电容—电阻电路充放电曲线

             

预备知识 电容,一阶线性微分方程
图
图 1:电容电阻串联

   回路中有直流电源 $U$,电阻 $R$ 和电容 $C$.当开关拨向 1 时,接通电源,电容器充电;当开关拨向 2 时,断开电源,电容器放电.对于充放电过程有如下方程

\begin{equation} IR+U_C= \begin{cases} U,& \quad\text{充电}\\ 0,& \quad\text{放电} \end{cases} \end{equation}
设电容器极板带电量为 $Q$,由电流的定义式 1 和电容的定义式 1
\begin{equation} I = \frac{\mathrm{d}{Q}}{\mathrm{d}{t}} =C \frac{\mathrm{d}{U_C}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
代入得
\begin{equation} RC \frac{\mathrm{d}{U_C}}{\mathrm{d}{t}} +U_C = \begin{cases} U,& \quad\text{充电}\\ 0,& \quad\text{放电} \end{cases} \end{equation}
这是一个一阶线性常微分方程.初始条件为
\begin{equation} U_C=\begin{cases} 0,&\quad \text{充电}\\ U,&\quad \text{放电} \end{cases} \end{equation}
解得
\begin{equation} U_C(t) = \begin{cases} U \left(1 - \mathrm{e} ^{-t/(RC)} \right) ,&\quad\text{充电}\\ U \mathrm{e} ^{-t/(RC)},&\quad\text{放电} \end{cases} \end{equation}
可以看到当 $t \to \infty$ 时,对于充电过程:$U_C = U$;而对放电过程:$U_C = 0$.

   作出 $RC$ 电路的充放电曲线如图 2

图
图 2:充电过程(左)和放电过程(右)
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