贡献者： 零穹; Relo Stern
本节将建立保证隐函数单值连续及可微的条件。这由两个定理来保证
定理 1 存在定理
若：
- 函数 $F(x,y)$ 在以点 $(x_0,y_0)$ 为中心的长方形邻域定义 1
\begin{equation}
\mathcal{D}=[x_0-\Delta,x_0+\Delta;y_0-\Delta',y_0+\Delta']~
\end{equation}
- $F(x_0,y_0)=0$；
- 当 $x$ 为常数时，函数 $F(x,y)$ 随着 $y$ 的增大而单调增大（或单调减小）。
那么，在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内：
- 方程 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数：$y=f(x)$；
- $f(x_0)=y_0$；
- $f(x)$ 连续。
定理 2 可微定理
若：
- 函数 $F(x,y)$ 在以点 $(x_0,y_0)$ 为中心的长方形领域
\begin{equation}
\mathcal{D}=[x_0-\Delta,x_0+\Delta;y_0-\Delta',y_0+\Delta']~
\end{equation}
- 在 $\mathcal{D}$ 中偏导数 $F_x',F_y'$ 存在且连续；
- $F(x_0,y_0)=0$；
- $F_y'(x_0,y_0)\neq0$。
那么：
除定理 1 的结论 1,2,3 外，还可证明：
$\quad$4.函数 $f(x)$ 有连续导数。
1. 证明
存在定理的证明
存在性
图 1：隐函数存在定理示意图
如图 1 ，沿着 $x=x_0$ 的竖直线，函数 $F(x,y)$ 变成一个变元 $y$ 的函数 $F(x_0,y)$。根据定理条件 2：$F(x_0,y_0)=0$。根据定理条件 3
\begin{equation}
F(B_0)=F(x_0,y_0+\Delta')>0,\quad F(A_0)=F(x_0,y_0-\Delta')<0~
\end{equation}
沿着通过 $A_0,B_0$ 的两条水平直线，得到两个 $x$ 的函数：$F(x,y+\Delta'),F(x,y-\Delta')$。由
式 3 已看到，第一个函数有正值，第二个有负值。按条件 1：这两函数是连续的。因此必有点 $x_0$ 的某一邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta),\quad(0<\delta\leq\Delta)$，使得这两函数保持自己的符号（连续函数的保号性，需编辑文章并引用）。于是当 $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 时，
\begin{equation}
F(x,y_0+\Delta')>0,\quad F(x,y_0-\Delta')<0~.
\end{equation}
换而言之，在原矩形的上下底上，有以点 $A_0$ 及 $B_0$ 为中心而长为 $2\delta$ 的线段 $B_1B_2$ 及 $A_1A_2$，沿着这些线段，给定函数 $F(x,y)$ 在 $B_1B_2$ 上有 正值而在 $A_1A_2$ 上有负值。
在区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 上任选一点 $\overline{x}$，其在矩形上下底的垂直对应点为 $\overline{B}$ 和 $\overline{A}$，则
\begin{equation}
F(\overline{A})=F(\overline{x},y_0-\Delta)<0,\quad F(\overline{B})=F(\overline{x},y_0-\Delta)>0~.
\end{equation}
由连续性（布尔查诺-柯西第一定理（or 连续函数介值定理），编辑文章并引用），必有 $\overline{A}\overline{B}$ 间一点 $y=\overline{y}$，使得
\begin{equation}
F(\overline{x},\overline{y})=0~.
\end{equation}
由条件 3，满足
式 6 的 $\overline{y}$ 是唯一的。
这样，在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $(x_0-\delta,x+\delta)$ 内，方程 $F(x,y)=0$ 确实确定 $y$ 为 $x$ 的单值函数定义 2 。
连续性
对 $y=f(x)$ 上的任一点 $(\overline{x},\overline{y})$，对于任意大于 0 的 $\epsilon$, 只需作该点的长方形邻域 $(\overline{x}-\delta',\overline{x}+\delta';\overline{y}-\epsilon,\overline{y}+\epsilon)$，使得区间 $(\overline{x}-\delta',\overline{x}+\delta')$ 内任一 $x$，有
\begin{equation}
\left\lvert f(x)-\overline{y} \right\rvert = \left\lvert f(x)-f(\overline{x}) \right\rvert <\epsilon~.
\end{equation}
就保证了连续性，而上面存在性中的方法保证了这一长方形邻域的存在性。
于是定理 1 得证。
可微定理的证明
设 $F'_y(x_0,y_0)>0$，根据定理的条件 2，$F'_y(x,y)$ 是连续的，所以可做正方形
\begin{equation}
[x_0-\delta',x_0+\delta';y_0-\delta',y_0+\delta']\quad(\delta'<\Delta \&\Delta')~
\end{equation}
使得对于一切属于它的点有 $F_y'(x,y)>0$（这意味着对这区域，$x$ 不变，$F(x,y)$ 单调增）。于是对这正方形区域而言，
定理 1 的一切条件满足。因此，
定理 1 的结论 1,2,3 成立。
现在转而证明函数 $f(x)$ 有连续的导数。在由方程 $F(x,y)=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 上，$F(x,y)=0$。那么在这曲线上给 $x$ 于增量 $\Delta x$，成立 $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$。它们共同满足 $F(x+\Delta,y+\Delta)=0$。显然，增量
\begin{equation}
\Delta F(x,y)=F(x+\Delta,y+\Delta)-F(x,y)=0~.
\end{equation}
而由有限增量公式（编辑文章并引用），
\begin{equation}
\Delta F(x,y)=F_x'\Delta+F_y'\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y~.
\end{equation}
其中，$\alpha,\beta$ 依赖于 $\Delta x,\Delta y$，且当 $\Delta x,\Delta y$ 趋于 0 时也趋于 0。由此
\begin{equation}
\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{F_x'(x,y)+\alpha}{F_y'(x,y)+\beta}~.
\end{equation}
由条件 4：$F_y'(x,y)\neq0$，所以
\begin{equation}
f'(x)=y_x'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{F_x'(x,y)}{F_y'(x,y)}~
\end{equation}
存在。代入 $y=f(x)$，上式写为
\begin{equation}
f'(x)=-\frac{F_x'(x,f(x))}{F_y'(x,f(x))}~.
\end{equation}
因为等式右边分母分子都是连续函数的连续函数，且分母不为 0，故知 $f'(x)$ 连续。定理得证！
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