导数（数学分析）

贡献者： JierPeter

预备知识　极限

　　切线的几何描述并不严谨和完整，初学者可能会有很多疑问，比如割线的两个点靠近切点的时候，如果其中一个点到切点的距离始终是另一个点到切点距离的两倍，那它们还算同时达到切点吗？

　　实际上，在极限中我们强调过，极限的概念并不是简单地等同，而是趋近的性质。用割线去接近切线也是一种极限，不存在 “达到切点” 的情况，只能是越来越接近切点。

　　和其它类型的极限一样，割线趋近的过程强调 “任意性”。为了方便描述，我们需要把一根切线表示为数字。最直接的办法就是用切线的斜率来表示。

定义 1　斜率

　　对于用 $f (x) = a x + b$ 描述的直线，定义其斜率为 $a$ 。

　　由于我们给定了切点，因此割线接近切线的过程中，肯定也会接近切点，相当于确定了割线的极限是要经过切点的，于是我们只需要考察割线的斜率是不是收敛就行。由于斜率是一个数字，这就使得我们又获得了一个数列，而我们对于数列的极限是很熟悉的了。

定义 2　导数

　　考虑实函数 $f (x)$ ，给定实数 $x_{0}$ 。对于一对数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ ，令 $lim_{n \to \infty} a_{n} = x_{0}$ 、 $lim_{n \to \infty} b_{n} = x_{0}$ ，且各 $a_{n} \neq b_{n}$ ¹。这样，每一对点 $(a_{n}, f (a_{n}))$ 、 $(b_{n}, f (b_{n}))$ 都能唯一确定一条割线，也就确定了割线的斜率 $d_{n}$ 。

　　对于任意的上述数列对 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ ，如果其生成的 $d_{n}$ 都收敛到同一个实数 $A$ 上，那么该实数 $A$ 就是 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的切线斜率，也称导数（derivative）。

　　我们来看几个例子，加深理解。

例 1　

　　考虑函数 $f (x) = 2 x + 1$ 。容易验证，无论怎么选一对数列，它们生成的割线斜率都是 $2$ 。因此由定义， $f (x)$ 在任何一个点处的导数值都是 $2$ 。

例 2　

　　考虑函数 $f (x) = x^{2}$ ，尝试计算其在 $x = 2$ 处的导数值²。

　　取数列 $a_{n} = 2 + g_{n}$ 和 $b_{n} = 2 + h_{n}$ ，其中 $g_{n}$ 和 $h_{n}$ 都趋近于 $0$ ，且各 $g_{n} \neq h_{n}$ 。那么 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 所确定的割线就通过点 $(2 + g_{n}, 4 + 4 g_{n} + g_{n}^{2})$ 和点 $(2 + h_{n}, 4 + 4 h_{n} + h_{n}^{2})$ ，因此割线斜率是

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} d_{n} & = \frac{4 + 4 g_{n} + g_{n}^{2} - 4 - 4 h_{n} - h_{n}^{2}}{g_{n} - h_{n}} \\ = \frac{4 (g_{n} - h_{n}) + (g_{n} + h_{n}) (g_{n} - h_{n})}{g_{n} - h_{n}} \\ = 4 + g_{n} + h_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

由于随着

n

的增大，

g_{n}

和

h_{n}

都趋于零，因此

d_{n}

趋于

4

。

　　又由于我们没有具体约束 $g_{n}$ 和 $h_{n}$ ，使得上述讨论适用于一切可用于构造趋近于给定点割线的数列 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ，因此满足任意性，因此 $f (x) = x^{2}$ 在 $x = 2$ 处的导数值就是 $4$ 。

习题 1　

　　考虑函数 $f (x) = | x |$ ，画出这个函数的图像，并证明其在 $x = 0$ 处没有导数。

习题 2　

　　考虑函数 $f (x) = [x]$ ，定义为 $[x]$ 是小于等于 $x$ 的、最接近 $x$ 的整数。比如， $[π] = 3$ ， $[e] = 2$ ， $[4.99] = 4$ ， $[- 4.99] = - 5$ 。

