线性微分方程的一般理论

             

贡献者: JierPeter

预备知识 一阶常微分方程解法:常数变易法

定义 1 

   设各 $a_i(x)$ 和 $f(t)$ 都是区间 $[a, b]$ 上的连续函数,则称

\begin{equation} \left(\frac{\mathrm{d}^n y}{ \,\mathrm{d}{x} ^n} \right) +a_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) +a_2 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-2}} \right) +\cdots+a_ny=f(x) \end{equation}
为区间 $[a, b]$ 上的线性微分方程(linear differential equation)

   当 $f(x)=0$ 时,称式 1 齐次的(homogeneous),否则称为非齐次的(inhomogeneous)

   任取 $x_0\in[a, b]$,如果已知该点处 $y, \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) , \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) , \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) $ 的 $n$ 个值,那么我们可以唯一确定式 1 满足这些初值的特解.这一解的存在与唯一性定理将在线性方程组相关章节讨论.

  

未完成:引用相关的存在与唯一性定理.

1. 齐次线性微分方程的解的性质与结构

   区间 $[a, b]$ 上的齐次线性方程形如

\begin{equation} \left(\frac{\mathrm{d}^n y}{ \,\mathrm{d}{x} ^n} \right) +a_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) +a_2 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-2}} \right) +\cdots+a_ny=0 \end{equation}

定理 1 解的线性叠加原理

   如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_k(x)$ 是式 2 的 $k$ 个解,而 $c_1, c_2, \cdots, c_k$ 是 $k$ 个常数,那么 $c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+\cdots+c_ky_k(x)$ 也是一个解.

   证明很简单,利用求导的线性性即可.

   线性叠加原理,就是解进行 “数乘” 和 “加法” 后仍为解,意味着式 2 的全体解构成了一个线性空间,称为解空间.如果我们能找到这个线性空间的一组基,也就相当于了解了整个线性空间.这样的基向量,被称为基解,一切解都可以表示为它们的线性组合.基解构成的集合,被称为基本解组

定义 2 线性相关性

   对于区间 $[a, b]$ 上的函数 $y_i(x)$,如果存在一组不全为零的常数 $c_i$,使得 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ky_k(x)=0$,那么称 $y_1, \cdots, y_k$ 是线性相关的,否则是线性无关的.

定理 2 

   如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是式 2 的 $n$ 个线性无关的解,那么它们构成了一组基解.

   定理 2 证明思路提示:我们已经知道,式 2 的每个解由 $n$ 个初值唯一确定.在初值点 $x_0$,给定初值条件 $y(x_0), \left(\frac{\mathrm{d} y}{ \,\mathrm{d}{x} } \right) (x_0), \left(\frac{\mathrm{d}^{2} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{2}} \right) (x_0), \cdots, \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)$,如果 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$ 满足全部 $n$ 个初值条件,那么

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &c_1y_1(x_0)+\cdots+c_ny_n(x_0)=y(x_0)\\ &c_1y_1'(x_0)+\cdots+c_ny_n'(x_0)=y'(x_0)\\ &\phantom{123456789012345678}\vdots\\ &c_1 \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y_1}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)+\cdots+c_n \left(\frac{\mathrm{d}^{n-1} y_n}{ \,\mathrm{d}{x} ^{n-1}} \right) (x_0)=y(x_0) \end{aligned}\right. \end{equation}
而由于 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 在给定区间上是线性无关的,式 3 的各方程也就彼此独立1 ,因此能够解出唯一的常数组 $\{c_i\}$.“能够解出” 意味着 “能够把满足初值条件的解表示成 $c_1y_1(x)+\cdots+c_ny_n(x)$”.

   如何判断一组 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 在给定区间 $[a, b]$ 上的线性相关性呢?我们需要借助以下朗斯基行列式

定义 3 朗斯基行列式

   对于区间 $[a, b]$ 上存在 $k-1$ 次导函数的 $k$ 个函数 $f_1, f_2, \cdots, f_k$,定义在 $[a, b]$ 上的函数 $W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)$ 为如下行列式:

\begin{equation} W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)= \begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_k\\f'_1&f'_2&\cdots&f'_k\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_1^{(k-1)}&f_2^{(k-1)}&\cdots&f_k^{(k-1)}\end{vmatrix} \qquad \end{equation}

   朗斯基行列式,本质上就是式 3 的系数矩阵行列式.式 3 解的存在性和 $\{y_i\}$ 的线性相关性紧密相连,因此我们有以下定理:

定理 3 

   对于 $[a, b]$ 上的函数 $f_i(x)$,如果它们在给定区间上线性相关,那么 $W[f_1, f_2, \cdots, f_k](x)$ 在 $[a, b]$ 上恒为 $0$.

