拉普拉斯变换的性质

                     

贡献者： FFjet

预备知识　拉普拉斯变换

　　 前面我们介绍了拉普拉斯变换，那么这个变换到底给我们带来了什么特别的好处呢？我们下面就来看一下它到底具有哪些性质。

1. 线性性质

　　 若 $\mathscr L[f_1(t)] = \bar f_1(p)$，$\mathscr L[f_2(t)] = \bar f_2(p)$，则

\begin{equation} \mathscr L[c_1f_1(t)+c_2f_2(t)] = c_1\bar f_1(p) + c_2\bar f_2(p)~, \end{equation}

　　 证明起来也十分容易。

\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr L[c_{1} f_{1}(t)+c_{2} f_{2}(t)] & = \int_{0}^{\infty}\left[c_{1} f_{1}(t)+c_{2} f_{2}(t)\right] \mathrm{e}^{-\rho t} \mathrm{d} t \\ &=\int_{0}^{\infty} c_{1} f_{1}(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t+\int_{0}^{\infty} c_{2} f_{2}(t) \mathrm{e}^{-\rho t} \mathrm{d} t \\ &=c_{1} \bar{f}_{1}(p)+c_{2} \bar{f}_{2}(p) ~.\end{aligned} \end{equation}

　　 它能让我们干什么呢？我们可以把未知的函数拆成已知函数的线性组合，相加它们的拉普拉斯变换来得到所要的未知函数的拉普拉斯变换。例如：

例 1　线性性质的应用

　　 求 $\mathscr L[\sin \omega t]$，$\omega$ 为常数。

　　 我们知道

\begin{equation} \sin \omega t=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right)~, \end{equation}
所以有
\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr{L}[\sin \omega t] &=\mathscr{L}\left[\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right)\right]=\frac{1}{2 \mathrm{i}} \mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\right]-\frac{1}{2 \mathrm{i}}\mathscr{L}\left[\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\right] \\ &=\frac{1}{2 \mathrm{i}}\left[\frac{1}{p-\mathrm{i} \omega}-\frac{1}{p+\mathrm{i} \omega}\right] \\ &=\frac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}} \quad( \operatorname{Re} p>0) \end{aligned}~. \end{equation}

　　 同理可得

\begin{equation} \mathscr{L}[\cos \omega t]=\frac{p}{p^{2}+\omega^{2}} \quad(\operatorname{Re} p>0)~. \end{equation}

2. 导数定理

　　 拉普拉斯变换的导数定理是说：

\begin{equation} \mathscr L[f'(t)]=p\bar f(p)-f(0)~, \end{equation}

　　 证明同样直接积分就可以了。

\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr L[f^{\prime}(t)] & = \int_{0}^{\infty} f^{\prime}(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t=\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} f \\ &=\left[\mathrm{e}^{-p t} f(t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{-p t}\right) \end{aligned}~. \end{equation}
取 $ \operatorname{Re} p>\sigma$，有 $\lim_{t\to\infty}\mathrm{e}^{-pt}f(t)=0$。于是可得
\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr L[f^{\prime}(t)] & = -f(0)-\int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{-\rho t}\right)=p \int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t-f(0) \\ &=p \bar{f}(p)-f(0) \quad\left(\operatorname{Re} p>\sigma_{0}\right) \end{aligned}~. \end{equation}

　　 我们还可以推广到高阶导数的情形：

\begin{equation} \mathscr L[f^{(n)}(t)] = p^{n} f(p)-p^{n-1} f(0)-p^{n-2} f^{\prime}(0)-\cdots-p f^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)~. \end{equation}

　　 有了导数定理，让我们来想想导数的逆运算——积分！有没有积分定理呢？有！

3. 积分定理

\begin{equation} \mathscr L\left[\int_{0}^{t} \psi(\tau) \mathrm{d} \tau \right]=\frac{1}{p} \mathscr{L}[\psi(t)]~, \end{equation}

　　 证明其实也一样简单。设 $\displaystyle f(t)=\int_{0}^{t} \psi(\tau) \mathrm{d} \tau$，对 $f(t)$ 应用导数定理，可知：

\begin{equation} \mathscr[f^{\prime}(t)]=p \mathscr{L}[f(t)]-f(0)=p \mathscr{L}[f(t)]~, \end{equation}
所以也就有
\begin{equation} \frac{1}{p} \mathscr{L}[\psi(t)]=\mathscr{L}[f(t)]=\mathscr{L}\left[\int_{0}^{t} \psi(\tau) \mathrm{d} \tau\right]~, \end{equation}
这也就证明了定理。

