拉普拉斯变换
贡献者: FFjet
拉普拉斯变换常用于微分方程的初始值问题,即已知某个物理量在初始时刻 的值 ,而求解它在初始时刻之后的变化情况 。至于它在初始时刻之前的值,我们就让它都等于 ,也就是说
为了获得较宽的变换条件,构造一个函数 ,
这里 为收敛因子。我们需要选一个充分大的正实数 ,用来保证 在区间 上绝对可积。于是,可以对 做傅里叶变换:
将 记作 ,并将 改记作 则
其中积分
称为
拉普拉斯积分。 称为 的
拉普拉斯函数。
式 4 称为
拉普拉斯变换(简称
拉氏变换), 是拉普拉斯变换的
核。
的傅里叶逆变换是:
即
由于 ,可得 。所以有
又称为像函数,而 称为原函数。它们之间的关系通常简单地用记号表示为:
我们来看几个例题熟悉一下它的运算。
例 4
求 , 为常数。
在 的半平面上,
所以
同理
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