一元隐函数的存在及可微定理

                     

贡献者: 零穹; Relo Stern

    $\cdot$ 相关地方需新建词条并引用
预备知识 隐函数

   本节将建立保证隐函数单值连续及可微的条件.这由两个定理来保证

定理 1 存在定理

   若:

  1. 函数 $F(x,y)$ 在以点 $(x_0,y_0)$ 为中心的长方形邻域定义 1
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_0-\Delta,x_0+\Delta;y_0-\Delta',y_0+\Delta'] \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. $F(x_0,y_0)=0$;
  3. 当 $x$ 为常数时,函数 $F(x,y)$ 随着 $y$ 的增大而单调增大(或单调减小).

   那么,在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内:

  1. 方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数:$y=f(x)$;
  2. $f(x_0)=y_0$;
  3. $f(x)$ 连续.

定理 2 可微定理

   若:

  1. 函数 $F(x,y)$ 在以点 $(x_0,y_0)$ 为中心的长方形领域
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_0-\Delta,x_0+\Delta;y_0-\Delta',y_0+\Delta'] \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中偏导数 $F_x',F_y'$ 存在且连续;
  3. $F(x_0,y_0)=0$;
  4. $F_y'(x_0,y_0)\neq0$.

   那么: 除定理 1 的结论 1,2,3 外,还可证明:
$\quad$4.函数 $f(x)$ 有连续导数.

1. 证明

存在定理的证明

   存在性

图
图 1:隐函数存在定理示意图

   如图 1 ,沿着 $x=x_0$ 的竖直线,函数 $F(x,y)$ 变成一个变元 $y$ 的函数 $F(x_0,y)$.根据定理条件 2:$F(x_0,y_0)=0$.根据定理条件 3

\begin{equation} F(B_0)=F(x_0,y_0+\Delta') > 0,\quad F(A_0)=F(x_0,y_0-\Delta') < 0 \end{equation}
沿着通过 $A_0,B_0$ 的两条水平直线,得到两个 $x$ 的函数:$F(x,y+\Delta'),F(x,y-\Delta')$.由式 3 已看到,第一个函数有正值,第二个有负值.按条件 1:这两函数是连续的.因此必有点 $x_0$ 的某一邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta),\quad(0 < \delta\leq\Delta)$,使得这两函数保持自己的符号(连续函数的保号性,需编辑词条并引用).于是当 $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 时,
\begin{equation} F(x,y_0+\Delta') > 0,\quad F(x,y_0-\Delta') < 0 \end{equation}
换而言之,在原矩形的上下底上,有以点 $A_0$ 及 $B_0$ 为中心而长为 $2\delta$ 的线段 $B_1B_2$ 及 $A_1A_2$,沿着这些线段,给定函数 $F(x,y)$ 在 $B_1B_2$ 上有 正值而在 $A_1A_2$ 上有负值.

   在区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上任选一点 $\overline{x}$,其在矩形上下底的垂直对应点为 $\overline{B}$ 和 $\overline{A}$,则

\begin{equation} F(\overline{A})=F(\overline{x},y_0-\Delta) < 0,\quad F(\overline{B})=F(\overline{x},y_0-\Delta) > 0 \end{equation}
由连续性(布尔查诺-柯西第一定理(or 连续函数介值定理),编辑词条并引用),必有 $\overline{A}\overline{B}$ 间一点 $y=\overline{y}$,使得
\begin{equation} F(\overline{x},\overline{y})=0 \end{equation}
由条件 3,满足式 6 的 $\overline{y}$ 是唯一的.

   这样,在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $(x_0-\delta,x+\delta)$ 内,方程 $F(x,y)=0$ 确实确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数定义 2

   连续性

   对 $y=f(x)$ 上的任一点 $(\overline{x},\overline{y})$,对于任意大于 0 的 $\epsilon$, 只需作该点的长方形邻域 $(\overline{x}-\delta',\overline{x}+\delta';\overline{y}-\epsilon,\overline{y}+\epsilon)$,使得区间 $(\overline{x}-\delta',\overline{x}+\delta')$ 内任一 $x$,有

\begin{equation} \left\lvert f(x)-\overline{y} \right\rvert = \left\lvert f(x)-f(\overline{x}) \right\rvert < \epsilon \end{equation}
就保证了连续性,而上面存在性中的方法保证了这一长方形邻域的存在性.

   于是定理 1 得证.

可微定理的证明

   设 $F'_y(x_0,y_0) > 0$,根据定理的条件 2,$F'_y(x,y)$ 是连续的,所以可做正方形

\begin{equation} [x_0-\delta',x_0+\delta';y_0-\delta',y_0+\delta'],\quad(\delta' < \Delta \&\Delta') \end{equation}
使得对于一切属于它的点有 $F_y'(x,y) > 0$(这意味着对这区域,$x$ 不变,$F(x,y)$ 单调增).于是对这正方形区域而言,定理 1 的一切条件满足.因此,定理 1 的结论 1,2,3 成立.

   现在转而证明函数 $f(x)$ 有连续的导数.在由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 上,$F(x,y)=0$.那么在这曲线上给 $x$ 于增量 $\Delta x$,成立 $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$.它们共同满足 $F(x+\Delta,y+\Delta)=0$.显然,增量

\begin{equation} \Delta F(x,y)=F(x+\Delta,y+\Delta)-F(x,y)=0 \end{equation}
而由有限增量公式(编辑词条并引用),
\begin{equation} \Delta F(x,y)=F_x'\Delta+F_y'\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y \end{equation}
其中,$\alpha,\beta$ 依赖于 $\Delta x,\Delta y$,且当 $\Delta x,\Delta y$ 趋于 0 时也趋于 0.由此
\begin{equation} \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{F_x'(x,y)+\alpha}{F_y'(x,y)+\beta} \end{equation}
由条件 4:$F_y'(x,y)\neq0$,所以
\begin{equation} f'(x)=y_x'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)} \end{equation}
存在.代入 $y=f(x)$,上式写为
\begin{equation} f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))} \end{equation}
因为等式右边分母分子都是连续函数的连续函数,且分母不为 0,故知 $f'(x)$ 连续.定理得证!


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