贡献者: JierPeter
1. 恰当方程的概念
考虑一个二元函数 ,其全导数为
由多元微积分知识可知,。因此,如果一个形如
的常微分方程满足
那么就可以存在一个 ,使得 和 。
这样一来,式 2 就相当于
其解就是 , 为积分常数。
也就是说,对于这样的方程,我们只需要求出 就能求解。
定义 1 恰当方程
将形如式 2 且满足式 3 的方程,称为恰当方程(exact equation)。
我们研究一个例子,看看恰当方程是怎么解的。
例 1
考虑方程 。
移项后得到 。
记 ,,则容易验证 ,因此这是一个恰当方程。
我们希望找出一个 ,使得 且 。
先用 关于 积分,因为这样积分出来的结果再对 求偏微分就能得到 :
其中 是一个关于 的常数——它完全可以是一个关于 的非常数函数,在对 求偏微分的时候不影响结果。
再用 关于 积分,得到
同样, 是一个关于 的常数,它最多只和自变量 有关。
比较式 5 和式 6 ,可见 ,因此 必须是一个和 也无关的常数,记为 ,进而有 。
代回式 5 或式 6 ,得
于是方程的解就是 ,其中 为积分常数。
当 时,还可以写成 。
2. 积分因子
如果给定的方程是恰当的,那按照例 1 的步骤就能很容易解出来。然而我们实际上遇到的方程往往乍一看不是恰当方程。不过,很多时候我们可以将一个非恰当方程转化为恰当方程,最常用的就是积分因子法。
将方程化为恰当方程的过程,在有些材料里也被称为凑微分法。
定义 2 积分因子
对于非恰当常微分方程 ,如果存在一个函数 ,使得
是一个恰当方程,那么称 是原方程的一个
积分因子(integration factor)。
既然式 8 是一个恰当方程,那就有
展开后有
式 10 是一个关于未知函数 的偏微分方程。虽然如果求出 ,我们就能得到一个恰当方程,快速解出原方程,但一般情况下 的求解比原方程还难。
不过,在一些特殊情况下,我们确实是可以更容易地求出积分因子的。
最常见的一种情况,是限定 是一个一元函数,从而将式 10 变成常微分方程。
一元积分因子
设 不是恰当方程,而 是它的一个积分因子。由于 ,式 10 就化为
其中左边是已知函数。这是一个变量可分离方程,移项后可得
故
观察式 13 式可知, 有一个自变量只有 的积分因子 的充要条件是, 是一个和 无关的函数。
类似地, 有一个自变量只有 的积分因子 的充要条件是, 是一个和 无关的函数。
例 2
考虑方程 。令 ,,可知 ,故它是非恰当的。
但是, 只有 一个自变量,因此我们可以求积分因子 1:
把 乘到原方程里,得到
式 15 就是一个恰当方程。仿照例 1 的方法,求出
因此,原方程的解就是
例 3
在一阶常微分方程解法:常数变易法文章中,我们讨论了方程
其中 和 都是所考虑区间上的连续函数。
现在,我们尝试用积分因子法解这个方程。
首先把方程改写为
而
因此式 19 有积分因子 。
将式 19 改写为
对式 21 左边两项求积分,比较后得
故通解为
这和一阶常微分方程解法:常数变易法文章中式 6 的结论是一样的。
1. ^ 接下来的计算中我们没有加入正负号、积分常数和自然对数的绝对值符号,这是因为只要找出一个积分因子就够了,不必兼顾全面性。
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