广义函数

定义 1　($C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 空间中的收敛性)

　　 设 ${\phi }_i,\phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }),i=1,2,...$, 若满足以下两个条件：

　　 $(1)$ 存在紧集 $K\subset \mathrm{\Omega }$, 使得 supp $\phi \subset K$, supp ${\phi }_j\subset K,$ $i=1,2,...;$

　　 $(2)$ 对任意的 $n$ 重指标 $\alpha$, 都有 ${\displaystyle \underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \underset{x\in \mathrm{\Omega }}{sup}|{\partial }^{\alpha }{\phi }_j(x)-{\partial }^{\alpha }\phi (x)|=0}}$，

　　 则称 ${\phi }_j$ 在 $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 中收敛于 $\phi$, 记作 ${\phi }_j\to \phi$ $(C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }))$。

定义 2　(广义函数)

　　 $C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 上的一个连续线性泛函称为一个广义函数，换句话说，若 $f:C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\to \mathbb{R}$ 满足

　　 $(1)$ 连续性：当 ${\phi }_j\to \phi (C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }))$ 时，有 ${\displaystyle \underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}f({\phi }_j)=f(\phi )}$;

　　 $(2)$ 线性性：当 $\psi ,\phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$, $k\in \mathbb{R}$ 时，有 $f(k\psi +\phi )=kf(\psi )+f(\phi ),$

　　 则称 $f$ 是一个 广义函数 (generalized function, 简称 广函) 或 分布 (distribution)

　　 所有广义函数构成的全体构成一个线性空间，称为 广义函数空间 (简称 广函空间), 记作 $D^{\prime }(\mathrm{\Omega })$.

　　 当 $f\in D^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ 而 $\phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 时，有时也用符号 $⟨f,\phi ⟩$ 来表示 $f(\phi )$ , 这一点是与普通的对偶空间类似的。