惠斯通电桥

贡献者： addis

预备知识　基尔霍夫电路定律

　　 惠斯通电桥（Wheatstone bridge）也叫惠斯登电桥。（介绍未完成）

图 1：惠斯通电桥

　　求电桥图 2 中电流计的电流 $I_G$ 与电源电动势及各臂电阻的关系（电源内阻可忽略）。

图 2：惠斯通电桥

　　选定各支路电流 $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{\mathrm{G}}$ 及 $I $ 的正方向如图 2 中实箭头所示。因节点数 $n = 4$，故可列出三个节点方程：

\begin{equation} \begin{array}{ll}\text { 节点 } A: & I=I_{1}+I_{2}~, \\ \text { 节点 } B: & I_{1}=I_{3}+I_{G}~, \\ \text { 节点 } C: & I_{3}+I_{4}=I~.\end{array} \end{equation}

又因支路数 $b=6$，故独立回路数 $m=b-n+1=3$ 选图中 $\rm I$、$\rm II$、$\rm III$ 三个独立回路，约定其绕行方向如图圆形箭头所示，列出回路方程：

\begin{equation} \begin{array}{ll}\text { 回路 } \mathrm{I}: & I_{1} R_{1}+I_{\mathrm{G}} R_{\mathrm{G}}-I_{2} R_{2}=0~, \\ \text { 回路 } \mathrm{II}: & I_{3} R_{3}-I_{4} R_{4}-I_{\mathrm{G}} R_{\mathrm{G}}=0~, \\ \text { 回路 } \mathrm{III} : & I_{2} R_{2}+I_{4} R_{4}=\mathscr{E}~.\end{array} \end{equation}

六个方程联立解得：

\begin{equation} I_{\mathrm{G}}=\frac{\left(R_{2} R_{3}-R_{1} R_{4}\right) \mathscr{E}}{{R}_{1} R_{3}\left(R_{2}+R_{4}\right)+R_{2} R_{4}\left(R_{1}+R_{3}\right)+R_{\mathrm{G}}\left(R_{1}+R_{3}\right)\left(R_{2}+R_{4}\right)}~. \end{equation}

由上式可知电桥平衡（即 $I_\mathrm{G} = 0$）的充要条件为

\begin{equation} R_{1} R_{4}=R_{2} R_{3}~. \end{equation}

式 3 说明，当 $R_{2} R_{3}-R_{1} R_{4}>0$ 时 $I_{\mathrm{G}}>0$，电流 $I_{\mathrm{G}}$ 的实际方向与正方向一致（向下）；反之，当 $R_{2} R_{3}-R_{1} R_{4}<0$ 时 $I_{\mathrm{G}}<0$，$I_{\mathrm{G}}$ 的实际方向与正方向相反（向上）。

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