拉普拉斯变换的性质

                     

贡献者: FFjet

预备知识 拉普拉斯变换

   前面我们介绍了拉普拉斯变换,那么这个变换到底给我们带来了什么特别的好处呢?我们下面就来看一下它到底具有哪些性质。

1. 线性性质

   若 L[f1(t)]=f¯1(p)L[f2(t)]=f¯2(p),则

(1)L[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1f¯1(p)+c2f¯2(p) ,

   证明起来也十分容易。

(2)L[c1f1(t)+c2f2(t)]=0[c1f1(t)+c2f2(t)]eρtdt=0c1f1(t)eptdt+0c2f2(t)eρtdt=c1f¯1(p)+c2f¯2(p) .

   它能让我们干什么呢?我们可以把未知的函数拆成已知函数的线性组合,相加它们的拉普拉斯变换来得到所要的未知函数的拉普拉斯变换。例如:

例 1 线性性质的应用

   求 L[sinωt]ω 为常数。

   我们知道

(3)sinωt=12i(eiωteiωt) ,
所以有
(4)L[sinωt]=L[12i(eiωteiωt)]=12iL[eiωt]12iL[eiωt]=12i[1piω1p+iω]=ωp2+ω2(Rep>0) .

   同理可得

(5)L[cosωt]=pp2+ω2(Rep>0) .

2. 导数定理

   拉普拉斯变换的导数定理是说:

(6)L[f(t)]=pf¯(p)f(0) ,

   证明同样直接积分就可以了。

(7)L[f(t)]=0f(t)eptdt=0eptdf=[eptf(t)]00f(t)d(ept) .
Rep>σ,有 limteptf(t)=0。于是可得
(8)L[f(t)]=f(0)0f(t)d(eρt)=p0f(t)eptdtf(0)=pf¯(p)f(0)(Rep>σ0) .

   我们还可以推广到高阶导数的情形:

(9)L[f(n)(t)]=pnf(p)pn1f(0)pn2f(0)pf(n2)(0)f(n1)(0) .

   有了导数定理,让我们来想想导数的逆运算——积分!有没有积分定理呢?有!

3. 积分定理

(10)L[0tψ(τ)dτ]=1pL[ψ(t)] ,

   证明其实也一样简单。设 f(t)=0tψ(τ)dτ,对 f(t) 应用导数定理,可知:

(11)[f(t)]=pL[f(t)]f(0)=pL[f(t)] ,
所以也就有
(12)1pL[ψ(t)]=L[f(t)]=L[0tψ(τ)dτ] ,
这也就证明了定理。

4. 相似性定理

(13)L[f(at)]=1af¯(pa) .
证明留作练习。

5. 位移定理

(14)L[eλtf(t)]=f¯(p+λ) .

   这个证明也十分简单,留作练习。

6. 延迟定理

(15)L[f(tt0)]=ept0f¯(p) ,

   用换元积分即可证明。具体来说:

(16)L[f(tt0)]=0f(tt0)eptdt .
我们知道在 t<0 时,默认 f(t) 都是 0。那么我们做积分的时候,时间可以改为从 t0 开始积分。也就是说:
(17)L[f(tt0)]=t0f(tt0)eptdt ,
作换元 ξ=tt0,那么就有
(18)L[f(tt0)]=0f(ξ)ep(ξ+t0)dξ=ept00f(ξ)epξdξ=ept0f¯(p) .

7. 卷积定理

   卷积定理是说,若 L[f1(t)]=f¯1(p),L[f2(t)]=f¯2(p),则

(19)L[f1(t)f2(t)]=f¯1(p)f¯2(p) ,

   下面我们来证明它。这个证明稍复杂一些,毕竟它是二重积分:

(20)L[f1(t)f2(t)]=0f1(t)f2(t)eptdt=0[0tf1(τ)f2(tτ)dτ]eptdt .

图
图 1:积分限

   我们需要交换积分次序,首先我们来看一下积分区域,它就是图 1 中的绿色区域。由此可见,现在改变积分次序,就是说

(21)L[f1(t)f2(t)]=0[τf2(tτ)eptdt]f1(τ)dτ .
作换元,ξ=tτ,那么就有
(22)L[f1(t)f2(t)]=0[0f2(ξ)epξdξ]f1(τ)epτdτ=0f1(τ)epτdτ0f2(ξ)epξdξ=f¯1(p)f¯2(p) .

习题 1 

   求下列函数的拉普拉斯变换。

  1. (23) sh ωt, ch ωt .
  2. (24)eλtsinωt,eλtcosωt .
  3. (25)1πt .
  4. (26)δ(tτ) .

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