一阶常微分方程解法:常数变易法
贡献者: JierPeter
观察以下方程:
其中 和 都是所考虑区间上的连续函数。
这样的方程被称作 “一阶线性方程”,其中如果 ,则还可以称之为 “齐次” 的方程,否则便是 “非齐次” 的。
容易看出,一阶齐次线性方程 就是变量可分离方程,我们已经在预备知识一阶常微分方程解法:变量可分离方程中详细讨论过了。
习题 1 给出了齐次方程的解,其中含一个待定常数 。非齐次方程是齐次方程的拓展,可以用常数变易法来解。
常数变易法就是将齐次方程解中的 拓展为一个待定函数 ,再代回非齐次方程,看看能不能解出这个 ;如果能,那么非齐次方程也就得解了。
常数变易法的推导
考虑方程式 1 。根据齐次方程的解习题 1 ,假设式 1 的解是 。
则
比较式 1 和式 1 ,发现
或改写为
这是一个变量可分离方程。移项、积分后,得到其通解
其中 为积分常数。
因此,式 1 的解就是
例 1
考虑方程
和
式 1 比较可得,,。
因此,根据式 6 ,该方程的通解为
伯努利微分方程
形如
的方程,称为
伯努利微分方程(Bernoulli differential equation)。它可以通过变量代换,化为一阶线性微分方程。
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