拉普拉斯变换的性质

贡献者： FFjet

预备知识　拉普拉斯变换

　　前面我们介绍了拉普拉斯变换，那么这个变换到底给我们带来了什么特别的好处呢？我们下面就来看一下它到底具有哪些性质。

1. 线性性质

　　若 $L [f_{1} (t)] = {\bar{f}}_{1} (p)$ ， $L [f_{2} (t)] = {\bar{f}}_{2} (p)$ ，则

\begin{matrix} (1) & L [c_{1} f_{1} (t) + c_{2} f_{2} (t)] = c_{1} {\bar{f}}_{1} (p) + c_{2} {\bar{f}}_{2} (p), \end{matrix}

　　证明起来也十分容易。

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L [c_{1} f_{1} (t) + c_{2} f_{2} (t)] & = \int_{0}^{\infty} [c_{1} f_{1} (t) + c_{2} f_{2} (t)] e^{- ρ t} d t \\ = \int_{0}^{\infty} c_{1} f_{1} (t) e^{- p t} d t + \int_{0}^{\infty} c_{2} f_{2} (t) e^{- ρ t} d t \\ = c_{1} {\bar{f}}_{1} (p) + c_{2} {\bar{f}}_{2} (p) . \end{aligned} \end{matrix}

　　它能让我们干什么呢？我们可以把未知的函数拆成已知函数的线性组合，相加它们的拉普拉斯变换来得到所要的未知函数的拉普拉斯变换。例如：

例 1　线性性质的应用

　　求 $L [\sin ω t]$ ， $ω$ 为常数。

　　我们知道

\begin{matrix} (3) & \sin ω t = \frac{1}{2 i} (e^{i ω t} - e^{- i ω t}), \end{matrix}

所以有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} L [\sin ω t] & = L [\frac{1}{2 i} (e^{i ω t} - e^{- i ω t})] = \frac{1}{2 i} L [e^{i ω t}] - \frac{1}{2 i} L [e^{- i ω t}] \\ = \frac{1}{2 i} [\frac{1}{p - i ω} - \frac{1}{p + i ω}] \\ = \frac{ω}{p^{2} + ω^{2}} (Re p > 0) \end{aligned} . \end{matrix}

　　同理可得

\begin{matrix} (5) & L [\cos ω t] = \frac{p}{p^{2} + ω^{2}} (Re p > 0) . \end{matrix}

2. 导数定理

　　拉普拉斯变换的导数定理是说：

\begin{matrix} (6) & L [f^{'} (t)] = p \bar{f} (p) - f (0), \end{matrix}

　　证明同样直接积分就可以了。

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} L [f^{'} (t)] & = \int_{0}^{\infty} f^{'} (t) e^{- p t} d t = \int_{0}^{\infty} e^{- p t} d f \\ = {[e^{- p t} f (t)]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} f (t) d (e^{- p t}) \end{aligned} . \end{matrix}

取

Re p > σ

，有

lim_{t \to \infty} e^{- p t} f (t) = 0

。于是可得

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} L [f^{'} (t)] & = - f (0) - \int_{0}^{\infty} f (t) d (e^{- ρ t}) = p \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- p t} d t - f (0) \\ = p \bar{f} (p) - f (0) (Re p > σ_{0}) \end{aligned} . \end{matrix}

　　我们还可以推广到高阶导数的情形：

\begin{matrix} (9) & L [f^{(n)} (t)] = p^{n} f (p) - p^{n - 1} f (0) - p^{n - 2} f^{'} (0) - \dots - p f^{(n - 2)} (0) - f^{(n - 1)} (0) . \end{matrix}

　　有了导数定理，让我们来想想导数的逆运算——积分！有没有积分定理呢？有！

3. 积分定理

\begin{matrix} (10) & L [\int_{0}^{t} ψ (τ) d τ] = \frac{1}{p} L [ψ (t)], \end{matrix}

　　证明其实也一样简单。设 $f (t) = \int_{0}^{t} ψ (τ) d τ$ ，对 $f (t)$ 应用导数定理，可知：

\begin{matrix} (11) & [f^{'} (t)] = p L [f (t)] - f (0) = p L [f (t)], \end{matrix}

