剩余类环

                     

贡献者: 零穹

预备知识 环

   在代数中,剩余类环是各类一般概念的出发点。

1. 同余

定义 1 模 $m$ 同余

   设 $n, n^{\prime}$ 是两整数,若用正整数 $m$ 去除它们时余数相同,则称 $n, n^{\prime}$ 模 $m$ 同余,记作 $n \equiv n^{\prime}(\bmod m)$ 或 $n \equiv n^{\prime}(m)$。

   由于除数为 $m$ 时余数只能为 $\{0,1, \cdots, m-1\}$ 中的一个,我们把在除数 $m$ 时余数为 $r$ 的所有自然数构成的集合记作 $\{r\}_m$,称为模 $m$ 的同余类 $\mathrm{Q}$ (或剩余类),更数学一点说:同余关系是个等价关系(定义 3 )。于是

\begin{equation} \{r\}_m=r+m \mathbb{N}=\{r+m k \mid k \in \mathbb{N}\}~. \end{equation}
这就相当于给整数集分了类:
\begin{equation} \mathbb{Z}=\{0\}_m \cup\{1\}_m \cdots \cup\{m-1\}_m~. \end{equation}

   为了方便叙述,定义(或参见定义 1

定义 2 整除的记号

   若正整数 $m$ 整除整数 $n$,即用 $m$ 除 $n$ 余数为 0,则记 $m \mid n$.

   同余性质 1: 若 $n \equiv n^{\prime}(m)$ 且 $n \geq n^{\prime}$,则 $m \mid\left(n-n^{\prime}\right)$.

   这是因为模 $m$ 同余的两个自然数,它们余数相同,所以它们之差把余数给消掉了,剩下两个 $m$ 的倍 数之差。

   同余性质 2: 若 $k \equiv k^{\prime}(m)$ 且 $l \equiv l^{\prime}(m)$,则 $k+l=k^{\prime}+l^{\prime}(m), k l \equiv k^{\prime} l^{\prime}(m)$.

   证明:因为 $k, k^{\prime}$ 余数相同,$l, l^{\prime}$ 余数也相同,那么 $k+l$ 和 $k^{\prime}+l^{\prime}$ 余数当然相同了。 更清晰点:

\begin{equation} \begin{aligned} & k \equiv k^{\prime}(m) \Rightarrow k=a_1 m+b, k^{\prime}=a_2 m+b~, \\ & l \equiv l^{\prime}(m) \Rightarrow l=n_1 m+r, l^{\prime}=n_2 m+r~. \end{aligned} \end{equation}
所以 $k+l=a_1 m+n_1 m+(b+r), \quad k^{\prime}+l^{\prime}=a_2 m+n_2 m+(b+r).$ 所以 $k+l, k+l^{\prime}$ 被 $m m$ 除的余数和 $b+r$ 被 $m$ 除的余数相同,所以 $k+l=k^{\prime}+l^{\prime}(m)$ ,同样的 $k l \equiv k^{\prime} l^{\prime}(m)$。

   证毕!

   性质 $2$ 表明,同余类之间在加法和乘法之下的余数和集合内的元素没关系,随便取该类的任一元素和另一类的任一元素做加法和乘法,得到的自然数用 $m$ 除余数都一样。这就是如果我们只看自然数和某个正整数的余数 $m$ 的话,那只要把同余类都当作一个元素就好了,毕竟取类中哪个元素都没关系。既然同余类和其上元素没有关系,那么可把 $\{r\}_m$ 中的 $r$ 用任一数 $r+k m \quad(k \in \mathbb{N})$ 替换,即 $\{r\}_m=\{r+k m\}_m$。 现在把每个同余类 $\{r\}_m$ 都当成一个元素,或说一个单一的个体,为了强调这一点,直接记 $\bar{r}=\{r\}_m$ 那么新得到的集合:

\begin{equation} \mathbb{Z}_m=\{\overline{0}, \overline{1}, \cdots, \overline{m-1}\}~. \end{equation}
其上诱导了新的加运算 $\oplus$ 和积运算 $\otimes$,使得
\begin{equation} \bar{k} \oplus \bar{l}=\overline{k+l}, \quad \bar{k} \otimes \bar{l}=\overline{k l}~. \end{equation}
这一好处是,若注意力仅仅放在被 $m$ 除的余数上,那么考虑整数集和考虑 $\mathbb{Z}_m$ 是等价的,这样放弃上横线,取集合 $$ \{0,1 \cdots, m-1\}~. $$ 于是此时就只需考虑这个只含前 $m$ 个自然数的集合了,这集合称为模 $m$ 的同余类的导出集

2. 剩余类环

定理 1 剩余类环

   $\{\mathbb Z_m,\oplus,\otimes\}$ 是个带有单位元 $\bar 1=1+m\mathbb Z$ 的交换环。

习题 1 

   证明定理 1


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