导数(数学分析)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 极限

   切线的几何描述并不严谨和完整,初学者可能会有很多疑问,比如割线的两个点靠近切点的时候,如果其中一个点到切点的距离始终是另一个点到切点距离的两倍,那它们还算同时达到切点吗?

   实际上,在极限中我们强调过,极限的概念并不是简单地等同,而是趋近的性质。用割线去接近切线也是一种极限,不存在 “达到切点” 的情况,只能是越来越接近切点。

   和其它类型的极限一样,割线趋近的过程强调 “任意性”。为了方便描述,我们需要把一根切线表示为数字。最直接的办法就是用切线的斜率来表示。

定义 1 斜率

   对于用 f(x)=ax+b 描述的直线,定义其斜率为 a

   由于我们给定了切点,因此割线接近切线的过程中,肯定也会接近切点,相当于确定了割线的极限是要经过切点的,于是我们只需要考察割线的斜率是不是收敛就行。由于斜率是一个数字,这就使得我们又获得了一个数列,而我们对于数列的极限是很熟悉的了。

定义 2 导数

   考虑实函数 f(x),给定实数 x0。对于一对数列 {an}{bn},令 limnan=x0limnbn=x0,且各 anbn1。这样,每一对点 (an,f(an))(bn,f(bn)) 都能唯一确定一条割线,也就确定了割线的斜率 dn

   对于任意的上述数列对 {an}{bn},如果其生成的 dn 都收敛到同一个实数 A 上,那么该实数 A 就是 f(x)x0 处的切线斜率,也称导数(derivative)

   我们来看几个例子,加深理解。

例 1 

   考虑函数 f(x)=2x+1。容易验证,无论怎么选一对数列,它们生成的割线斜率都是 2。因此由定义,f(x) 在任何一个点处的导数值都是 2

例 2 

   考虑函数 f(x)=x2,尝试计算其在 x=2 处的导数值2

   取数列 an=2+gnbn=2+hn,其中 gnhn 都趋近于 0,且各 gnhn。那么 anbn 所确定的割线就通过点 (2+gn,4+4gn+gn2) 和点 (2+hn,4+4hn+hn2),因此割线斜率是

(1)dn=4+4gn+gn244hnhn2gnhn=4(gnhn)+(gn+hn)(gnhn)gnhn=4+gn+hn .
由于随着 n 的增大,gnhn 都趋于零,因此 dn 趋于 4

   又由于我们没有具体约束 gnhn,使得上述讨论适用于一切可用于构造趋近于给定点割线的数列 anbn,因此满足任意性,因此 f(x)=x2x=2 处的导数值就是 4

习题 1 

   考虑函数 f(x)=|x|,画出这个函数的图像,并证明其在 x=0 处没有导数。

习题 2 

   考虑函数 f(x)=[x],定义为 [x] 是小于等于 x 的、最接近 x 的整数。比如,[π]=3[e]=2[4.99]=4[4.99]=5

   画出这个函数的图像,并证明其在横坐标为整数的点处没有导数。

1. 导函数及其计算

   我们上面讨论的是对于函数 f(x),在给定点求其导数。但是如果我们把所有点的导数都求出来(“不存在导数” 也是一种结果),那么我们就得到了一个新的函数,就叫做 f(x)导函数,记为 f(x)

   如果我们能把导函数的表达式计算出来,那么就可以直接代值去计算各处的导数,没必要挨个像例 2 那样进行一番冗长的运算了。

   为了方便计算,我们要先把导数的定义简化成如下形式:

定义 3 导数

   考虑实函数 f(x),给定实数 x0。如果对于任意趋近于 x0 的数列 xn,都有数列 f(xn)f(x0)xnx0 收敛,且所有这样的数列都收敛于实数 A。那么 A 就是 f(x)x0 处的导数

   换句话说,f(x)x0 处的导数是 limh0f(x0+h)f(x0)h

习题 3 两个定义的等价性

   证明定义 2 定义 3 是等价的。

   提示:定义 2 显然是蕴含了定义 3 的,因为前者描述的是 “所有数列对” 的情况,后者则是限定了其中一个数列恒为 x0 的特殊情况。所以你只需要证明定义 3 蕴含了定义 2 。提示:单独用 anbn 套进定义 3 xn 的位置能得到两条割线,而 anbn定义 2 中又构成第三条割线。这三条割线是可以构成一个三角形的。根据定义 3 ,前两条割线的斜率都趋于 A,那么作为三角形第三边的第三条割线,其斜率也不得不跟着趋于 A,这样就从定义 3 推出定义 2 了。

