一阶常微分方程解法:常数变易法

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 一阶常微分方程解法:变量可分离方程

   观察以下方程:

(1)dydx=P(x)y+Q(x) ,
其中 PQ 都是所考虑区间上的连续函数。

   这样的方程被称作 “一阶线性方程”,其中如果 Q(x)=0,则还可以称之为 “齐次” 的方程,否则便是 “非齐次” 的。

   容易看出,一阶齐次线性方程 dydx=P(x)y 就是变量可分离方程,我们已经在预备知识一阶常微分方程解法:变量可分离方程中详细讨论过了。

习题 1 

   证明:dydx=P(x)y 的通解是 y=CeP(x)dx

   习题 1 给出了齐次方程的解,其中含一个待定常数 C。非齐次方程是齐次方程的拓展,可以用常数变易法来解。

   常数变易法就是将齐次方程解中的 C 拓展为一个待定函数 C(x),再代回非齐次方程,看看能不能解出这个 C(x);如果能,那么非齐次方程也就得解了。

常数变易法的推导

   考虑方程式 1 。根据齐次方程的解习题 1 ,假设式 1 的解是 y=C(x)eP(x)dx

   则

(2)dydx=C(x)eP(x)dx+C(x)P(x)eP(x)dx .

   比较式 1 式 1 ,发现

(3)Q(x)=C(x)eP(x)dx ,
或改写为
(4)dCdx=Q(x)eP(x)dx ,

   这是一个变量可分离方程。移项、积分后,得到其通解

(5)C(x)=Q(x)eP(x)dxdx+K ,
其中 K 为积分常数。

   因此,式 1 的解就是

(6)y=C(x)eP(x)dx=(Q(x)eP(x)dxdx+K)eP(x)dx .

例 1 

   考虑方程

(7)dydx=2xy+x 
式 1 比较可得,P(x)=2xQ(x)=x

   因此,根据式 6 ,该方程的通解为

(8)y=(Q(x)eP(x)dxdx+K)eP(x)dx=(xex2dx+K)ex2=(12ex2+K)ex2=Kex212 .

伯努利微分方程

   形如

(9)dydx=P(x)y+Q(x)yn 
的方程,称为伯努利微分方程(Bernoulli differential equation)。它可以通过变量代换,化为一阶线性微分方程。


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