拉普拉斯变换与常系数线性微分方程

             

贡献者: JierPeter

预备知识 常系数齐次线性微分方程,拉普拉斯变换的性质

1. 拉普拉斯变换

导数定理

   拉普拉斯变换的导数定理(见拉普拉斯变换)使得我们可以把常系数线性微分方程化为代数方程,不论是否齐次.在常系数齐次线性微分方程中,我们通过把方程写为算子 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }$ 的代数方程,实现了化微分方程为代数方程,但这种操作对非齐次方程没有用.拉普拉斯变换是另一种化为代数方程的思路,而且不拘泥于齐次与否.

   引用拉普拉斯变换的性质,将导数定理誊写如下:

定理 1 拉普拉斯变换的导数定理

   设 $[0, +\infty]$ 上有 $k$ 次可导函数 $f(t)$,其拉普拉斯变换为

\begin{equation} \mathscr{L}(f(t))=F(s)=\int^{+\infty}_0f(t) \mathrm{e} ^{-st} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}

   则有

\begin{equation} \mathscr{L}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t))=sF(s)-f(0) \end{equation}

   由定理 1 ,容易计算得

\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr{L}(\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}f(t))&=s\mathscr{L}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }f(t))-f'(0)\\ &=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) \end{aligned} \end{equation}

   以此类推,可得:

推论 1 

  

\begin{equation} \mathscr{L}(\frac{\mathrm{d}^k}{ \,\mathrm{d}{t} ^k}f(t))=s^nF(s)-\sum_{\substack{i, j > 0\\ i+j=n-1}}s^if^{(j)}(0) \end{equation}
其中 $f^{(j)}$ 表示 $f$ 的 $j$ 次导函数.

函数乘以一个指数函数后的拉普拉斯变换

定理 2 

   对于 $f(t)$,若设其拉普拉斯变换为 $F(s)$,则

\begin{equation} \mathscr{L}( \mathrm{e} ^{at}f(t))=F(s-a) \end{equation}

常见函数的拉普拉斯变换

例 1 幂函数

\begin{equation} \mathscr{L}(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}} \end{equation}

   这一事实可以通过应用分部积分得证:

\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr{L}(t^n)&=\int_0^{+\infty}t^n \mathrm{e} ^{-st} \,\mathrm{d}{t} \\ &=-\frac{1}{s}t^n \mathrm{e} ^{-st}|^{+\infty}_0+\frac{n}{s}\int_0^{+\infty}t^{n-1} \mathrm{e} ^{-st} \,\mathrm{d}{t} \\ &=\frac{n}{s}\int_0^{+\infty}t^{n-1} \mathrm{e} ^{-st} \,\mathrm{d}{t} \\ &=\frac{n}{s}\mathscr{L}(t^{n-1}) \end{aligned} \end{equation}

例 2 指数函数

\begin{equation} \mathscr{L}( \mathrm{e} ^{at})=\frac{1}{s-a} \end{equation}

例 3 三角函数

   利用 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x}=\cos x+ \mathrm{i} \sin x$,将 $a=\omega \mathrm{i} $ 代入式 8 ,分开实部和虚部,可得三角函数的拉普拉斯变换:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \mathscr{L}(\cos \omega t)&=\frac{s}{s^2+\omega^2}\\ \mathscr{L}(\sin \omega t)&=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \end{aligned}\right. \end{equation}

   有了式 6 式 8 式 9 ,再结合定理 2 ,我们就可以计算出多数情况下的拉普拉斯变换了.

2. 微分方程

   拉普拉斯变换的一大实用之处,就是可以用来解常系数线性微分方程.我们先举一个例子来说明其解法.

例 4 拉普拉斯变换解非齐次方程

   考虑方程

\begin{equation} \left(\frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} }+\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }+1 \right) f(t)=t \end{equation}

   设 $\mathscr{L}(f(t))=F(s)$,那么根据推论 1 ,给式 10 左右同时进行拉普拉斯变换,得

\begin{equation} s^2F(s)-sf(0)-f'(0)+sF(s)-f(0)+F(s)=\frac{1}{s^2} \end{equation}
其中 $f(0), f'(0)$ 都是待定的初值.

   将式 11 整理为

\begin{equation} F(s)=\frac{1}{s^2(s^2+s+1)}+\frac{sf(0)+f'(0)+f(0)}{s^2+s+1} \end{equation}

   注意到

\begin{equation} s^2+s+1=(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \end{equation}
式 12 可以分解为
\begin{equation} F(s)=\frac{s}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}-\frac{s-1}{s^2}+\frac{sf(0)+f'(0)+f(0)}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \end{equation}

   进一步整理为

\begin{equation} F(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{(f(0)+1)(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}+\frac{f'(0)+\frac{1}{2}f(0)-\frac{1}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \end{equation}

   式 15 的右边就是我们熟知的拉普拉斯变换的形式了:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \mathscr{L}(t)&=\frac{1}{s^2}\\ \mathscr{L}(1)&=\frac{1}{s}\\ \mathscr{L} \left( \mathrm{e} ^{-\frac{1}{2}t} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right) &=\frac{s+\frac{1}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}\\ \mathscr{L} \left( \mathrm{e} ^{-\frac{1}{2}t} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) \right) &=\frac{1}{(s+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \end{aligned}\right. \end{equation}

   根据拉普拉斯变换的线性性,求出式 16 中各式的逆变换,其线性组合就是 $F(s)$ 的逆变换:

\begin{equation} \begin{aligned} f(t)&=t-1+(f(0)+1) \mathrm{e} ^{-\frac{1}{2}t} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) \\& +(f'(0)+\frac{1}{2}f(0)-\frac{1}{2}) \mathrm{e} ^{-\frac{1}{2}t} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right) \end{aligned} \end{equation}

   式 17 就是式 10 的通解.只需要把初值 $f(0)$ 和 $f'(0)$ 代进去即可得给定初值下的特解.

   例 4 中最麻烦的一步是从式 12 式 14 的因式分解.代数学的知识告诉我们,任何一个形如 $\frac{1}{p(t)}$ 的函数,其中 $p(t)$ 是多项式,都可以化为 $\frac{1}{s+a}, \frac{1}{(s+a)^2+b}, \frac{s}{(s+a)^2+b}$ 的线性组合,而这三个式子的拉普拉斯逆变换都是已知的.因此,当常系数线性微分方程式 1 的右端的拉普拉斯变换是多项式的倒数的时候,我们总可以求方程两端的拉普拉斯变换,得到通解的拉普拉斯变换,并求逆变换以得到通解本身.

未完成:因式分解的技巧需引用.


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