   定义 3 的表述可以理解为,我们在 (x0,f(x0)) 处出发,改变自变量的取值(正向负向的改变均可),算出由此带来的函数值改变,再计算二者的商。这个改变越接近 0,计算出来的商就越接近导数值 f(x0)

定义 4 导函数

   给定实函数 f(x)。如果另一个函数 f(x) 的取值范围是 f(x) 的全体可求导数的点,且在这些点上 f 的值就是 f 的导数值,那么我们称 f(x)f(x) 的导函数。

Leibniz 表示法

   我们还可以用 Leibniz 的符号,将 f(x) 的导函数 limxx0f(x)f(x0)xx0 表示成 df(x)dx。这里,d 不是一个量,而是一个符号,表示 “取变化量,然后让这个变化量趋于零但不等于零”。dx 的含义就是 xx0,然后取一个极限过程 limxx003

   要注意的是,df(x0) 是取决于 dx 的,即 df(x0)=f(x0+dx)f(x0)。也就是说,只有 x 是自由变化的,而 f(x) 变化的量是被动的。所以 df(x) 可能不会跟着 dx 一起趋于零。一个例子就是习题 2 中的符号函数,在 x=0 的地方,df(x) 的取值只有 ±1 两种(别忘了 dx 不等于零),导致 dx 趋于零的过程中,df(x)dx 越来越趋近于无穷。

   由于 dx 表示的是任意接近 0 的数列,因此,如果两个自变量彼此独立、不相互影响,比如 xy,那么 dxdy 的关系是不确定的,dydx 也是无法定义的值。但是如果两个变量之间有关系,比如 y=f(x),那么 dydx 就是有意义的了。

   举个例子。单给出无关的 xy,那么可以让 dx 对应 xn=1/2ndy 对应 yn=1/3n,这样 dydx=limn(23)n=0。但是我们也可以让 dx 对应 xn=1/2ndy 对应 yn=1/2n,这样算出来的 dydx 就是 1。到底哪个才是真正的 dydx 呢?这没法讨论了。但是呢,如果限定了二者之间的关系,比如 y=x2,那么 dy 对应的 yn 就不能随意取了,必须用 dx 对应的 xn 结合 y=x2 计算出来,而且无论怎么取 xndydxx=x0 处的结果都会是 2x0

   为了方便,我们也可以把 df(x)dx 表示为 ddxf(x)。这里,我们将 ddx 视为一个操作,它把 f(x) 变成其导函数 f(x)。更进一步,我们还可以写出 f=ddxf

两个重要的性质

定理 1 导数的线性性

   假设 f(x)g(x) 是两个处处可导4的函数,那么 ddx(f(x)+g(x))=ddxf(x)+ddxg(x)

   证明很简单,留作习题。

定理 2 Leibniz 律

   假设 f(x)g(x) 是两个处处可导的函数,那么 ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)

   证明

   我们从定义 3 出发。

(2)ddx(f(x)g(x))=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)g(x+h)f(x+h)g(x)h+limh0f(x+h)g(x)f(x)g(x)h=limh0f(x+h)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x) .

   证毕

   有了这两条性质,我们足以计算很多常见函数的导函数了。

例 3 多项式函数

   多项式是形如 f(x)=a0+a1x+a2x2++anxn 的函数。为了计算其导函数,我们首先要考虑最简单的多项式,xn

   f(x)=x 的导函数很容易计算,就是处处等于 1。现在,把 x2 表示为 f(x)f(x),那么根据定理 2 ,其导函数就是 1f(x)+1f(x)=2f(x)=2x

   一般地,对于正整数 nxn 的导函数是 nxn1。这可以通过已知 xn1 的导函数是 (n1)xn2 一步步利用定理 2 归纳得到。

   结合定理 1 ,即可计算出任意多项式函数的导函数了。

2. 链式法则


1. ^ 这一条是保证总能画出割线,因为两点确定一条直线嘛,an=bn 的话这条割线就画不出来了。
2. ^ x=2 处即点 (2,4)。也可以说 y=4x>0 处,但肯定是 x=2 处的说法更方便。
3. ^ 取极限过程就是指,取一系列这样的 x 构成一个数列 {xx0},且这个数列趋于 0limxx00 等价于 limxx0
4. ^ 即每一个点上都有导数。


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