曲线的长度

贡献者：零穹; addis; ACertainUser

预备知识　定积分

图 1：使用一系列直线段近似曲线

图 2：在一点附近用一直线段近似曲线

　　直角坐标系中，曲线通常用函数 $y (x)$ 描述。在计算曲线长度时，我们使用一系列直线段来 “近似” 曲线。具体地说，如图 2 所示，我们在曲线上某点 $(x, y)$ 附近用一直线段近似曲线。根据勾股定理，直线段的长度为

\begin{matrix} (1) & d l = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} = \sqrt{1 + {\dot{y}}^{2}} d x . \end{matrix}

两边积分得

\begin{matrix} (2) & l = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + {\dot{y}}^{2}} d x . \end{matrix}

这就是曲线在区间

[x_{1}, x_{2}]

的长度。

例 1　抛物线

　　对抛物线 $y = \frac{x^{2}}{2 p}$ ，在区间 $[0, x]$ 对应的弧长为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} l & = \frac{1}{p} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2} + p^{2}} d x \\ = \frac{1}{p} [\frac{1}{2} x \sqrt{x^{2} + p^{2}} + \frac{p^{2}}{2} \ln (x + \sqrt{x^{2} + p^{2}})] |_{0}^{x} \\ = \frac{x}{2 p} \sqrt{x^{2} + p^{2}} + \frac{p}{2} \ln \frac{x + \sqrt{x^{2} + p^{2}}}{p} . \end{aligned} \end{matrix}

　　你一定很想问，为什么我们不能像计算面积时一样，用无限小矩形的边长来近似曲线的长度呢？这其实是一个小学二年级的、古老的脑筋急转弯问题。你总能把每个矩形的各边都平移到下方与左方。最终你会发现，如图 3 所示，不论你如何细致地划分矩形，你得到的 “长度” 都不是曲线的长度。

图 3：平移矩形的边

1. 含参曲线

　　若平面上的曲线可以用参数 $t$ 表示为 $x (t), y (t)$ （三维情况同理），那么 $t \in [t_{1}, t_{2}]$ 对应的一段曲线长度为

\begin{matrix} (4) & l = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{{\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} d t, \end{matrix}

推导和上面的过程类似。

例 2　椭圆的弧长

　　椭圆的参数方程为（式 5 ）

\begin{matrix} (5) & {\begin{aligned} x (t) = a \cos t \\ y (t) = b \sin t \end{aligned} (a > b > 0) . \end{matrix}

由于椭圆的离心率为

e = \sqrt{1 - b^{2} / a^{2}}

，椭圆上

t \in [0, φ]

对应的圆弧长度等于

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} l & = \int_{0}^{φ} \sqrt{a^{2} \sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t} d t = b \int_{0}^{φ} \sqrt{1 - e^{2} \sin^{2} t} d t \\ = b E (φ, e) . \end{aligned} \end{matrix}

其中函数

E (x)

是第二类不完整椭圆积分（式 4 ）。

　　椭圆的周长 $c$ 为 $t \in [0, π / 2]$ 对应弧长的 4 倍，即 $c = 4 b E (π / 2, e)$ 。

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曲线的长度

例 1 抛物线

1. 含参曲线

例 2 椭圆的弧长

例 1　抛物线

例 2　椭圆的弧长