贡献者: FFjet
前面我们介绍了拉普拉斯变换,那么这个变换到底给我们带来了什么特别的好处呢?我们下面就来看一下它到底具有哪些性质。
若
证明起来也十分容易。
它能让我们干什么呢?我们可以把未知的函数拆成已知函数的线性组合,相加它们的拉普拉斯变换来得到所要的未知函数的拉普拉斯变换。例如:
拉普拉斯变换的导数定理是说:
证明同样直接积分就可以了。
我们还可以推广到高阶导数的情形:
有了导数定理,让我们来想想导数的逆运算——积分!有没有积分定理呢?有!
证明其实也一样简单。设
这个证明也十分简单,留作练习。
用换元积分即可证明。具体来说:
卷积定理是说,若
下面我们来证明它。这个证明稍复杂一些,毕竟它是二重积分:
我们需要交换积分次序,首先我们来看一下积分区域,它就是图 1 中的绿色区域。由此可见,现在改变积分次序,就是说
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