装备希尔伯特空间

             

   本节中都用 $\mathcal{H}$ 来代表所要考虑的 Hilbert 空间,用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 来代表其上的内积.

   按照通常的说法,量子力学的基本舞台是 Hilbert 空间,即完备的内积空间.然而在这里,我们要考虑的数学对象比 Hilbert 空间更精细一些:我们的基本舞台不再是一般的 Hilbert 空间,而是所谓的装备 Hilbert 空间(rigged Hilbert space, RHS).为了定义装备 Hilbert 空间,首先要定义核空间(nuclear space).它是 Alexander Grothendieck 的博士论文研究的内容.我们这里采用如下较狭窄但已经足够用的定义:

定义 1 核空间(Nuclear Space)

   一个核空间 $\Phi$ 是一族递降的 Hilbert 空间 $\Phi_1\supset\Phi_2\supset...$ 的交,赋予自然的拓扑,这族 Hilbert 空间满足如下条件:

  1. $\Phi_{n+1}$ 的范数比 $\Phi_n$ 的范数更强,而且 $\Phi_n$ 是 $\Phi_{n+1}$ 在 $\Phi_n$ 的范数之下的完备化;
  2. 对于任何 $n$,总有 $m > n$ 使得嵌入映射 $T_{m,n}:\Phi_{m}\hookrightarrow\Phi_n$ 是核算子(nuclear operator),即它的 Hilbert-Schmidt 迹范数是良好定义的.

   从此以后,沿用 Dirac 的左右矢记号:以 $ \left\lvert \phi \right\rangle $ 代表 $\Phi$ 的元素,$ \left\langle u \right\rvert $ 代表其对偶空间 $\Phi^*$ 的元素,二者之间的配对就以 $ \left\langle u \middle| \phi \right\rangle $ 代表.今后还要考虑包含映射 $\Phi\hookrightarrow\mathcal{H}$,它自然诱导出包含映射 $\mathcal{H}\hookrightarrow\Phi^*$.为方便计,对于 $f\in\Phi\subset\mathcal{H}$,以 $ \left\lvert f \right\rangle $ 表示之; 对于 $g\in\mathcal{H}$,以 $ \left\langle g \right\rvert $ 表示 $g$ 在包含映射 $\mathcal{H}\hookrightarrow\Phi^*$ 下的像.

定义 2 装备 Hilbert 空间(Rigged Hilbert Space, RHS)

   装备 Hilbert 空间包含一可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 与一稠密子空间 $\Phi\subset\mathcal{H}$,满足如下条件:$\Phi$ 上有一更强的拓扑 $\tau_\Phi$,使得 $(\Phi,\tau_\Phi)$ 成为一核空间,而且有 $\Phi_0=\mathcal{H}$,且自然的包含映射 $\Phi\hookrightarrow\mathcal{H}$ 在此拓扑下连续.

   注意到自然的三重偶 $\Phi\hookrightarrow\mathcal{H}\hookrightarrow\Phi^*$ 与 $\mathcal{H}$ 的内积相容,即如果 $f\in\Phi\subset\mathcal{H}$,$g\in\mathcal{H}$,则 $\langle g,f\rangle_{\mathcal{H}}= \left\langle g \middle| f \right\rangle $.此三重偶称为 Gelfand 三重偶(Gelfand triple)

   为什么要如此大费周章地考虑 Gelfand 三重偶?原来,它的原型乃是 Hilbert 空间语言中的位置表象空间 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 以及其上定义的算子 $X,i\nabla$,即位置算符和动量算符; 这两个算子的定义域都不是整个 $L^2(\mathbb{R}^n)$,它们最自然的定义域乃是 Schwartz 函数空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,即所有光滑且各阶导数都迅速衰减的函数的空间,赋予 Fréchet 空间拓扑.位置算子和动量算子在 Schwartz 空间上都是连续算子.而 Schwartz 空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ 本身是加权的 Sobolev 空间系 $$ \Phi_k := \left\{f \in L^2 (\mathbb{R}^n): (-\Delta + |x|^ 2)^{k} f \in L^2 (\mathbb{R}^n) \right\} $$ 的交,而包含映射 $T_{m+n,m}:\Phi_{m+n}\to\Phi_m$ 是核算子.这时就有 Gelfand 三重偶$$ \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^n)\hookrightarrow \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)~. $$也可以注意到,上述定义的 Sobolev 范数中的算子 $-\Delta+|x|^2$ 正是谐振子的薛定谔算符.

   这个三重偶应该包含了所有物理上感兴趣的对象.实际上,它显然囊括了平方可积的束缚态,即可归一化的波函数; 也囊括了不平方可积的散射态,例如自由单色波 $e^{ik\cdot x}$.前者属于 $L^2(\mathbb{R}^n)$,而后者应该用 Schwartz 分布即 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 的元素来代表.另外,物理上的"位置本征态"即 $\delta(x-x_0)$ 显然并不是数学意义下的函数,但它属于对偶空间 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$,而且当然满足 $$ X^j\delta(x-x_0)=x_0^j, $$ 因为对于任何 $\phi\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,按照定义皆有 $$ \begin{aligned} \left[ \left\langle \delta(x-x_0) \right\rvert X^j\right] \left\lvert \phi \right\rangle &:= \left\langle \delta(x-x_0) \right\rvert \left[X^j \left\lvert \phi \right\rangle \right]\\ &=x_0^j\phi(x_0) =\left[ \left\langle \delta(x-x_0) \right\rvert x_0^j\right] \left\lvert \phi \right\rangle . \end{aligned} $$ 由此可见,$\delta(x-x_0)$ 是坐标分量算符 $X^j$ 的本征态,特征值为 $x_0^j$.同理可得 $e^{ik\cdot x}$ 是动量分量算符 $i\partial_{x^j}$ 的本征态,特征值为 $-k_j$; 也是自由粒子 Hamilton 算符 $-\Delta$ 的本征态,特征值为 $|k|^2$.动量本征态和位置本征态正是"不可归一化的态矢量"的例子.

   这个例子正说明了为什么要引入装备 Hilbert 空间作为量子力学的舞台:物理上感兴趣的许多算符在数学意义下的 Hilbert 空间(即所有可归一化的态的空间)中可能没有本征态,或者本征态集合不完备; 但引入 RHS 之后,算符在对偶空间 $\Phi^*$ 就可以有足够多的本征态.在上面的例子中,任何可归一化的态 $f\in{L^2}(\mathbb{R}^n)$ 都可以写成位置本征态的叠加(这里的积分在数学上的严格定义应该是 Schwartz 分布之间的卷积): $$ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\delta(x-y)dy; $$ 或者动量本征态/自由 Hamilton 算符本征态的叠加(这里的积分取主值): $$ f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\hat f(k)e^{ik\cdot x}dk. $$ 这些都是物理意义十分直观的结论.这个结果并不是偶然的.它是 RHS 中自伴算子谱定理的特例.

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