曲线的长度

             

预备知识 定积分

   直角坐标系中,曲线通常用函数 $y(x)$ 描述.我们在曲线上某点 $(x, y)$ 附近取一小段,根据勾股定理,它的长度为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{l} = \sqrt{ \,\mathrm{d}{x} ^2 + \,\mathrm{d}{y} ^2} = \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
两边积分得
\begin{equation} l = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这就是曲线在区间 $[x_1, x_2]$ 的长度.

例 1 抛物线

   对抛物线 $y=\frac{x^2}{2p}$,在区间 $[0,x]$ 对应的弧长为

\begin{equation} \begin{aligned} l& = \frac{1}{p}\int_{0}^{x}\sqrt{x^2+p^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{1}{p}\bigg[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p^2}{2} \ln\left(x+\sqrt{x^2+p^2}\right) \bigg]\Bigg\lvert_{0}^{x}\\ &=\frac{x}{2p}\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p}{2}\ln\frac{x+\sqrt{x^2+p^2}}{p} \end{aligned} \end{equation}

1. 含参曲线

   若平面上的曲线可以用参数 $t$ 表示为 $x(t), y(t)$(三维情况同理),那么 $t \in [t_1, t_2]$ 对应的一段曲线长度为

\begin{equation} l = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
推导和上面的过程类似.

例 2 椭圆的弧长

   椭圆的参数方程为(式 5

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x(t) = a\cos t\\ &y(t) = b\sin t \end{aligned}\right. \qquad (a > b > 0) \end{equation}
由于椭圆的离心率为 $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$,椭圆上 $t \in [0, \varphi]$ 对应的圆弧长度等于
\begin{equation} \begin{aligned} l &= \int_0^{\varphi} \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \,\mathrm{d}{t} = b\int_0^\varphi \sqrt{1 - e^2\sin^2 t} \,\mathrm{d}{t} \\ &= b E(\varphi, e) \end{aligned} \end{equation}
其中函数 $E(x)$ 是第二类不完整椭圆积分(式 4 ).

   椭圆的周长 $c$ 为 $t \in [0, \pi/2]$ 对应弧长的 4 倍,即 $c = 4bE(\pi/2, e)$.

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