　　画出这个函数的图像，并证明其在横坐标为整数的点处没有导数。

1. 导函数及其计算

　　我们上面讨论的是对于函数 $f (x)$ ，在给定点求其导数。但是如果我们把所有点的导数都求出来（“不存在导数” 也是一种结果），那么我们就得到了一个新的函数，就叫做 $f (x)$ 的导函数，记为 $f^{'} (x)$ 。

　　如果我们能把导函数的表达式计算出来，那么就可以直接代值去计算各处的导数，没必要挨个像例 2 那样进行一番冗长的运算了。

　　为了方便计算，我们要先把导数的定义简化成如下形式：

定义 3　导数

　　考虑实函数 $f (x)$ ，给定实数 $x_{0}$ 。如果对于任意趋近于 $x_{0}$ 的数列 $x_{n}$ ，都有数列 $\frac{f (x_{n}) - f (x_{0})}{x_{n} - x_{0}}$ 收敛，且所有这样的数列都收敛于实数 $A$ 。那么 $A$ 就是 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数。

　　换句话说， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数是 $lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ 。

习题 3　两个定义的等价性

　　证明定义 2 和定义 3 是等价的。

　　提示：定义 2 显然是蕴含了定义 3 的，因为前者描述的是 “所有数列对” 的情况，后者则是限定了其中一个数列恒为 $x_{0}$ 的特殊情况。所以你只需要证明定义 3 蕴含了定义 2 。提示：单独用 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 套进定义 3 中 $x_{n}$ 的位置能得到两条割线，而 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 在定义 2 中又构成第三条割线。这三条割线是可以构成一个三角形的。根据定义 3 ，前两条割线的斜率都趋于 $A$ ，那么作为三角形第三边的第三条割线，其斜率也不得不跟着趋于 $A$ ，这样就从定义 3 推出定义 2 了。

　　定义 3 的表述可以理解为，我们在 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处出发，改变自变量的取值（正向负向的改变均可），算出由此带来的函数值改变，再计算二者的商。这个改变越接近 $0$ ，计算出来的商就越接近导数值 $f^{'} (x_{0})$ 。

定义 4　导函数

　　给定实函数 $f (x)$ 。如果另一个函数 $f^{'} (x)$ 的取值范围是 $f (x)$ 的全体可求导数的点，且在这些点上 $f^{'}$ 的值就是 $f$ 的导数值，那么我们称 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数。

Leibniz 表示法

　　我们还可以用 Leibniz 的符号，将 $f (x)$ 的导函数 $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ 表示成 $\frac{d f (x)}{d x}$ 。这里， $d$ 不是一个量，而是一个符号，表示 “取变化量，然后让这个变化量趋于零但不等于零”。 $d x$ 的含义就是 $x - x_{0}$ ，然后取一个极限过程 $lim_{x - x_{0} \to 0}$ ³。

　　要注意的是， $d f (x_{0})$ 是取决于 $d x$ 的，即 $d f (x_{0}) = f (x_{0} + d x) - f (x_{0})$ 。也就是说，只有 $x$ 是自由变化的，而 $f (x)$ 变化的量是被动的。所以 $d f (x)$ 可能不会跟着 $d x$ 一起趋于零。一个例子就是习题 2 中的符号函数，在 $x = 0$ 的地方， $d f (x)$ 的取值只有 $\pm 1$ 两种（别忘了 $d x$ 不等于零），导致 $d x$ 趋于零的过程中， $\frac{d f (x)}{d x}$ 越来越趋近于无穷。

　　由于 $d x$ 表示的是任意接近 $0$ 的数列，因此，如果两个自变量彼此独立、不相互影响，比如 $x$ 和 $y$ ，那么 $d x$ 和 $d y$ 的关系是不确定的， $\frac{d y}{d x}$ 也是无法定义的值。但是如果两个变量之间有关系，比如 $y = f (x)$ ，那么 $\frac{d y}{d x}$ 就是有意义的了。

