装备希尔伯特空间

贡献者： DTSIo; addis

　　 本节中都用 $\mathcal{H}$ 来代表所要考虑的 Hilbert 空间，用 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 来代表其上的内积。

　　 按照通常的说法，量子力学的基本舞台是 Hilbert 空间，即完备的内积空间。然而在这里，我们要考虑的数学对象比 Hilbert 空间更精细一些：我们的基本舞台不再是一般的 Hilbert 空间，而是所谓的装备 Hilbert 空间（rigged Hilbert space, RHS）。为了定义装备 Hilbert 空间，首先要定义核空间（nuclear space）。它是 Alexander Grothendieck 的博士论文研究的内容。我们这里采用如下较狭窄但已经足够用的定义：

　　 从此以后，沿用 Dirac 的左右矢记号：以 $|\varphi ⟩$ 代表 $\mathrm{\Phi }$ 的元素，$⟨u|$ 代表其对偶空间 ${\mathrm{\Phi }}^{\ast }$ 的元素，二者之间的配对就以 $⟨u|\varphi ⟩$ 代表。今后还要考虑包含映射 $\mathrm{\Phi }\hookrightarrow \mathcal{H}$，它自然诱导出包含映射 $\mathcal{H}\hookrightarrow {\mathrm{\Phi }}^{\ast }$。为方便计，对于 $f\in \mathrm{\Phi }\subset \mathcal{H}$，以 $|f⟩$ 表示之; 对于 $g\in \mathcal{H}$，以 $⟨g|$ 表示 $g$ 在包含映射 $\mathcal{H}\hookrightarrow {\mathrm{\Phi }}^{\ast }$ 下的像。

　　 注意到自然的三重偶 $\mathrm{\Phi }\hookrightarrow \mathcal{H}\hookrightarrow {\mathrm{\Phi }}^{\ast }$ 与 $\mathcal{H}$ 的内积相容，即如果 $f\in \mathrm{\Phi }\subset \mathcal{H}$，$g\in \mathcal{H}$，则 $⟨g,f{⟩}_{\mathcal{H}}=⟨g|f⟩$。此三重偶称为 Gelfand 三重偶（Gelfand triple）。

　　 为什么要如此大费周章地考虑 Gelfand 三重偶？原来，它的原型乃是 Hilbert 空间语言中的位置表象空间 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 以及其上定义的算子 $X,i\mathrm{\nabla }$，即位置算符和动量算符; 这两个算子的定义域都不是整个 $L^2({\mathbb{R}}^n)$，它们最自然的定义域乃是 Schwartz 函数空间 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$，即所有光滑且各阶导数都迅速衰减的函数的空间，赋予 Fréchet 空间拓扑。位置算子和动量算子在 Schwartz 空间上都是连续算子。而 Schwartz 空间 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 本身是加权的 Sobolev 空间系 $${\mathrm{\Phi }}_k:=\{f\in L^2({\mathbb{R}}^n):(-\mathrm{\Delta }+|x{|}^2{)}^{k}f\in L^2({\mathbb{R}}^n)\}$$ 的交，而包含映射 $T_{m+n,m}:{\mathrm{\Phi }}_{m+n}\to {\mathrm{\Phi }}_m$ 是核算子。这时就有 Gelfand 三重偶$$\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow L^2({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n).$$也可以注意到，上述定义的 Sobolev 范数中的算子 $-\mathrm{\Delta }+|x{|}^2$ 正是谐振子的薛定谔算符。

　　 这个三重偶应该包含了所有物理上感兴趣的对象。实际上，它显然囊括了平方可积的束缚态，即可归一化的波函数; 也囊括了不平方可积的散射态，例如自由单色波 $e^{ik\cdot x}$。前者属于 $L^2({\mathbb{R}}^n)$，而后者应该用 Schwartz 分布即 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 的元素来代表。另外，物理上的"位置本征态"即 $\delta (x-x_0)$ 显然并不是数学意义下的函数，但它属于对偶空间 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$，而且当然满足 $$X^j\delta (x-x_0)=x_0^j,$$ 因为对于任何 $\varphi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$，按照定义皆有 $$\begin{array}{rl}\left[⟨\delta (x-x_0)|X^j\right]|\varphi ⟩& :=⟨\delta (x-x_0)|\left[X^j|\varphi ⟩\right]\\ & =x_0^j\varphi (x_0)=\left[⟨\delta (x-x_0)|x_0^j\right]|\varphi ⟩.\end{array}$$ 由此可见，$\delta (x-x_0)$ 是坐标分量算符 $X^j$ 的本征态，本征值为 $x_0^j$。同理可得 $e^{ik\cdot x}$ 是动量分量算符 $i{\partial }_{x^j}$ 的本征态，本征值为 $-k_j$; 也是自由粒子 Hamilton 算符 $-\mathrm{\Delta }$ 的本征态，本征值为 $|k{|}^2$。动量本征态和位置本征态正是"不可归一化的态矢量"的例子。

　　 这个例子正说明了为什么要引入装备 Hilbert 空间作为量子力学的舞台：物理上感兴趣的许多算符在数学意义下的 Hilbert 空间（即所有可归一化的态的空间）中可能没有本征态，或者本征态集合不完备; 但引入 RHS 之后，算符在对偶空间 ${\mathrm{\Phi }}^{\ast }$ 就可以有足够多的本征态。在上面的例子中，任何可归一化的态 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$ 都可以写成位置本征态的叠加（这里的积分在数学上的严格定义应该是 Schwartz 分布之间的卷积）： $$f(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)\delta (x-y)dy,$$ 或者动量本征态/自由 Hamilton 算符本征态的叠加（这里的积分取主值）： $$f(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\hat{f}(k)e^{ik\cdot x}dk.$$ 这些都是物理意义十分直观的结论。这个结果并不是偶然的。它是 RHS 中自伴算子谱定理的特例。