   注意,定理 3 的逆定理(W 恒为 $0$ 则 $\{f_i\}$ 线性相关)不成立.我们试举一例反例来说明:

例 1 

   考虑 $\mathbb{R}$ 上的函数:

\begin{equation} f_1(x)= \left\{\begin{aligned} 0, x < 0\\ \mathrm{e} ^{-\frac{1}{x}}, x\geq 0 \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} f_2(x)= \left\{\begin{aligned} \mathrm{e} ^{-\frac{1}{x}}, x < 0\\ 0, x\geq 0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   简单计算可得 $W[f_1, f_2]$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒为 $0$,但 $f_1, f_2$ 在 $\mathbb{R}$ 上线性无关,而且它们还是无穷次可导的函数,是绝佳的反例.

定理 4 

   如果 $y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$ 是式 2 的 $n$ 个解且它们线性无关,那么它们的朗斯基行列式在 $[a, b]$ 上处处不为 $0$.

   定理 4 的证明思路提示:反设存在某 $x_0\in[a, b]$,使得上述朗斯基行列式为 $0$,那么在 $x_0$ 处的初值条件无法总是给出式 3 的解,这与解的存在性矛盾.

2. 非齐次线性微分方程

   容易验证,非齐次方程式 1 的解 ${\phi}_1(x), \phi_2(x)$ 和齐次方程式 2 的解 $\overline{\phi}(x)$ 有如下关系:

   因此,我们容易得到以下定理

定理 5 非齐次方程的解集

   设 $\phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)$ 为式 2 的一组基解,$\varphi(x)$ 为式 1 的一个特解,那么式 1 的通解可以表示为

\begin{equation} c_0\varphi(x)+c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x) \end{equation}

   知道了式 2 的基本解组以后,我们可以用常数变易法来解出式 1 .

   假设 $\phi_1(x), \phi_2(x), \cdots, \phi_n(x)$ 为式 2 的一组基解,那么式 2 的任意一个解都可以表示为 $c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)$ 的形式.现在我们把各常数 $c_i$ 写成待定函数 $c_i(x)$,使得

\begin{equation} c_1(x)\phi_1(x)+c_2(x)\phi_2(x)+\cdots+c_n(x)\phi_n(x) \end{equation}
式 1 的解.

例 2 非齐次线性微分方程的常数变易法

   考虑方程

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 y}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}+y=\tan x \end{equation}
且已知其齐次形式的基本解组为 $\{\cos x, \sin x\}$.

   设式 9 的通解为

\begin{equation} y=c_1(x)\cos x+c_2(x)\sin x \end{equation}
式 10 代入式 9 得到
\begin{equation} c''_1(x)\cos x+c''_2(x)\sin x-c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x=\tan x \end{equation}

   式 11 有两个未知函数,所以没有唯一确定的解.我们可以有多种方法指定第二个约束式子,实践中当然是怎么方便计算怎么来.

   通常,我们令

\begin{equation} c'_1(x)\cos x+c'_2(x)\sin x=0 \end{equation}
这就意味着 $\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{ \,\mathrm{d}{x} }=-c_1(x)\sin x+c_2(x)\cos x$,进而
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2 y}{ \,\mathrm{d}{x} ^2}=-c_1(x)\cos x-c_2(x)\sin x-c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x \end{equation}

   重新将式 13 代回式 9 式 10 得到

\begin{equation} -c'_1(x)\sin x+c'_2(x)\cos x=\tan x \end{equation}

   联立式 12 式 14 ,解得

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} c'_1(x)&=\sin^2x/\cos x\\ c'_2(x)&=\sin x \end{aligned}\right. \end{equation}
解出 $c_1$ 和 $c_2$:
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} c_1(x)&=C_1-\sin x+ \ln\left(\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right) \\ c_2(x)&=C_2-\cos x \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是积分常数.

   代回式 10 ,整理后可得式 9 的通解为

\begin{equation} y=C_1\cos x+C_2\sin x-\sin 2x+\cos x \ln\left(\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right) \end{equation}

   例 2 中关键的简化步骤是规定了 $c'_1(x)\cos x+c'_2(x)\sin x=0$.事实上,同一个思路在用常数变易法解非齐次方程时很常用,因为它能避免出现 $c_i(x)$ 的高阶导函数.


1. ^ 式 3 是关于未知量 $c_i$ 的代数方程组.如果 $\{y_i\}$ 线性相关,那么至少有一个 $y_i$ 可以表示为其它几个 $y_i$ 的线性组合,而 $y'_i, y''_i$ 等也可以表示为相同的线性组合,这就使得式 3 各方程中至少有一个能被其它方程表示出来,从而不独立.由于初值条件的任意性,这就会导致多数初值条件下式 3 无法解出 $\{c_i\}$.反过来,$\{y_i\}$ 线性无关,那么式 3 各方程就彼此独立.


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