电容—电阻电路充放电曲线

贡献者：零穹; addis; なりもと

预备知识　电容，一阶线性微分方程

图 1：电容电阻串联

　　回路中有直流电源 $U$，电阻 $R$ 和电容 $C$。当开关拨向 1 时，接通电源，电容器充电；当开关拨向 2 时，断开电源，电容器放电。对于充放电过程有如下方程

\begin{equation} IR+U_C= \begin{cases} U& \quad(\text{充电})\\ 0& \quad(\text{放电})~. \end{cases} \end{equation}

设电容器极板带电量为 $Q$，由电流的定义式 1 和电容的定义式 1

\begin{equation} I = \frac{\mathrm{d}{Q}}{\mathrm{d}{t}} =C \frac{\mathrm{d}{U_C}}{\mathrm{d}{t}} ~, \end{equation}

代入得

\begin{equation} RC \frac{\mathrm{d}{U_C}}{\mathrm{d}{t}} +U_C = \begin{cases} U& \quad (\text{充电})\\ 0& \quad (\text{放电})~. \end{cases} \end{equation}

这是一个一阶线性常微分方程。初始条件为

\begin{equation} U_C=\begin{cases} 0&\quad (\text{充电})\\ U&\quad (\text{放电})~. \end{cases} \end{equation}

解得

\begin{equation} U_C(t) = \begin{cases} U \left(1 - \mathrm{e} ^{-t/(RC)} \right) &\quad (\text{充电})\\ U \mathrm{e} ^{-t/(RC)} &\quad (\text{放电})~. \end{cases} \end{equation}

可以看到当 $t \to \infty$ 时，对于充电过程：$U_C = U$；而对放电过程：$U_C = 0$。

　　记 $\tau =RC$ 为该电路的时间常数。由式 5 可知，

\begin{equation} U(\tau) = \begin{cases} U(1-e^{-1})&(\text{充电})\\ U/e &(\text{放电})~. \end{cases} \end{equation}

利用式 6 即可在实验中确定 $\tau$，进而根据 $R$ 确定 $C$，反之亦然。

　　作出 $RC$ 电路的充放电曲线如图 2

图 2：充电过程（左）和放电过程（右）

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