拉普拉斯变换

                     

贡献者: FFjet

   拉普拉斯变换常用于微分方程的初始值问题,即已知某个物理量在初始时刻 t=0 的值 f(0),而求解它在初始时刻之后的变化情况 f(t)。至于它在初始时刻之前的值,我们就让它都等于 0,也就是说

(1)f(t)=0(t<0) .
为了获得较宽的变换条件,构造一个函数 g(t)
(2)g(t)=eσtf(t) ,
这里 eσt 为收敛因子。我们需要选一个充分大的正实数 σ,用来保证 g(t) 在区间 (,+) 上绝对可积。于是,可以对 g(t) 做傅里叶变换:
(3)G(ω)=12πg(t)eiωtdt=12π0f(t)e(σ+iω)tdt .
σ+iω 记作 p,并将 G(ω) 改记作 f¯(p)/2π
(4)f¯(p)=0f(t)eptdt ,
其中积分
(5)0f(t)eptdt 
称为拉普拉斯积分f¯(p) 称为 f(t)拉普拉斯函数式 4 称为拉普拉斯变换(简称拉氏变换),ept 是拉普拉斯变换的

   G(ω) 的傅里叶逆变换是:

(6)g(t)=G(ω)eiωtdω=12πf¯(σ+iω)eiωtdω ,
(7)f(t)=12πf¯(σ+iω)e(σ+iω)tdω .
由于 σ+iω=p,可得 dω=1/idp。所以有
(8)f(t)=12πiσiσ+if¯(p)eipdp .

   f¯(p) 又称为像函数,而 f(t) 称为原函数。它们之间的关系通常简单地用记号表示为:

(9)f¯(p)=S[f(t)] ,f(t)=L1[f¯(p)] .

   我们来看几个例题熟悉一下它的运算。

例 1 

   求 L[1]

   在 Rep>0(即 σ>0)的半平面上,

(10)01eptdt=1p ,
所以
(11)L[1]=1p(Rep>0) .

例 2 

   求 L[t]

   在 Rep>0 的半平面上

(12)0teptdt=1p0td(ept)=1p[tept]0+1p0eptdt=1p0eptdt=1p2 ,
所以
(13)L[t]=1p2(Rep>0) .

例 3 

   求 L[est]s 为常数。

   在 Rep>Res 的半平面上,

(14)0esteptdt=0e(ps)tdt=1ps[e(ps)t]0=1ps ,
所以
(15)L[est]=1ps(Rep>Res) .

例 4 

   求 L[test]s 为常数。

   在 Rep>Res 的半平面上,

(16)0testeptdt=1ps0td[e(ps)t]=1ps{[te(ps)t]00e(ps)tdt}=1(ps)2 ,
所以
(17)S[test]=1(ps)2(Rep>Res) .
同理
(18)L[tnen]=n!(ps)n+1 .


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