所以也就有

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{p} L [ψ (t)] = L [f (t)] = L [\int_{0}^{t} ψ (τ) d τ], \end{matrix}

这也就证明了定理。

4. 相似性定理

\begin{matrix} (13) & L [f (a t)] = \frac{1}{a} \bar{f} (\frac{p}{a}) . \end{matrix}

证明留作练习。

5. 位移定理

\begin{matrix} (14) & L [e^{- λ t} f (t)] = \bar{f} (p + λ) . \end{matrix}

　　这个证明也十分简单，留作练习。

6. 延迟定理

\begin{matrix} (15) & L [f (t - t_{0})] = e^{- p t_{0}} \bar{f} (p), \end{matrix}

　　用换元积分即可证明。具体来说：

\begin{matrix} (16) & L [f (t - t_{0})] = \int_{0}^{\infty} f (t - t_{0}) e^{- p t} d t . \end{matrix}

我们知道在

t < 0

时，默认

f (t)

都是

0

。那么我们做积分的时候，时间可以改为从

t_{0}

开始积分。也就是说：

\begin{matrix} (17) & L [f (t - t_{0})] = \int_{t_{0}}^{\infty} f (t - t_{0}) e^{- p t} d t, \end{matrix}

作换元

ξ = t - t_{0}

，那么就有

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} L [f (t - t_{0})] & = \int_{0}^{\infty} f (ξ) e^{- p (ξ + t_{0})} d ξ = e^{- p t_{0}} \int_{0}^{\infty} f (ξ) e^{- p ξ} d ξ \\ = e^{- p t_{0}} \bar{f} (p) \end{aligned} . \end{matrix}

7. 卷积定理

　　卷积定理是说，若 $L [f_{1} (t)] = {\bar{f}}_{1} (p), L [f_{2} (t)] = {\bar{f}}_{2} (p)$ ，则

\begin{matrix} (19) & L [f_{1} (t) * f_{2} (t)] = {\bar{f}}_{1} (p) {\bar{f}}_{2} (p), \end{matrix}

　　下面我们来证明它。这个证明稍复杂一些，毕竟它是二重积分：

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} L [f_{1} (t) * f_{2} (t)] \\ = & \int_{0}^{\infty} f_{1} (t) * f_{2} (t) e^{- p t} d t \\ = & \int_{0}^{\infty} [\int_{0}^{t} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ] e^{- p t} d t \end{aligned} . \end{matrix}

图 1：积分限

　　我们需要交换积分次序，首先我们来看一下积分区域，它就是图 1 中的绿色区域。由此可见，现在改变积分次序，就是说

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} L [f_{1} (t) * f_{2} (t)] \\ = & \int_{0}^{\infty} [\int_{τ}^{\infty} f_{2} (t - τ) e^{- p t} d t] f_{1} (τ) d τ \end{aligned} . \end{matrix}

作换元，

ξ = t - τ

，那么就有

\begin{matrix} (22) & \begin{aligned} L [f_{1} (t) * f_{2} (t)] & = \int_{0}^{\infty} [\int_{0}^{\infty} f_{2} (ξ) e^{- p ξ} d ξ] f_{1} (τ) e^{- p τ} d τ \\ = \int_{0}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- p τ} d τ \int_{0}^{\infty} f_{2} (ξ) e^{- p ξ} d ξ \\ = {\bar{f}}_{1} (p) {\bar{f}}_{2} (p) \end{aligned} . \end{matrix}

习题 1　

　　求下列函数的拉普拉斯变换。

$\begin{matrix} (23) & sh ω t, ch ω t . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (24) & e^{- λ t} \sin ω t, e^{- λ t} \cos ω t . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (25) & \frac{1}{\sqrt{π t}} . \end{matrix}$
$\begin{matrix} (26) & δ (t - τ) . \end{matrix}$

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拉普拉斯变换的性质

1. 线性性质

例 1 线性性质的应用

2. 导数定理

3. 积分定理

4. 相似性定理

5. 位移定理

6. 延迟定理

7. 卷积定理

习题 1

例 1　线性性质的应用

习题 1　