贡献者： Relo Stern
写在前面： 除了函数空间理论，广义函数论和 Fourier 变换是研究现代偏微分方程的基础。这里从泛函分析的角度，介绍广义函数的概念。
预备知识 紧集、支集、$n$ 重指标、赋范空间、收敛性、连续线性泛函、对偶空间、局部可积函数
在给出广义函数的定义之前，需要先引入 $C_0^\infty(\Omega)$ 空间的收敛性概念。
定义 1 ($C_0^\infty(\Omega)$ 空间中的收敛性)
设 $\varphi_i,\varphi\in C_0^\infty(\Omega),\,i=1,2,...$, 若满足以下两个条件：
$(1)$ 存在紧集 $K\subset\Omega$, 使得 supp $\varphi\subset K$, supp $\varphi_{j}\subset K,$
$i=1,2,...;$
$(2)$ 对任意的 $n$ 重指标 $\alpha$, 都有 ${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}{\displaystyle \sup_{x\in\Omega}\left|\partial^{\alpha}\varphi_{j}(x)-\partial^{\alpha}\varphi(x)\right|=0}}$，
则称 $\varphi_{j}$ 在 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 中收敛于 $\varphi$, 记作
$\varphi_{j}\rightarrow\varphi$ $(C_{0}^{\infty}(\Omega))$。
有了上面收敛性的概念，广义函数即是 $C_0^\infty(\Omega)$ 上的连续线性泛函。
定义 2 (广义函数)
$C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 上的一个连续线性泛函称为一个广义函数，换句话说，若 $f:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$
满足
$(1)$ 连续性：当 $\varphi_{j}\rightarrow\varphi(C_{0}^{\infty}(\Omega))$
时，有 ${\displaystyle \lim_{j\rightarrow\infty}f(\varphi_{j})=f(\varphi)}$;
$(2)$ 线性性：当 $\psi,\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$, $k\in\mathbb{R}$
时，有 $f(k\psi+\varphi)=kf(\psi)+f(\varphi),$
则称 $f$ 是一个 广义函数 (generalized function, 简称 广函) 或 分布 (distribution)
所有广义函数构成的全体构成一个线性空间，称为 广义函数空间 (简称 广函空间), 记作 $D'(\Omega)$.
当 $f\in D'(\Omega)$ 而 $\varphi\in C^\infty_0(\Omega)$ 时，有时也用符号 $\left \langle f,\varphi \right \rangle $ 来表示 $f(\varphi)$ , 这一点是与普通的对偶空间类似的。
之所以将广函空间记作 $D'(\Omega)$, 是因为广义函数论的创始人 L.Schwartz 最先引入此概念时将具有上述收敛拓扑的
$C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 空间记作 $D(\Omega)$, 而广函空间正好作为 $D(\Omega)$
的对偶空间出现，因而记作 $D'(\Omega)$.
例 1 (Dirac $\delta$ 函数)
设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ 开集，$x_{0}\in\Omega,$ 定义 $\delta_{x_{0}}:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$
如下：
\[
\delta_{x_{0}}(\varphi)=\varphi(x_{0})~,\quad\forall\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega)~.
\]
易知 $\delta_{x_{0}}$ 是一个广义函数，即 $\delta_{x_{0}}\in D'(\Omega)$, 称为
Dirac $\delta$ 函数.
例 2 (局部可积函数都是广义函数)
$\Omega$ 上的每一个局部可积函数 $f$ 都可以看成是一个广义函数，按以下意义：
\[
\tilde{f}:C_{0}^{\infty}(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}~,\quad\quad\varphi\mapsto{\displaystyle \int_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx}~.
\]
明显 $f\in D'(\Omega)$. 所以当 $f$ 是局部可积函数，我们总是可以将 $f$ 与 $\tilde{f}$
视作等同。
$\Omega$ 上的所有局部可积函数组成的集合记为 $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$, 所以
$L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)\subset D'(\Omega)~.$
未完待续
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