贡献者: JierPeter
切线的几何描述并不严谨和完整,初学者可能会有很多疑问,比如割线的两个点靠近切点的时候,如果其中一个点到切点的距离始终是另一个点到切点距离的两倍,那它们还算同时达到切点吗?
实际上,在极限中我们强调过,极限的概念并不是简单地等同,而是趋近的性质。用割线去接近切线也是一种极限,不存在 “达到切点” 的情况,只能是越来越接近切点。
和其它类型的极限一样,割线趋近的过程强调 “任意性”。为了方便描述,我们需要把一根切线表示为数字。最直接的办法就是用切线的斜率来表示。
定义 1 斜率
对于用 描述的直线,定义其斜率为 。
由于我们给定了切点,因此割线接近切线的过程中,肯定也会接近切点,相当于确定了割线的极限是要经过切点的,于是我们只需要考察割线的斜率是不是收敛就行。由于斜率是一个数字,这就使得我们又获得了一个数列,而我们对于数列的极限是很熟悉的了。
定义 2 导数
考虑实函数 ,给定实数 。对于一对数列 、,令 、,且各 1。这样,每一对点 、 都能唯一确定一条割线,也就确定了割线的斜率 。
对于任意的上述数列对 、,如果其生成的 都收敛到同一个实数 上,那么该实数 就是 在 处的切线斜率,也称导数(derivative)。
我们来看几个例子,加深理解。
例 1
考虑函数 。容易验证,无论怎么选一对数列,它们生成的割线斜率都是 。因此由定义, 在任何一个点处的导数值都是 。
例 2
考虑函数 ,尝试计算其在 处的导数值2。
取数列 和 ,其中 和 都趋近于 ,且各 。那么 和 所确定的割线就通过点 和点 ,因此割线斜率是
由于随着 的增大, 和 都趋于零,因此 趋于 。
又由于我们没有具体约束 和 ,使得上述讨论适用于一切可用于构造趋近于给定点割线的数列 和 ,因此满足任意性,因此 在 处的导数值就是 。
习题 1
考虑函数 ,画出这个函数的图像,并证明其在 处没有导数。
习题 2
考虑函数 ,定义为 是小于等于 的、最接近 的整数。比如,,,,。
画出这个函数的图像,并证明其在横坐标为整数的点处没有导数。
1. 导函数及其计算
我们上面讨论的是对于函数 ,在给定点求其导数。但是如果我们把所有点的导数都求出来(“不存在导数” 也是一种结果),那么我们就得到了一个新的函数,就叫做 的导函数,记为 。
如果我们能把导函数的表达式计算出来,那么就可以直接代值去计算各处的导数,没必要挨个像例 2 那样进行一番冗长的运算了。
为了方便计算,我们要先把导数的定义简化成如下形式:
定义 3 导数
考虑实函数 ,给定实数 。如果对于任意趋近于 的数列 ,都有数列 收敛,且所有这样的数列都收敛于实数 。那么 就是 在 处的导数。
换句话说, 在 处的导数是 。
习题 3 两个定义的等价性
证明定义 2 和定义 3 是等价的。
提示:定义 2 显然是蕴含了定义 3 的,因为前者描述的是 “所有数列对” 的情况,后者则是限定了其中一个数列恒为 的特殊情况。所以你只需要证明定义 3 蕴含了定义 2 。提示:单独用 和 套进定义 3 中 的位置能得到两条割线,而 和 在定义 2 中又构成第三条割线。这三条割线是可以构成一个三角形的。根据定义 3 ,前两条割线的斜率都趋于 ,那么作为三角形第三边的第三条割线,其斜率也不得不跟着趋于 ,这样就从定义 3 推出定义 2 了。
定义 3 的表述可以理解为,我们在 处出发,改变自变量的取值(正向负向的改变均可),算出由此带来的函数值改变,再计算二者的商。这个改变越接近 ,计算出来的商就越接近导数值 。
定义 4 导函数
给定实函数 。如果另一个函数 的取值范围是 的全体可求导数的点,且在这些点上 的值就是 的导数值,那么我们称 是 的导函数。
Leibniz 表示法
我们还可以用 Leibniz 的符号,将 的导函数 表示成 。这里, 不是一个量,而是一个符号,表示 “取变化量,然后让这个变化量趋于零但不等于零”。 的含义就是 ,然后取一个极限过程 3。
要注意的是, 是取决于 的,即 。也就是说,只有 是自由变化的,而 变化的量是被动的。所以 可能不会跟着 一起趋于零。一个例子就是习题 2 中的符号函数,在 的地方, 的取值只有 两种(别忘了 不等于零),导致 趋于零的过程中, 越来越趋近于无穷。
由于 表示的是任意接近 的数列,因此,如果两个自变量彼此独立、不相互影响,比如 和 ,那么 和 的关系是不确定的, 也是无法定义的值。但是如果两个变量之间有关系,比如 ,那么 就是有意义的了。
举个例子。单给出无关的 和 ,那么可以让 对应 , 对应 ,这样 。但是我们也可以让 对应 , 对应 ,这样算出来的 就是 。到底哪个才是真正的 呢?这没法讨论了。但是呢,如果限定了二者之间的关系,比如 ,那么 对应的 就不能随意取了,必须用 对应的 结合 计算出来,而且无论怎么取 , 在 处的结果都会是 。
为了方便,我们也可以把 表示为 。这里,我们将 视为一个操作,它把 变成其导函数 。更进一步,我们还可以写出 。
两个重要的性质
定理 1 导数的线性性
假设 和 是两个处处可导4的函数,那么 。
证明很简单,留作习题。
定理 2 Leibniz 律
假设 和 是两个处处可导的函数,那么
证明:
我们从定义 3 出发。
证毕。
有了这两条性质,我们足以计算很多常见函数的导函数了。
例 3 多项式函数
多项式是形如 的函数。为了计算其导函数,我们首先要考虑最简单的多项式,。
的导函数很容易计算,就是处处等于 1。现在,把 表示为 ,那么根据定理 2 ,其导函数就是 。
一般地,对于正整数 , 的导函数是 。这可以通过已知 的导函数是 一步步利用定理 2 归纳得到。
结合定理 1 ,即可计算出任意多项式函数的导函数了。
2. 链式法则
1. ^ 这一条是保证总能画出割线,因为两点确定一条直线嘛, 的话这条割线就画不出来了。
2. ^ 处即点 。也可以说 且 处,但肯定是 处的说法更方便。
3. ^ 取极限过程就是指,取一系列这样的 构成一个数列 ,且这个数列趋于 。 等价于 。
4. ^ 即每一个点上都有导数。
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