线性微分方程的一般理论

贡献者： JierPeter

　　 任取 $x_0\in[a, b]$，如果已知该点处 $y, \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) , \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) , \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) $ 的 $n$ 个值，那么我们可以唯一确定式 1 满足这些初值的特解。这一解的存在与唯一性定理将在线性方程组相关章节讨论。

1. 齐次线性微分方程的解的性质与结构

　　 区间 $[a, b]$ 上的齐次线性方程形如

　　 证明很简单，利用求导的线性性即可。

　　 线性叠加原理，就是解进行 “数乘” 和 “加法” 后仍为解，意味着式 2 的全体解构成了一个线性空间，称为解空间。如果我们能找到这个线性空间的一组基，也就相当于了解了整个线性空间。这样的基向量，被称为基解，一切解都可以表示为它们的线性组合。基解构成的集合，被称为基本解组。

　　 定理 2 证明思路提示：我们已经知道，式 2 的每个解由 $n$ 个初值唯一确定。在初值点 $x_0$，给定初值条件 $y(x_0), \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) (x_0), \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) (x_0), \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)$，如果 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 满足全部 $n$ 个初值条件，那么

　　 如何判断一组 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 在给定区间 $[a, b]$ 上的线性相关性呢？我们需要借助以下朗斯基行列式。

　　 朗斯基行列式，本质上就是式 3 的系数矩阵行列式。式 3 解的存在性和 $\{y_i\}$ 的线性相关性紧密相连，因此我们有以下定理：

　　 注意，定理 3 的逆定理（W 恒为 $0$ 则 $\{f_i\}$ 线性相关）不成立。我们试举一例反例来说明：

　　 定理 4 的证明思路提示：反设存在某 $x_0\in[a, b]$，使得上述朗斯基行列式为 $0$，那么在 $x_0$ 处的初值条件无法总是给出式 3 的解，这与解的存在性矛盾。

2. 非齐次线性微分方程

　　 容易验证，非齐次方程式 1 的解 ${\phi}_1(x), \phi_2(x)$ 和齐次方程式 2 的解 $\overline{\phi}(x)$ 有如下关系：

• $\phi_1(x)+\overline{\phi}(x)$ 是非齐次方程式 1 的解；
• $\phi_1(x)-\phi_2(x)$ 是齐次方程式 2 的解。

　　 因此，我们容易得到以下定理

　　 知道了式 2 的基本解组以后，我们可以用常数变易法来解出式 1 .

　　 假设 $\phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)$ 为式 2 的一组基解，那么式 2 的任意一个解都可以表示为 $c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)$ 的形式。现在我们把各常数 $c_i$ 写成待定函数 $c_i(x)$，使得

　　 例 2 中关键的简化步骤是规定了 $c'_1(x)\cos x+c'_2(x)\sin x=0$。事实上，同一个思路在用常数变易法解非齐次方程时很常用，因为它能避免出现 $c_i(x)$ 的高阶导函数。

1. ^ 式 3 是关于未知量 $c_i$ 的代数方程组。如果 $\{y_i\}$ 线性相关，那么至少有一个 $y_i$ 可以表示为其它几个 $y_i$ 的线性组合，而 $y'_i, y''_i$ 等也可以表示为相同的线性组合，这就使得式 3 各方程中至少有一个能被其它方程表示出来，从而不独立。由于初值条件的任意性，这就会导致多数初值条件下式 3 无法解出 $\{c_i\}$。反过来，$\{y_i\}$ 线性无关，那么式 3 各方程就彼此独立。