拉普拉斯变换

贡献者： FFjet

　　拉普拉斯变换常用于微分方程的初始值问题，即已知某个物理量在初始时刻 $t = 0$ 的值 $f (0)$ ，而求解它在初始时刻之后的变化情况 $f (t)$ 。至于它在初始时刻之前的值，我们就让它都等于 $0$ ，也就是说

\begin{matrix} (1) & f (t) = 0 (t < 0) . \end{matrix}

为了获得较宽的变换条件，构造一个函数

g (t)

，

\begin{matrix} (2) & g (t) = e^{- σ t} f (t), \end{matrix}

这里

e^{- σ t}

为收敛因子。我们需要选一个充分大的正实数

σ

，用来保证

g (t)

在区间

(- \infty, + \infty)

上绝对可积。于是，可以对

g (t)

做傅里叶变换：

\begin{matrix} (3) & G (ω) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} g (t) e^{- i ω t} d t = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- (σ + i ω) t} d t . \end{matrix}

将

σ + i ω

记作

p

，并将

G (ω)

改记作

\bar{f} (p) / 2 π

则

\begin{matrix} (4) & \bar{f} (p) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- p t} d t, \end{matrix}

其中积分

\begin{matrix} (5) & \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- p t} d t \end{matrix}

称为拉普拉斯积分。

\bar{f} (p)

称为

f (t)

的拉普拉斯函数。式 4 称为拉普拉斯变换（简称拉氏变换），

e^{- p t}

是拉普拉斯变换的核。

　　 $G (ω)$ 的傅里叶逆变换是：

\begin{matrix} (6) & g (t) = \int_{- \infty}^{\infty} G (ω) e^{i ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \bar{f} (σ + i ω) e^{i ω t} d ω, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (7) & f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \bar{f} (σ + i ω) e^{(σ + i ω) t} d ω . \end{matrix}

由于

σ + i ω = p

，可得

d ω = 1 / i d p

。所以有

\begin{matrix} (8) & f (t) = \frac{1}{2 π i} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} \bar{f} (p) e^{i p} d p . \end{matrix}

　　 $\bar{f} (p)$ 又称为像函数，而 $f (t)$ 称为原函数。它们之间的关系通常简单地用记号表示为：

\begin{matrix} (9) & \begin{array}{l} \bar{f} (p) = S [f (t)], \\ f (t) = L^{- 1} [\bar{f} (p)] . \end{array} \end{matrix}

　　我们来看几个例题熟悉一下它的运算。

例 1　

　　求 $L [1]$ 。

　　在 $Re p > 0$ （即 $σ > 0$ ）的半平面上，

\begin{matrix} (10) & \int_{0}^{\infty} 1 \cdot e^{- p t} d t = \frac{1}{p}, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (11) & L [1] = \frac{1}{p} (Re p > 0) . \end{matrix}

例 2　

　　求 $L [t]$ 。

　　在 $Re p > 0$ 的半平面上

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t e^{- p t} d t & = - \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} t d (e^{- p t}) \\ = - \frac{1}{p} {[t e^{- p t}]}_{0}^{\infty} + \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} e^{- p t} d t \\ = \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} e^{- p t} d t = \frac{1}{p^{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (13) & L [t] = \frac{1}{p^{2}} (Re p > 0) . \end{matrix}

例 3　

　　求 $L [e^{s t}]$ ， $s$ 为常数。

　　在 $Re p > Re s$ 的半平面上，

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} e^{s t} e^{- p t} d t & = \int_{0}^{\infty} e^{- (p - s) t} d t = - \frac{1}{p - s} {[e^{- (p - s) t}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{1}{p - s}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (15) & L [e^{s t}] = \frac{1}{p - s} (Re p > Re s) . \end{matrix}

例 4　

　　求 $L [t e^{s t}]$ ， $s$ 为常数。

　　在 $Re p > Re s$ 的半平面上，

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} t e^{s t} e^{- p t} d t & = - \frac{1}{p - s} \int_{0}^{\infty} t d [e^{- (p - s) t}] \\ = - \frac{1}{p - s} {{[t e^{- (p - s) t}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} e^{- (p - s) t} d t} \\ = \frac{1}{(p - s)^{2}}, \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (17) & S [t e^{s t}] = \frac{1}{(p - s)^{2}} (Re p > Re s) . \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (18) & L [t^{n} e^{n}] = \frac{n!}{(p - s)^{n + 1}} . \end{matrix}

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