一阶常微分方程解法：恰当方程

贡献者： JierPeter

预备知识　常微分方程简介

1. 恰当方程的概念

　　考虑一个二元函数 $u (x, y)$ ，其全导数为

\begin{matrix} (1) & d u = \frac{\partial u}{\partial x} d x + \frac{\partial u}{\partial y} d y . \end{matrix}

　　由多元微积分知识可知， $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ 。因此，如果一个形如

\begin{matrix} (2) & M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 \end{matrix}

的常微分方程满足

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} . \end{matrix}

那么就可以存在一个

u (x, y)

，使得

M = \partial u / \partial x

和

N = \partial u / \partial y

。

　　这样一来，式 2 就相当于

\begin{matrix} (4) & d u = 0 . \end{matrix}

其解就是

u = C

，

C

为积分常数。

　　也就是说，对于这样的方程，我们只需要求出 $u$ 就能求解。

定义 1　恰当方程

　　将形如式 2 且满足式 3 的方程，称为恰当方程（exact equation）。

　　我们研究一个例子，看看恰当方程是怎么解的。

例 1　

　　考虑方程 $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 y^{2} - x}$ 。

　　移项后得到 $y d x + (x - 3 y^{2}) d y = 0$ 。

　　记 $M = y$ ， $N = x - 3 y^{2}$ ，则容易验证 $\partial M / \partial y = 1 = \partial N / \partial x$ ，因此这是一个恰当方程。

　　我们希望找出一个 $u$ ，使得 $\partial u / \partial x = M$ 且 $\partial u / \partial y = N$ 。

　　先用 $M$ 关于 $d x$ 积分，因为这样积分出来的结果再对 $x$ 求偏微分就能得到 $M$ ：

\begin{matrix} (5) & u = \int M d x = \int y d x = x y + C_{1} (y), \end{matrix}

其中

C_{1} (y)

是一个关于

x

的常数——它完全可以是一个关于

y

的非常数函数，在对

x

求偏微分的时候不影响结果。

　　再用 $N$ 关于 $d y$ 积分，得到

\begin{matrix} (6) & u = \int N d y = \int (x - 3 y^{2}) d y = x y - y^{3} + C_{2} (x) . \end{matrix}

同样，

C_{2} (x)

是一个关于

y

的常数，它最多只和自变量

x

有关。

　　比较式 5 和式 6 ，可见 $C_{1} (y) = C_{2} (x) - y^{3}$ ，因此 $C_{2} (x)$ 必须是一个和 $x$ 也无关的常数，记为 $C$ ，进而有 $C_{1} (y) = C - y^{3}$ 。

　　代回式 5 或式 6 ，得

\begin{matrix} (7) & u = x y - y^{3} + C . \end{matrix}

　　于是方程的解就是 $x y - y^{3} = K$ ，其中 $K$ 为积分常数。

　　当 $K \neq 0$ 时，还可以写成 $x - y^{2} = K$ 。

2. 积分因子

　　如果给定的方程是恰当的，那按照例 1 的步骤就能很容易解出来。然而我们实际上遇到的方程往往乍一看不是恰当方程。不过，很多时候我们可以将一个非恰当方程转化为恰当方程，最常用的就是积分因子法。

　　将方程化为恰当方程的过程，在有些材料里也被称为凑微分法。

定义 2　积分因子

　　对于非恰当常微分方程 $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ ，如果存在一个函数 $f (x, y)$ ，使得

\begin{matrix} (8) & f (x, y) M (x, y) d x + f (x, y) N (x, y) d y = 0 \end{matrix}

是一个恰当方程，那么称

f (x, y)

是原方程的一个积分因子（integration factor）。

　　既然式 8 是一个恰当方程，那就有

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial (f M)}{\partial y} = \frac{\partial (f N)}{\partial x}, \end{matrix}

展开后有

\begin{matrix} (10) & f (\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}) = N \frac{\partial f}{\partial x} - M \frac{\partial f}{\partial y} . \end{matrix}

