1　方差

　　设有一组数据 ${x_{i}}_{i = 1}^{n}$ ，它们的平均值是 $μ = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ 。则定义这组数据的方差为

\begin{matrix} (1) & σ^{2} = \frac{(x_{1} - μ)^{2} + (x_{2} - μ)^{2} + \dots + (x_{n} - μ)^{2}}{n} . \end{matrix}

　　定义方差时使用平方，是为了避免向不同方向离开平均值的数据相互抵消。

定义 2　总体标准差

　　设有一组数据 ${x_{i}}_{i = 1}^{n}$ ，它们的平均值是 $μ = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ 。则定义这组数据的总体标准差为

\begin{matrix} (2) & σ = \sqrt{\frac{(x_{1} - μ)^{2} + (x_{2} - μ)^{2} + \dots + (x_{n} - μ)^{2}}{n}} . \end{matrix}

定义 3　标准误差

　　数据的标准误差定义为 $σ_{n} = σ / \sqrt{n}$ 。

定义 4　样本标准差

　　设有一组数据 ${x_{i}}_{i = 1}^{n}$ ，它们的平均值是 $μ = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ 。则定义这组数据的样本标准差为

\begin{matrix} (3) & S = \sqrt{\frac{(x_{1} - μ)^{2} + (x_{2} - μ)^{2} + \dots + (x_{n} - μ)^{2}}{n - 1}} . \end{matrix}

1. 与期望值的关系

　　给定一组数据 ${x_{i}}_{i = 1}^{n}$ ，记它的平均值（期望值）为 $⟨ x_{i} ⟩$ ，即定义 1 里的 $μ$ 。有了这个符号，就可以方便地表示 ${x_{i}^{2}}$ 的平均值了： $⟨ x_{i}^{2} ⟩$ 。

　　根据式 1 ，

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} σ^{2} & = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} + \frac{n μ^{2}}{n} - \frac{2 μ (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})}{n} \\ = ⟨ x_{i}^{2} ⟩ + μ^{2} - 2 μ ⟨ x_{i} ⟩ \\ = ⟨ x_{i}^{2} ⟩ - ⟨ x_{i} ⟩^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

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标准差与方差

定义 1 方差

定义 2 总体标准差

定义 3 标准误差

定义 4 样本标准差

1. 与期望值的关系

定义 1　方差

定义 2　总体标准差

定义 3　标准误差

定义 4　样本标准差