一阶常微分方程解法:常数变易法

             

贡献者: JierPeter

预备知识 一阶常微分方程解法:变量可分离方程

   观察以下方程:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x) \end{equation}
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数.

   这样的方程被称作 “一阶线性方程”,其中如果 $Q(x)=0$,则还可以称之为 “齐次” 的方程,否则便是 “非齐次” 的.

   容易看出,一阶齐次线性方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 就是变量可分离方程,我们已经在预备知识一阶常微分方程解法:变量可分离方程中详细讨论过了.

习题 1 

   证明:$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 的通解是 $y=C \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$.

   习题 1 给出了齐次方程的解,其中含一个待定常数 $C$.非齐次方程是齐次方程的拓展,可以用常数变易法来解.

   常数变易法就是将齐次方程解中的 $C$ 拓展为一个待定函数 $C(x)$,再代回非齐次方程,看看能不能解出这个 $C(x)$;如果能,那么非齐次方程也就得解了.

常数变易法的推导

   考虑方程式 1 .根据齐次方程的解习题 1 ,假设式 1 的解是 $y=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$.

   则

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+C(x)P(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } \end{aligned} \end{equation}

   比较式 1 式 1 ,发现

\begin{equation} Q(x)=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}
或改写为
\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{C} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \end{equation}

   这是一个变量可分离方程.移项、积分后,得到其通解

\begin{equation} C(x)=\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \end{equation}
其中 $K$ 为积分常数.

   因此,式 1 的解就是

\begin{equation} \begin{aligned} y&=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\ &= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} } \end{aligned} \end{equation}

例 1 

   考虑方程

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=2xy+x \end{equation}
式 1 比较可得,$P(x)=2x$,$Q(x)=x$.

   因此,根据式 6 ,该方程的通解为

\begin{equation} \begin{aligned} y&= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\ &= \left(\int\frac{x}{ \mathrm{e} ^{x^2}} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\ &= \left(-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}+K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\ &=K \mathrm{e} ^{x^2}-\frac{1}{2} \end{aligned} \end{equation}

伯努利微分方程

   形如

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)y^n \end{equation}
的方程,称为伯努利微分方程(Bernoulli differential equation).它可以通过变量代换,化为一阶线性微分方程.


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