4. 相似性定理

\begin{equation} \mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a} \bar{f}\left(\frac{p}{a}\right)~. \end{equation}
证明留作练习。

5. 位移定理

\begin{equation} \mathscr{L}[\mathrm{e}^{-\lambda t} f(t)]= \bar{f}(p+\lambda)~. \end{equation}

　　 这个证明也十分简单，留作练习。

6. 延迟定理

\begin{equation} \mathscr{L}\left [f\left(t-t_{0}\right)\right] =\mathrm{e}^{-p t_{0}} \bar f(p)~, \end{equation}

　　 用换元积分即可证明。具体来说：

\begin{equation} \mathscr L\left [f\left(t-t_{0}\right)\right] =\int_{0}^{\infty} f\left(t-t_{0}\right) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t~. \end{equation}
我们知道在 $t<0$ 时，默认 $f(t)$ 都是 $0$。那么我们做积分的时候，时间可以改为从 $t_0$ 开始积分。也就是说：
\begin{equation} \mathscr L\left [f\left(t-t_{0}\right)\right] =\int_{t_0}^{\infty} f\left(t-t_{0}\right) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t~, \end{equation}
作换元 $\xi=t-t_0$，那么就有
\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr L\left[f\left(t-t_{0}\right)\right] &=\int_{0}^{\infty} f(\xi) \mathrm{e}^{-p\left(\xi+t_{0}\right)} \mathrm{d} \xi=\mathrm{e}^{-p t_{0}} \int_{0}^{\infty} f(\xi) \mathrm{e}^{-p \xi} \mathrm{d} \xi \\ &=\mathrm{e}^{-p t_{0}} \bar{f}(p) \end{aligned}~. \end{equation}

7. 卷积定理

　　 卷积定理是说，若 $\mathscr L[f_1(t)] = \bar f_1(p), \mathscr L[f_2(t)] = \bar f_2(p)$，则

\begin{equation} \mathscr L[f_{1}(t) * f_{2}(t) ]= \bar{f}_{1}(p) \bar{f}_{2}(p)~, \end{equation}

　　 下面我们来证明它。这个证明稍复杂一些，毕竟它是二重积分：

\begin{equation} \begin{aligned} & \mathscr{L}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right] \\=& \int_{0}^{\infty} f_{1}(t) * f_{2}(t) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t \\=& \int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) \mathrm{d} \tau\right] \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t \end{aligned}~. \end{equation}

图
图 1：积分限

　　 我们需要交换积分次序，首先我们来看一下积分区域，它就是图 1 中的绿色区域。由此可见，现在改变积分次序，就是说

\begin{equation} \begin{aligned} & \mathscr{L}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right] \\=& \int_{0}^{\infty}\left[\int_{\tau}^{\infty} f_{2}(t-\tau) \mathrm{e}^{-p t} \mathrm{d} t\right] f_{1}(\tau) \mathrm{d} \tau \end{aligned}~. \end{equation}
作换元，$\xi=t-\tau$，那么就有
\begin{equation} \begin{aligned} \mathscr{L}\left[f_{1}(t) * f_{2}(t)\right] &=\int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{\infty} f_{2}(\xi) \mathrm{e}^{-p \xi} \mathrm{d} \xi\right] f_{1}(\tau) \mathrm{e}^{-p \tau} \mathrm{d} \tau \\ &=\int_{0}^{\infty} f_{1}(\tau) \mathrm{e}^{-p \tau} \mathrm{d} \tau \int_{0}^{\infty} f_{2}(\xi) \mathrm{e}^{-p \xi} \mathrm{d} \xi \\ &=\bar{f}_{1}(p) \bar{f}_{2}(p) \end{aligned}~. \end{equation}

习题 1　

　　 求下列函数的拉普拉斯变换。

  1. \begin{equation} \text { sh } \omega t, \quad \text { ch } \omega t~. \end{equation}
  2. \begin{equation} \mathrm{e}^{-\lambda t} \sin \omega t, \quad \mathrm{e}^{-\lambda t} \cos \omega t~. \end{equation}
  3. \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{\pi t}}~. \end{equation}
  4. \begin{equation} \delta(t-\tau)~. \end{equation}

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