剩余类环

贡献者：零穹

预备知识　环

　　在代数中，剩余类环是各类一般概念的出发点。

1. 同余

定义 1　模 $m$ 同余

　　设 $n, n^{'}$ 是两整数，若用正整数 $m$ 去除它们时余数相同，则称 $n, n^{'}$ 模 $m$ 同余，记作 $n \equiv n^{'} (mod m)$ 或 $n \equiv n^{'} (m)$ 。

　　由于除数为 $m$ 时余数只能为 ${0, 1, \dots, m - 1}$ 中的一个，我们把在除数 $m$ 时余数为 $r$ 的所有自然数构成的集合记作 ${r}_{m}$ ，称为模 $m$ 的同余类 $Q$ (或剩余类)，更数学一点说：同余关系是个等价关系（定义 3 ）。于是

\begin{matrix} (1) & {r}_{m} = r + m N = {r + m k ∣ k \in N} . \end{matrix}

这就相当于给整数集分了类:

\begin{matrix} (2) & Z = {0}_{m} \cup {1}_{m} \dots \cup {m - 1}_{m} . \end{matrix}

　　为了方便叙述，定义（或参见定义 1 ）

定义 2　整除的记号

　　若正整数 $m$ 整除整数 $n$ ，即用 $m$ 除 $n$ 余数为 0，则记 $m ∣ n$ .

　　 同余性质 1: 若 $n \equiv n^{'} (m)$ 且 $n \geq n^{'}$ ，则 $m ∣ (n - n^{'})$ .

　　这是因为模 $m$ 同余的两个自然数，它们余数相同，所以它们之差把余数给消掉了，剩下两个 $m$ 的倍数之差。

　　 同余性质 2: 若 $k \equiv k^{'} (m)$ 且 $l \equiv l^{'} (m)$ ，则 $k + l = k^{'} + l^{'} (m), k l \equiv k^{'} l^{'} (m)$ .

　　 证明：因为 $k, k^{'}$ 余数相同， $l, l^{'}$ 余数也相同，那么 $k + l$ 和 $k^{'} + l^{'}$ 余数当然相同了。更清晰点:

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} k \equiv k^{'} (m) \Rightarrow k = a_{1} m + b, k^{'} = a_{2} m + b, \\ l \equiv l^{'} (m) \Rightarrow l = n_{1} m + r, l^{'} = n_{2} m + r . \end{aligned} \end{matrix}

所以

k + l = a_{1} m + n_{1} m + (b + r), k^{'} + l^{'} = a_{2} m + n_{2} m + (b + r) .

所以

k + l, k + l^{'}

被

m m

除的余数和

b + r

被

m

除的余数相同，所以

k + l = k^{'} + l^{'} (m)

，同样的

k l \equiv k^{'} l^{'} (m)

。

　　 证毕！

　　性质 $2$ 表明，同余类之间在加法和乘法之下的余数和集合内的元素没关系，随便取该类的任一元素和另一类的任一元素做加法和乘法，得到的自然数用 $m$ 除余数都一样。这就是如果我们只看自然数和某个正整数的余数 $m$ 的话，那只要把同余类都当作一个元素就好了，毕竟取类中哪个元素都没关系。既然同余类和其上元素没有关系，那么可把 ${r}_{m}$ 中的 $r$ 用任一数 $r + k m (k \in N)$ 替换，即 ${r}_{m} = {r + k m}_{m}$ 。现在把每个同余类 ${r}_{m}$ 都当成一个元素，或说一个单一的个体，为了强调这一点，直接记 $\bar{r} = {r}_{m}$ 那么新得到的集合：

\begin{matrix} (4) & Z_{m} = {\overset{―}{0}, \overset{―}{1}, \dots, \overset{―}{m - 1}} . \end{matrix}

其上诱导了新的加运算

\oplus

和积运算

\otimes

，使得

\begin{matrix} (5) & \bar{k} \oplus \bar{l} = \overset{―}{k + l}, \bar{k} \otimes \bar{l} = \overset{―}{k l} . \end{matrix}

这一好处是，若注意力仅仅放在被

m

除的余数上，那么考虑整数集和考虑

Z_{m}

是等价的，这样放弃上横线，取集合

{0, 1 \dots, m - 1} .

于是此时就只需考虑这个只含前

m

个自然数的集合了，这集合称为模 $m$ 的同余类的导出集。

2. 剩余类环

定理 1　剩余类环

　　 ${Z_{m}, \oplus, \otimes}$ 是个带有单位元 $\bar{1} = 1 + m Z$ 的交换环。

习题 1　

　　证明定理 1 。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

剩余类环

1. 同余

定义 1 模 m 同余

定义 2 整除的记号

2. 剩余类环

定理 1 剩余类环

习题 1

定义 1　模 $m$ 同余

定义 2　整除的记号

定理 1　剩余类环

习题 1　