广义函数

                     

贡献者: Relo Stern

   写在前面: 除了函数空间理论,广义函数论和 Fourier 变换是研究现代偏微分方程的基础.这里从泛函分析的角度,介绍广义函数的概念.

预备知识 紧集、支集、$n$ 重指标、赋范空间、收敛性、连续线性泛函、对偶空间、局部可积函数

   在给出广义函数的定义之前,需要先引入 $C_0^\infty(\Omega)$ 空间的收敛性概念.

定义 1 ($C_0^\infty(\Omega)$ 空间中的收敛性)

   设 $\varphi_i,\varphi\in C_0^\infty(\Omega),\,i=1,2,...$, 若满足以下两个条件:

   $(1)$ 存在紧集 $K\subset\Omega$, 使得 supp $\varphi\subset K$, supp $\varphi_{j}\subset K,$ $i=1,2,...;$

   $(2)$ 对任意的 $n$ 重指标 $\alpha$, 都有 ${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}{\displaystyle \sup_{x\in\Omega}\left|\partial^{\alpha}\varphi_{j}(x)-\partial^{\alpha}\varphi(x)\right|=0}}$,

   则称 $\varphi_{j}$ 在 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 中收敛于 $\varphi$, 记作 $\varphi_{j}\rightarrow\varphi$ $(C_{0}^{\infty}(\Omega))$.

   有了上面收敛性的概念,广义函数即是 $C_0^\infty(\Omega)$ 上的连续线性泛函.

定义 2 (广义函数)

   $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 上的一个连续线性泛函称为一个广义函数,换句话说,若 $f:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$ 满足

   $(1)$ 连续性:当 $\varphi_{j}\rightarrow\varphi(C_{0}^{\infty}(\Omega))$ 时,有 ${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}f(\varphi_{j})=f(\varphi)}$;

   $(2)$ 线性性:当 $\psi,\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, $k\in\mathbb{R}$ 时,有 $f(k\psi+\varphi)=kf(\psi)+f(\varphi),$

   则称 $f$ 是一个 广义函数 (generalized function, 简称 广函) 或 分布 (distribution)

   所有广义函数构成的全体构成一个线性空间,称为 广义函数空间 (简称 广函空间), 记作 $D'(\Omega)$.

   当 $f\in D'(\Omega)$ 而 $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ 时,有时也用符号 $\left \langle f,\varphi \right \rangle $ 来表示 $f(\varphi)$ , 这一点是与普通的对偶空间类似的.

   之所以将广函空间记作 $D'(\Omega)$, 是因为广义函数论的创始人 L.Schwartz 最先引入此概念时将具有上述收敛拓扑的 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 空间记作 $D(\Omega)$, 而广函空间正好作为 $D(\Omega)$ 的对偶空间出现,因而记作 $D'(\Omega)$.

例 1 (Dirac $\delta$ 函数)

   设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ 开集,$x_{0}\in\Omega,$ 定义 $\delta_{x_{0}}:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$ 如下: \[ \delta_{x_{0}}(\varphi)=\varphi(x_{0}),\quad\forall\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega). \] 易知 $\delta_{x_{0}}$ 是一个广义函数,即 $\delta_{x_{0}}\in D'(\Omega)$, 称为 Dirac $\delta$ 函数.

例 2 (局部可积函数都是广义函数)

   $\Omega$ 上的每一个局部可积函数 $f$ 都可以看成是一个广义函数,按以下意义: \[ \tilde{f}:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R},\quad\quad\varphi\mapsto{\displaystyle \int_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx}. \] 明显 $f\in D'(\Omega)$. 所以当 $f$ 是局部可积函数,我们总是可以将 $f$ 与 $\tilde{f}$ 视作等同.

   $\Omega$ 上的所有局部可积函数组成的集合记为 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$, 所以 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)\subset D'(\Omega).$

   未完待续


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