一元隐函数的存在及可微定理

                     

贡献者： 零穹; Relo Stern

　　 本节将建立保证隐函数单值连续及可微的条件。这由两个定理来保证

1. 证明

存在定理的证明

　　 存在性

　　 如图 1 ，沿着 $x=x_0$ 的竖直线，函数 $F(x,y)$ 变成一个变元 $y$ 的函数 $F(x_0,y)$。根据定理条件 2：$F(x_0,y_0)=0$。根据定理条件 3

沿着通过 $A_0,B_0$ 的两条水平直线，得到两个 $x$ 的函数：$F(x,y+{\mathrm{\Delta }}^{\prime }),F(x,y-{\mathrm{\Delta }}^{\prime })$。由式 3 已看到，第一个函数有正值，第二个有负值。按条件 1：这两函数是连续的。因此必有点 $x_0$ 的某一邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta ),(0<\delta \le \mathrm{\Delta })$，使得这两函数保持自己的符号（连续函数的保号性，需编辑文章并引用）。于是当 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 时， 换而言之，在原矩形的上下底上，有以点 $A_0$ 及 $B_0$ 为中心而长为 $2\delta$ 的线段 $B_1{B}_2$ 及 $A_1{A}_2$，沿着这些线段，给定函数 $F(x,y)$ 在 $B_1{B}_2$ 上有 正值而在 $A_1{A}_2$ 上有负值。

　　 在区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 上任选一点 $\bar{x}$，其在矩形上下底的垂直对应点为 $\bar{B}$ 和 $\bar{A}$，则

由连续性（布尔查诺-柯西第一定理（or 连续函数介值定理），编辑文章并引用），必有 $\bar{A}\bar{B}$ 间一点 $y=\bar{y}$，使得 由条件 3，满足式 6 的 $\bar{y}$ 是唯一的。

　　 这样，在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $(x_0-\delta ,x+\delta )$ 内，方程 $F(x,y)=0$ 确实确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数定义 2 。

　　 连续性

　　 对 $y=f(x)$ 上的任一点 $(\bar{x},\bar{y})$，对于任意大于 0 的 $ϵ$, 只需作该点的长方形邻域 $(\bar{x}-{\delta }^{\prime },\bar{x}+{\delta }^{\prime };\bar{y}-ϵ,\bar{y}+ϵ)$，使得区间 $(\bar{x}-{\delta }^{\prime },\bar{x}+{\delta }^{\prime })$ 内任一 $x$，有

就保证了连续性，而上面存在性中的方法保证了这一长方形邻域的存在性。

　　 于是定理 1 得证。

可微定理的证明

　　 设 $F_y^{\prime }(x_0,y_0)>0$，根据定理的条件 2，$F_y^{\prime }(x,y)$ 是连续的，所以可做正方形

使得对于一切属于它的点有 $F_y^{\prime }(x,y)>0$（这意味着对这区域，$x$ 不变，$F(x,y)$ 单调增）。于是对这正方形区域而言，定理 1 的一切条件满足。因此，定理 1 的结论 1,2,3 成立。

　　 现在转而证明函数 $f(x)$ 有连续的导数。在由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 上，$F(x,y)=0$。那么在这曲线上给 $x$ 于增量 $\mathrm{\Delta }x$，成立 $y+\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)$。它们共同满足 $F(x+\mathrm{\Delta },y+\mathrm{\Delta })=0$。显然，增量

而由有限增量公式（编辑文章并引用）， 其中，$\alpha ,\beta$ 依赖于 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$，且当 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 趋于 0 时也趋于 0。由此 由条件 4：$F_y^{\prime }(x,y)\ne 0$，所以 存在。代入 $y=f(x)$，上式写为 因为等式右边分母分子都是连续函数的连续函数，且分母不为 0，故知 $f^{\prime }(x)$ 连续。定理得证！