一阶常微分方程解法：常数变易法

贡献者： JierPeter

预备知识　一阶常微分方程解法：变量可分离方程

　　观察以下方程：

\begin{matrix} (1) & \frac{d y}{d x} = P (x) y + Q (x), \end{matrix}

其中

P

和

Q

都是所考虑区间上的连续函数。

　　这样的方程被称作 “一阶线性方程”，其中如果 $Q (x) = 0$ ，则还可以称之为 “齐次” 的方程，否则便是 “非齐次” 的。

　　容易看出，一阶齐次线性方程 $\frac{d y}{d x} = P (x) y$ 就是变量可分离方程，我们已经在预备知识一阶常微分方程解法：变量可分离方程中详细讨论过了。

习题 1　

　　证明： $\frac{d y}{d x} = P (x) y$ 的通解是 $y = C e^{\int P (x) d x}$ 。

　　习题 1 给出了齐次方程的解，其中含一个待定常数 $C$ 。非齐次方程是齐次方程的拓展，可以用常数变易法来解。

　　 常数变易法就是将齐次方程解中的 $C$ 拓展为一个待定函数 $C (x)$ ，再代回非齐次方程，看看能不能解出这个 $C (x)$ ；如果能，那么非齐次方程也就得解了。

常数变易法的推导

　　考虑方程式 1 。根据齐次方程的解习题 1 ，假设式 1 的解是 $y = C (x) e^{\int P (x) d x}$ 。

　　则

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} \frac{d y}{d x} = C^{'} (x) e^{\int P (x) d x} + C (x) P (x) e^{\int P (x) d x} . \end{array} \end{matrix}

　　比较式 1 和式 1 ，发现

\begin{matrix} (3) & Q (x) = C^{'} (x) e^{\int P (x) d x}, \end{matrix}

或改写为

\begin{matrix} (4) & \frac{d C}{d x} = \frac{Q (x)}{e^{\int P (x) d x}}, \end{matrix}

　　这是一个变量可分离方程。移项、积分后，得到其通解

\begin{matrix} (5) & C (x) = \int \frac{Q (x)}{e^{\int P (x) d x}} d x + K, \end{matrix}

其中

K

为积分常数。

　　因此，式 1 的解就是

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} y & = C (x) e^{\int P (x) d x} \\ = (\int \frac{Q (x)}{e^{\int P (x) d x}} d x + K) e^{\int P (x) d x} . \end{aligned} \end{matrix}

例 1　

　　考虑方程

\begin{matrix} (7) & \frac{d y}{d x} = 2 x y + x \end{matrix}

和式 1 比较可得，

P (x) = 2 x

，

Q (x) = x

。

　　因此，根据式 6 ，该方程的通解为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} y & = (\int \frac{Q (x)}{e^{\int P (x) d x}} d x + K) e^{\int P (x) d x} \\ = (\int \frac{x}{e^{x^{2}}} d x + K) e^{x^{2}} \\ = (- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + K) e^{x^{2}} \\ = K e^{x^{2}} - \frac{1}{2} . \end{aligned} \end{matrix}

伯努利微分方程

　　形如

\begin{matrix} (9) & \frac{d y}{d x} = P (x) y + Q (x) y^{n} \end{matrix}

的方程，称为伯努利微分方程（Bernoulli differential equation）。它可以通过变量代换，化为一阶线性微分方程。

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