一阶常微分方程解法:恰当方程

             

贡献者: JierPeter

预备知识 常微分方程简介

1. 恰当方程的概念

   考虑一个二元函数 $u(x, y)$,其全导数为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} =\frac{\partial u}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} +\frac{\partial u}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}

   由多元微积分知识可知,$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial x}$.因此,如果一个形如

\begin{equation} M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}
的常微分方程满足
\begin{equation} \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \end{equation}
那么就可以存在一个 $u(x, y)$,使得 $M=\partial u/\partial x$ 和 $N=\partial u/\partial y$.

   这样一来,式 2 就相当于

\begin{equation} \,\mathrm{d}{u} =0 \end{equation}
其解就是 $u=C$,$C$ 为积分常数.

   也就是说,对于这样的方程,我们只需要求出 $u$ 就能求解.

定义 1 恰当方程

   将形如式 2 且满足式 3 的方程,称为恰当方程(exact equation)

   我们研究一个例子,看看恰当方程是怎么解的.

例 1 

   考虑方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{y}{3y^2-x}$.

   移项后得到 $y \,\mathrm{d}{x} +(x-3y^2) \,\mathrm{d}{y} =0$.

   记 $M=y$,$N=x-3y^2$,则容易验证 $\partial M/\partial y= 1 =\partial N/\partial x$,因此这是一个恰当方程.

   我们希望找出一个 $u$,使得 $\partial u/\partial x=M$ 且 $\partial u/\partial y=N$.

   先用 $M$ 关于 $ \,\mathrm{d}{x} $ 积分,因为这样积分出来的结果再对 $x$ 求偏微分就能得到 $M$:

\begin{equation} u=\int M \,\mathrm{d}{x} =\int y \,\mathrm{d}{x} =xy+C_1(y) \end{equation}
其中 $C_1(y)$ 是一个关于 $x$ 的常数——它完全可以是一个关于 $y$ 的非常数函数,在对 $x$ 求偏微分的时候不影响结果.

   再用 $N$ 关于 $ \,\mathrm{d}{y} $ 积分,得到

\begin{equation} u=\int N \,\mathrm{d}{y} =\int (x-3y^2) \,\mathrm{d}{y} =xy-y^3+C_2(x) \end{equation}
同样,$C_2(x)$ 是一个关于 $y$ 的常数,它最多只和自变量 $x$ 有关.

   比较式 5 式 6 ,可见 $C_1(y)=C_2(x)-y^3$,因此 $C_2(x)$ 必须是一个和 $x$ 也无关的常数,记为 $C$,进而有 $C_1(y)=C-y^3$.

   代回式 5 式 6 ,得

\begin{equation} u=xy-y^3+C \end{equation}

   于是方程的解就是 $xy-y^3=K$,其中 $K$ 为积分常数.

   当 $K\not=0$ 时,还可以写成 $x-y^2=K$.

2. 积分因子

   如果给定的方程是恰当的,那按照例 1 的步骤就能很容易解出来.然而我们实际上遇到的方程往往乍一看不是恰当方程.不过,很多时候我们可以将一个非恰当方程转化为恰当方程,最常用的就是积分因子法.

   将方程化为恰当方程的过程,在有些材料里也被称为凑微分法

定义 2 积分因子

   对于非恰当常微分方程 $M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$,如果存在一个函数 $f(x, y)$,使得

\begin{equation} f(x, y)M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +f(x, y)N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}
是一个恰当方程,那么称 $f(x, y)$ 是原方程的一个积分因子(integration factor)

   既然式 8 是一个恰当方程,那就有

\begin{equation} \frac{\partial (fM)}{\partial y}=\frac{\partial (fN)}{\partial x} \end{equation}
展开后有
\begin{equation} f \left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right) =N\frac{\partial f}{\partial x}-M\frac{\partial f}{\partial y} \end{equation}

   式 10 是一个关于未知函数 $f$ 的偏微分方程.虽然如果求出 $f$,我们就能得到一个恰当方程,快速解出原方程,但一般情况下 $f$ 的求解比原方程还难.

   不过,在一些特殊情况下,我们确实是可以更容易地求出积分因子的.

   最常见的一种情况,是限定 $f$ 是一个一元函数,从而将式 10 变成常微分方程.

一元积分因子

   设 $M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 不是恰当方程,而 $f(x)$ 是它的一个积分因子.由于 $\partial f/\partial y=0$,式 10 就化为

\begin{equation} \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{N}{f}\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}
其中左边是已知函数.这是一个变量可分离方程,移项后可得
\begin{equation} \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{f} \,\mathrm{d}{f} \end{equation}

   故

\begin{equation} f=\pm \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} \right) \end{equation}

   观察式 13 式可知,$M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 有一个自变量只有 $x$ 的积分因子 $f(x)$ 的充要条件是,$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}$ 是一个和 $y$ 无关的函数.

   类似地,$M(x, y) \,\mathrm{d}{x} +N(x, y) \,\mathrm{d}{y} =0$ 有一个自变量只有 $y$ 的积分因子 $f(y)$ 的充要条件是,$\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}$ 是一个和 $x$ 无关的函数.

例 2 

   考虑方程 $xy^2 \,\mathrm{d}{x} +xy \,\mathrm{d}{y} =0$.令 $M=xy^2$,$N=xy$,可知 $\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=2xy-y\not=0$,故它是非恰当的.

   但是,$\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{2xy-y}{xy}=2-\frac{1}{x}$ 只有 $x$ 一个自变量,因此我们可以求积分因子 $f(x)$1

\begin{equation} \begin{aligned} f&= \exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \,\mathrm{d}{x} \right) \\ &= \exp\left(\int(2-\frac{1}{x}) \,\mathrm{d}{x} \right) \\ &= \exp\left(2x-\ln x\right) \\ &=\frac{ \mathrm{e} ^{2x}}{x} \end{aligned} \end{equation}

   把 $f$ 乘到原方程里,得到

\begin{equation} y^2 \mathrm{e} ^{2x} \,\mathrm{d}{x} +y \mathrm{e} ^{2x} \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   式 15 就是一个恰当方程.仿照例 1 的方法,求出

\begin{equation} u=\frac{1}{2}y^2 \mathrm{e} ^{2x} \end{equation}

   因此,原方程的解就是

\begin{equation} \frac{1}{2}y^2 \mathrm{e} ^{2x}=C \end{equation}

例 3 

   在一阶常微分方程解法:常数变易法词条中,我们讨论了方程

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x) \end{equation}
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数.

   现在,我们尝试用积分因子法解这个方程.

   首先把方程改写为

\begin{equation} (P(x)y+Q(x)) \,\mathrm{d}{x} - \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   而

\begin{equation} \frac{\frac{\partial (P(x)y+Q(x))}{\partial y}+\frac{\partial 1}{\partial y}}{-1}=-P(x) \end{equation}

   因此式 19 有积分因子 $f(x)= \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } $.

   将式 19 改写为

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }(P(x)y+Q(x)) \,\mathrm{d}{x} - \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } \,\mathrm{d}{y} =0 \end{equation}

   对式 21 左边两项求积分,比较后得

\begin{equation} u(x, y)=-y \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+\int \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }Q(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   故通解为

\begin{equation} -y \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+\int \mathrm{e} ^{-\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }Q(x) \,\mathrm{d}{x} =C \end{equation}

   这和一阶常微分方程解法:常数变易法词条中式 6 的结论是一样的.


1. ^ 接下来的计算中我们没有加入正负号、积分常数和自然对数的绝对值符号,这是因为只要找出一个积分因子就够了,不必兼顾全面性.


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