正交函数系

贡献者： addis

预备知识　定积分

1. 函数值为实数

　　定义给出一组函数（有限或无限多个）， $f_{i} (x) (i = 1, 2 \dots)$ ，如果满足

\begin{matrix} (1) & \int_{a}^{b} f_{i} (x) f_{i} (x) d x \neq 0 . \end{matrix}

当整数

m \neq n

时

\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} f_{m} (x) f_{n} (x) d x = 0, \end{matrix}

那么这一组函数就是区间

[a, b]

内的一个正交函数系。

　　这一组函数的性质可以类比矢量的正交，“两个函数相乘再积分” 这个步骤可以类比矢量的内积。如果两个不同的矢量正交（垂直），则它们的内积为零。如果它们的模长不为零，则一个矢量与自身内积不为零。

　　特殊地，若给正交函数系中的每个函数的平方进行归一化，使得

\begin{matrix} (3) & \int_{a}^{b} f_{i} (x) f_{i} (x) d x = 1 . \end{matrix}

那么该正交函数系就是归一的。其性质可以表示为

\begin{matrix} (4) & \int_{a}^{b} f_{m} (x) f_{n} (x) d x = δ_{m n}, \end{matrix}

其中

δ_{m n}

是克罗内克

δ

函数。

2. 函数值为复数

　　若函数系中 $f_{i} (x)$ 的自变量为实数，函数值为复数，则正交的定义变为

\begin{matrix} (5) & \int_{a}^{b} f_{i}^{*} (x) f_{j} (x) d x = δ_{i j} . \end{matrix}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。