装备希尔伯特空间
贡献者: DTSIo; addis
本节中都用 来代表所要考虑的 Hilbert 空间,用 来代表其上的内积。
按照通常的说法,量子力学的基本舞台是 Hilbert 空间,即完备的内积空间。然而在这里,我们要考虑的数学对象比 Hilbert 空间更精细一些:我们的基本舞台不再是一般的 Hilbert 空间,而是所谓的装备 Hilbert 空间(rigged Hilbert space, RHS)。为了定义装备 Hilbert 空间,首先要定义核空间(nuclear space)。它是 Alexander Grothendieck 的博士论文研究的内容。我们这里采用如下较狭窄但已经足够用的定义:
定义 1 核空间(Nuclear Space)
一个核空间 是一族递降的 Hilbert 空间 的交,赋予自然的拓扑,这族 Hilbert 空间满足如下条件:
- 的范数比 的范数更强,而且 是 在 的范数之下的完备化;
- 对于任何 ,总有 使得嵌入映射 是核算子(nuclear operator),即它的 Hilbert-Schmidt 迹范数是良好定义的。
从此以后,沿用 Dirac 的左右矢记号:以 代表 的元素, 代表其对偶空间 的元素,二者之间的配对就以 代表。今后还要考虑包含映射 ,它自然诱导出包含映射 。为方便计,对于 ,以 表示之; 对于 ,以 表示 在包含映射 下的像。
定义 2 装备 Hilbert 空间(Rigged Hilbert Space, RHS)
装备 Hilbert 空间包含一可分 Hilbert 空间 与一稠密子空间 ,满足如下条件: 上有一更强的拓扑 ,使得 成为一核空间,而且有 ,且自然的包含映射 在此拓扑下连续。
注意到自然的三重偶 与 的内积相容,即如果 ,,则 。此三重偶称为 Gelfand 三重偶(Gelfand triple)。
为什么要如此大费周章地考虑 Gelfand 三重偶?原来,它的原型乃是 Hilbert 空间语言中的位置表象空间 以及其上定义的算子 ,即位置算符和动量算符; 这两个算子的定义域都不是整个 ,它们最自然的定义域乃是 Schwartz 函数空间 ,即所有光滑且各阶导数都迅速衰减的函数的空间,赋予 Fréchet 空间拓扑。位置算子和动量算子在 Schwartz 空间上都是连续算子。而 Schwartz 空间 本身是加权的 Sobolev 空间系
的交,而包含映射 是核算子。这时就有 Gelfand 三重偶也可以注意到,上述定义的 Sobolev 范数中的算子 正是谐振子的薛定谔算符。
这个三重偶应该包含了所有物理上感兴趣的对象。实际上,它显然囊括了平方可积的束缚态,即可归一化的波函数; 也囊括了不平方可积的散射态,例如自由单色波 。前者属于 ,而后者应该用 Schwartz 分布即 的元素来代表。另外,物理上的"位置本征态"即 显然并不是数学意义下的函数,但它属于对偶空间 ,而且当然满足
因为对于任何 ,按照定义皆有
由此可见, 是坐标分量算符 的本征态,本征值为 。同理可得 是动量分量算符 的本征态,本征值为 ; 也是自由粒子 Hamilton 算符 的本征态,本征值为 。动量本征态和位置本征态正是"不可归一化的态矢量"的例子。
这个例子正说明了为什么要引入装备 Hilbert 空间作为量子力学的舞台:物理上感兴趣的许多算符在数学意义下的 Hilbert 空间(即所有可归一化的态的空间)中可能没有本征态,或者本征态集合不完备; 但引入 RHS 之后,算符在对偶空间 就可以有足够多的本征态。在上面的例子中,任何可归一化的态 都可以写成位置本征态的叠加(这里的积分在数学上的严格定义应该是 Schwartz 分布之间的卷积):
或者动量本征态/自由 Hamilton 算符本征态的叠加(这里的积分取主值):
这些都是物理意义十分直观的结论。这个结果并不是偶然的。它是 RHS 中自伴算子谱定理的特例。
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。