贡献者： JierPeter
观察以下方程：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)~,
\end{equation}
其中 $P$ 和 $Q$ 都是所考虑区间上的连续函数。
这样的方程被称作 “一阶线性方程”，其中如果 $Q(x)=0$，则还可以称之为 “齐次” 的方程，否则便是 “非齐次” 的。
容易看出，一阶齐次线性方程 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 就是变量可分离方程，我们已经在预备知识一阶常微分方程解法：变量可分离方程中详细讨论过了。
习题 1
证明：$\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y$ 的通解是 $y=C \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$。
习题 1 给出了齐次方程的解，其中含一个待定常数 $C$。非齐次方程是齐次方程的拓展，可以用常数变易法来解。
常数变易法就是将齐次方程解中的 $C$ 拓展为一个待定函数 $C(x)$，再代回非齐次方程，看看能不能解出这个 $C(x)$；如果能，那么非齐次方程也就得解了。
常数变易法的推导
考虑方程式 1 。根据齐次方程的解习题 1 ，假设式 1 的解是 $y=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }$。
则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }+C(x)P(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
比较式 1 和式 1 ，发现
\begin{equation}
Q(x)=C'(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~,
\end{equation}
或改写为
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{C} }{ \,\mathrm{d}{x} }=\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }}~,
\end{equation}
这是一个变量可分离方程。移项、积分后，得到其通解
\begin{equation}
C(x)=\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K~,
\end{equation}
其中 $K$ 为积分常数。
因此，式 1 的解就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
y&=C(x) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\
&= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 1
考虑方程
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=2xy+x~
\end{equation}
和
式 1 比较可得，$P(x)=2x$，$Q(x)=x$。
因此，根据式 6 ，该方程的通解为
\begin{equation}
\begin{aligned}
y&= \left(\int\frac{Q(x)}{ \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{\int P(x) \,\mathrm{d}{x} }\\
&= \left(\int\frac{x}{ \mathrm{e} ^{x^2}} \,\mathrm{d}{x} +K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\
&= \left(-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}+K \right) \mathrm{e} ^{x^2}\\
&=K \mathrm{e} ^{x^2}-\frac{1}{2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
伯努利微分方程
形如
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=P(x)y+Q(x)y^n~
\end{equation}
的方程，称为
伯努利微分方程（Bernoulli differential equation）。它可以通过变量代换，化为一阶线性微分方程。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。