　　举个例子。单给出无关的 $x$ 和 $y$ ，那么可以让 $d x$ 对应 $x_{n} = 1 / 2^{n}$ ， $d y$ 对应 $y_{n} = 1 / 3^{n}$ ，这样 $\frac{d y}{d x} = lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{n} = 0$ 。但是我们也可以让 $d x$ 对应 $x_{n} = 1 / 2^{n}$ ， $d y$ 对应 $y_{n} = 1 / 2^{n}$ ，这样算出来的 $\frac{d y}{d x}$ 就是 $1$ 。到底哪个才是真正的 $\frac{d y}{d x}$ 呢？这没法讨论了。但是呢，如果限定了二者之间的关系，比如 $y = x^{2}$ ，那么 $d y$ 对应的 $y_{n}$ 就不能随意取了，必须用 $d x$ 对应的 $x_{n}$ 结合 $y = x^{2}$ 计算出来，而且无论怎么取 $x_{n}$ ， $\frac{d y}{d x}$ 在 $x = x_{0}$ 处的结果都会是 $2 x_{0}$ 。

　　为了方便，我们也可以把 $\frac{d f (x)}{d x}$ 表示为 $\frac{d}{d x} f (x)$ 。这里，我们将 $\frac{d}{d x}$ 视为一个操作，它把 $f (x)$ 变成其导函数 $f^{'} (x)$ 。更进一步，我们还可以写出 $f^{'} = \frac{d}{d x} f$ 。

两个重要的性质

定理 1　导数的线性性

　　假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是两个处处可导⁴的函数，那么 $\frac{d}{d x} (f (x) + g (x)) = \frac{d}{d x} f (x) + \frac{d}{d x} g (x)$ 。

　　证明很简单，留作习题。

定理 2　Leibniz 律

　　假设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是两个处处可导的函数，那么 $\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \frac{d}{d x} f (x)$

　　证明：

　　我们从定义 3 出发。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = & lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x + h) g (x) + f (x + h) g (x) - f (x) g (x)}{h} \\ = & lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x + h) - f (x + h) g (x)}{h} + \\ lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) g (x) - f (x) g (x)}{h} \\ = & lim_{h \to 0} f (x + h) \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \frac{d}{d x} f (x) \\ = & f (x) \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \frac{d}{d x} f (x) . \end{aligned} \end{matrix}

　　证毕。

　　有了这两条性质，我们足以计算很多常见函数的导函数了。

例 3　多项式函数

　　多项式是形如 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ 的函数。为了计算其导函数，我们首先要考虑最简单的多项式， $x^{n}$ 。

　　 $f (x) = x$ 的导函数很容易计算，就是处处等于 1。现在，把 $x^{2}$ 表示为 $f (x) f (x)$ ，那么根据定理 2 ，其导函数就是 $1 \cdot f (x) + 1 \cdot f (x) = 2 f (x) = 2 x$ 。

　　一般地，对于正整数 $n$ ， $x^{n}$ 的导函数是 $n x^{n - 1}$ 。这可以通过已知 $x^{n - 1}$ 的导函数是 $(n - 1) x^{n - 2}$ 一步步利用定理 2 归纳得到。

　　结合定理 1 ，即可计算出任意多项式函数的导函数了。

2. 链式法则

1. ^ 这一条是保证总能画出割线，因为两点确定一条直线嘛， $a_{n} = b_{n}$ 的话这条割线就画不出来了。
2. ^ $x = 2$ 处即点 $(2, 4)$ 。也可以说 $y = 4$ 且 $x > 0$ 处，但肯定是 $x = 2$ 处的说法更方便。
3. ^ 取极限过程就是指，取一系列这样的 $x$ 构成一个数列 ${x - x_{0}}$ ，且这个数列趋于 $0$ 。 $lim_{x - x_{0} \to 0}$ 等价于 $lim_{x \to x_{0}}$ 。
4. ^ 即每一个点上都有导数。

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导数（数学分析）

定义 1 斜率

定义 2 导数

例 1

例 2

习题 1

习题 2

1. 导函数及其计算

定义 3 导数

习题 3 两个定义的等价性

定义 4 导函数

Leibniz 表示法

两个重要的性质

定理 1 导数的线性性

定理 2 Leibniz 律

例 3 多项式函数

2. 链式法则

定义 1　斜率

定义 2　导数

例 1　

例 2　

习题 1　

习题 2　

定义 3　导数

习题 3　两个定义的等价性

定义 4　导函数

定理 1　导数的线性性

定理 2　Leibniz 律

例 3　多项式函数