　　式 10 是一个关于未知函数 $f$ 的偏微分方程。虽然如果求出 $f$ ，我们就能得到一个恰当方程，快速解出原方程，但一般情况下 $f$ 的求解比原方程还难。

　　不过，在一些特殊情况下，我们确实是可以更容易地求出积分因子的。

　　最常见的一种情况，是限定 $f$ 是一个一元函数，从而将式 10 变成常微分方程。

一元积分因子

　　设 $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ 不是恰当方程，而 $f (x)$ 是它的一个积分因子。由于 $\partial f / \partial y = 0$ ，式 10 就化为

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{N}{f} \frac{d f}{d x}, \end{matrix}

其中左边是已知函数。这是一个变量可分离方程，移项后可得

\begin{matrix} (12) & \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x = \frac{1}{f} d f . \end{matrix}

　　故

\begin{matrix} (13) & f = \pm \exp (\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x) . \end{matrix}

　　观察式 13 式可知， $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ 有一个自变量只有 $x$ 的积分因子 $f (x)$ 的充要条件是， $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$ 是一个和 $y$ 无关的函数。

　　类似地， $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ 有一个自变量只有 $y$ 的积分因子 $f (y)$ 的充要条件是， $\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$ 是一个和 $x$ 无关的函数。

例 2　

　　考虑方程 $x y^{2} d x + x y d y = 0$ 。令 $M = x y^{2}$ ， $N = x y$ ，可知 $\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - y \neq 0$ ，故它是非恰当的。

　　但是， $\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{2 x y - y}{x y} = 2 - \frac{1}{x}$ 只有 $x$ 一个自变量，因此我们可以求积分因子 $f (x)$ ¹：

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} f & = \exp (\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x) \\ = \exp (\int (2 - \frac{1}{x}) d x) \\ = \exp (2 x - \ln x) \\ = \frac{e^{2 x}}{x} . \end{aligned} \end{matrix}

　　把 $f$ 乘到原方程里，得到

\begin{matrix} (15) & y^{2} e^{2 x} d x + y e^{2 x} d y = 0 . \end{matrix}

　　式 15 就是一个恰当方程。仿照例 1 的方法，求出

\begin{matrix} (16) & u = \frac{1}{2} y^{2} e^{2 x} . \end{matrix}

　　因此，原方程的解就是

\begin{matrix} (17) & \frac{1}{2} y^{2} e^{2 x} = C . \end{matrix}

例 3　

　　在一阶常微分方程解法：常数变易法文章中，我们讨论了方程

\begin{matrix} (18) & \frac{d y}{d x} = P (x) y + Q (x), \end{matrix}

其中

P

和

Q

都是所考虑区间上的连续函数。

　　现在，我们尝试用积分因子法解这个方程。

　　首先把方程改写为

\begin{matrix} (19) & (P (x) y + Q (x)) d x - d y = 0 . \end{matrix}

　　而

\begin{matrix} (20) & \frac{\frac{\partial (P (x) y + Q (x))}{\partial y} + \frac{\partial 1}{\partial x}}{- 1} = - P (x), \end{matrix}

　　因此式 19 有积分因子 $f (x) = e^{- \int P (x) d x}$ 。

　　将式 19 改写为

\begin{matrix} (21) & e^{- \int P (x) d x} (P (x) y + Q (x)) d x - e^{- \int P (x) d x} d y = 0 . \end{matrix}

　　对式 21 左边两项求积分，比较后得

\begin{matrix} (22) & u (x, y) = - y e^{- \int P (x) d x} + \int e^{- \int P (x) d x} Q (x) d x, \end{matrix}

　　故通解为

\begin{matrix} (23) & - y e^{- \int P (x) d x} + \int e^{- \int P (x) d x} Q (x) d x = C . \end{matrix}

　　这和一阶常微分方程解法：常数变易法文章中式 6 的结论是一样的。

1. ^ 接下来的计算中我们没有加入正负号、积分常数和自然对数的绝对值符号，这是因为只要找出一个积分因子就够了，不必兼顾全面性。

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