装备希尔伯特空间

                     

贡献者: DTSIo; addis

   本节中都用 H 来代表所要考虑的 Hilbert 空间,用 , 来代表其上的内积。

   按照通常的说法,量子力学的基本舞台是 Hilbert 空间,即完备的内积空间。然而在这里,我们要考虑的数学对象比 Hilbert 空间更精细一些:我们的基本舞台不再是一般的 Hilbert 空间,而是所谓的装备 Hilbert 空间(rigged Hilbert space, RHS)。为了定义装备 Hilbert 空间,首先要定义核空间(nuclear space)。它是 Alexander Grothendieck 的博士论文研究的内容。我们这里采用如下较狭窄但已经足够用的定义:

定义 1 核空间(Nuclear Space)

   一个核空间 Φ 是一族递降的 Hilbert 空间 Φ1Φ2... 的交,赋予自然的拓扑,这族 Hilbert 空间满足如下条件:

  1. Φn+1 的范数比 Φn 的范数更强,而且 ΦnΦn+1Φn 的范数之下的完备化;
  2. 对于任何 n,总有 m>n 使得嵌入映射 Tm,n:ΦmΦn 是核算子(nuclear operator),即它的 Hilbert-Schmidt 迹范数是良好定义的。

   从此以后,沿用 Dirac 的左右矢记号:以 |ϕ 代表 Φ 的元素,u| 代表其对偶空间 Φ 的元素,二者之间的配对就以 u|ϕ 代表。今后还要考虑包含映射 ΦH,它自然诱导出包含映射 HΦ。为方便计,对于 fΦH,以 |f 表示之; 对于 gH,以 g| 表示 g 在包含映射 HΦ 下的像。

定义 2 装备 Hilbert 空间(Rigged Hilbert Space, RHS)

   装备 Hilbert 空间包含一可分 Hilbert 空间 H 与一稠密子空间 ΦH,满足如下条件:Φ 上有一更强的拓扑 τΦ,使得 (Φ,τΦ) 成为一核空间,而且有 Φ0=H,且自然的包含映射 ΦH 在此拓扑下连续。

   注意到自然的三重偶 ΦHΦH 的内积相容,即如果 fΦHgH,则 g,fH=g|f。此三重偶称为 Gelfand 三重偶(Gelfand triple)

   为什么要如此大费周章地考虑 Gelfand 三重偶?原来,它的原型乃是 Hilbert 空间语言中的位置表象空间 L2(Rn) 以及其上定义的算子 X,i,即位置算符和动量算符; 这两个算子的定义域都不是整个 L2(Rn),它们最自然的定义域乃是 Schwartz 函数空间 S(Rn),即所有光滑且各阶导数都迅速衰减的函数的空间,赋予 Fréchet 空间拓扑。位置算子和动量算子在 Schwartz 空间上都是连续算子。而 Schwartz 空间 S(Rn) 本身是加权的 Sobolev 空间系 Φk:={fL2(Rn):(Δ+|x|2)kfL2(Rn)}  的交,而包含映射 Tm+n,m:Φm+nΦm 是核算子。这时就有 Gelfand 三重偶S(Rn)L2(Rn)S(Rn) .也可以注意到,上述定义的 Sobolev 范数中的算子 Δ+|x|2 正是谐振子的薛定谔算符。

   这个三重偶应该包含了所有物理上感兴趣的对象。实际上,它显然囊括了平方可积的束缚态,即可归一化的波函数; 也囊括了不平方可积的散射态,例如自由单色波 eikx。前者属于 L2(Rn),而后者应该用 Schwartz 分布即 S(Rn) 的元素来代表。另外,物理上的"位置本征态"即 δ(xx0) 显然并不是数学意义下的函数,但它属于对偶空间 S(Rn),而且当然满足 Xjδ(xx0)=x0j , 因为对于任何 ϕS(Rn),按照定义皆有 [δ(xx0)|Xj]|ϕ:=δ(xx0)|[Xj|ϕ]=x0jϕ(x0)=[δ(xx0)|x0j]|ϕ . 由此可见,δ(xx0) 是坐标分量算符 Xj 的本征态,本征值为 x0j。同理可得 eikx 是动量分量算符 ixj 的本征态,本征值为 kj; 也是自由粒子 Hamilton 算符 Δ 的本征态,本征值为 |k|2。动量本征态和位置本征态正是"不可归一化的态矢量"的例子。

   这个例子正说明了为什么要引入装备 Hilbert 空间作为量子力学的舞台:物理上感兴趣的许多算符在数学意义下的 Hilbert 空间(即所有可归一化的态的空间)中可能没有本征态,或者本征态集合不完备; 但引入 RHS 之后,算符在对偶空间 Φ 就可以有足够多的本征态。在上面的例子中,任何可归一化的态 fL2(Rn) 都可以写成位置本征态的叠加(这里的积分在数学上的严格定义应该是 Schwartz 分布之间的卷积): f(x)=Rnf(y)δ(xy)dy , 或者动量本征态/自由 Hamilton 算符本征态的叠加(这里的积分取主值): f(x)=Rnf^(k)eikxdk . 这些都是物理意义十分直观的结论。这个结果并不是偶然的。它是 RHS 中自伴算子谱定理的特例。


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