一阶常微分方程解法:恰当方程

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 常微分方程简介

1. 恰当方程的概念

   考虑一个二元函数 u(x,y),其全导数为

(1)du=uxdx+uydy .

   由多元微积分知识可知,2uxy=2uyx。因此,如果一个形如

(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 
的常微分方程满足
(3)My=Nx .
那么就可以存在一个 u(x,y),使得 M=u/xN=u/y

   这样一来,式 2 就相当于

(4)du=0 .
其解就是 u=CC 为积分常数。

   也就是说,对于这样的方程,我们只需要求出 u 就能求解。

定义 1 恰当方程

   将形如式 2 且满足式 3 的方程,称为恰当方程(exact equation)

   我们研究一个例子,看看恰当方程是怎么解的。

例 1 

   考虑方程 dydx=y3y2x

   移项后得到 ydx+(x3y2)dy=0

   记 M=yN=x3y2,则容易验证 M/y=1=N/x,因此这是一个恰当方程。

   我们希望找出一个 u,使得 u/x=Mu/y=N

   先用 M 关于 dx 积分,因为这样积分出来的结果再对 x 求偏微分就能得到 M

(5)u=Mdx=ydx=xy+C1(y) ,
其中 C1(y) 是一个关于 x 的常数——它完全可以是一个关于 y 的非常数函数,在对 x 求偏微分的时候不影响结果。

   再用 N 关于 dy 积分,得到

(6)u=Ndy=(x3y2)dy=xyy3+C2(x) .
同样,C2(x) 是一个关于 y 的常数,它最多只和自变量 x 有关。

   比较式 5 式 6 ,可见 C1(y)=C2(x)y3,因此 C2(x) 必须是一个和 x 也无关的常数,记为 C,进而有 C1(y)=Cy3

   代回式 5 式 6 ,得

(7)u=xyy3+C .

   于是方程的解就是 xyy3=K,其中 K 为积分常数。

   当 K0 时,还可以写成 xy2=K

2. 积分因子

   如果给定的方程是恰当的,那按照例 1 的步骤就能很容易解出来。然而我们实际上遇到的方程往往乍一看不是恰当方程。不过,很多时候我们可以将一个非恰当方程转化为恰当方程,最常用的就是积分因子法。

   将方程化为恰当方程的过程,在有些材料里也被称为凑微分法

定义 2 积分因子

   对于非恰当常微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,如果存在一个函数 f(x,y),使得

(8)f(x,y)M(x,y)dx+f(x,y)N(x,y)dy=0 
是一个恰当方程,那么称 f(x,y) 是原方程的一个积分因子(integration factor)

   既然式 8 是一个恰当方程,那就有

(9)(fM)y=(fN)x ,
展开后有
(10)f(MyNx)=NfxMfy .

   式 10 是一个关于未知函数 f偏微分方程。虽然如果求出 f,我们就能得到一个恰当方程,快速解出原方程,但一般情况下 f 的求解比原方程还难。

   不过,在一些特殊情况下,我们确实是可以更容易地求出积分因子的。

   最常见的一种情况,是限定 f 是一个一元函数,从而将式 10 变成常微分方程。

一元积分因子

   设 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 不是恰当方程,而 f(x) 是它的一个积分因子。由于 f/y=0式 10 就化为

(11)MyNx=Nfdfdx ,
其中左边是已知函数。这是一个变量可分离方程,移项后可得
(12)MyNxNdx=1fdf .

   故

(13)f=±exp(MyNxNdx) .

   观察式 13 式可知,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有一个自变量只有 x 的积分因子 f(x) 的充要条件是,MyNxN 是一个和 y 无关的函数。

   类似地,M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 有一个自变量只有 y 的积分因子 f(y) 的充要条件是,NxMyM 是一个和 x 无关的函数。

例 2 

   考虑方程 xy2dx+xydy=0。令 M=xy2N=xy,可知 MyNx=2xyy0,故它是非恰当的。

   但是,MyNxN=2xyyxy=21x 只有 x 一个自变量,因此我们可以求积分因子 f(x)1

(14)f=exp(MyNxNdx)=exp((21x)dx)=exp(2xlnx)=e2xx .

   把 f 乘到原方程里,得到

(15)y2e2xdx+ye2xdy=0 .

   式 15 就是一个恰当方程。仿照例 1 的方法,求出

(16)u=12y2e2x .

   因此,原方程的解就是

(17)12y2e2x=C .

例 3 

   在一阶常微分方程解法:常数变易法文章中,我们讨论了方程

(18)dydx=P(x)y+Q(x) ,
其中 PQ 都是所考虑区间上的连续函数。

   现在,我们尝试用积分因子法解这个方程。

   首先把方程改写为

(19)(P(x)y+Q(x))dxdy=0 .

   而

(20)(P(x)y+Q(x))y+1x1=P(x) ,

   因此式 19 有积分因子 f(x)=eP(x)dx

   将式 19 改写为

(21)eP(x)dx(P(x)y+Q(x))dxeP(x)dxdy=0 .

   对式 21 左边两项求积分,比较后得

(22)u(x,y)=yeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)dx ,

   故通解为

(23)yeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)dx=C .

   这和一阶常微分方程解法:常数变易法文章中式 6 的结论是一样的。


1. ^ 接下来的计算中我们没有加入正负号、积分常数和自然对数的绝对值符号,这是因为只要找出一个积分因子就够了,不必兼顾全面性。


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