多元数量函数的隐函数定理

定理 1　(介值定理的一个应用)

　　 设 $D\times E\subset {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$ 是开集， $F:D\times E\to \mathbb{R}$ 是数量函数。点 $(x_0,y_0)\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

1. $F(x_0,y_0)=0.$
2. $F\in \mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续
3. 任意固定 $x\in D$, 函数 $y\mapsto F(x,y)$ 都是 $E$ 上的严格单调函数

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_0$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_0$ 的某邻域 $B(x_0,\delta )\subset D$ 及定义在 $B(x_0,\delta )$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 $$f(x_0)=y_0,F(x,f(x))=0,\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta ).$$

定理 2　(隐函数定理：偏导数版本)

　　 设 $D\times E\subset {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$ 是开集，$F:D\times E\to \mathbb{R}$ 是数量函数。点 $(x_0,y_0)\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

　　 ① $F(x_0,y_0)=0$；

　　 ② $F\in \mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续；

　　 ③ $F_y(x_0,y_0)\ne 0$, 且 $F_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_0$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_0$ 的某邻域 $B(x_0,\delta )\subset D$ 及定义在 $B(x_0,\delta )$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 $$f(x_0)=y_0,F(x,f(x))=0,\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta ).$$

　　 进一步，若还有以下条件：

　　 ④¹ 梯度 ${\mathrm{\nabla }}_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 都存在，且 $F_y\in \mathrm{C}(D\times E)$ $$²,

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近的梯度函数 $\mathrm{\nabla }f$ 也都存在，并且成立计算公式 $$\mathrm{\nabla }f(x)=-{\displaystyle \frac{{\mathrm{\nabla }}_{x}F(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}},\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta ).$$

　　 更进一步，若还有：

　　 ⑤³ ${\mathrm{\nabla }}_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续，

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 梯度函数 $\mathrm{\nabla }f$ 在 $x=x_0$ 附近也连续。

　　 证明： 不妨设条件 ③ 中 $F_y(x_0,y_0)>0.$ 由 $F_y(x_0,y_0)>0$ 和 ① 知存在 $y_1>y_0>y_2$ 使得 $F(x_0,y_1)>0>F(x_0,y_2)$.

　　 又由 $F_y(x_0,y_0)>0$ 和保号性知 $F_y(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的附近 $B((x_0,y_0),\delta )$ 内是严格正的，即 $F(x,y)$ 关于 $y$ 变元在 该附近⁴ 是严格单增的（沿 $y$ 轴正方向严格单增）.

　　 再由 $F(x_0,y_1)>0>F(x_0,y_2)$ 和保号性知 $F(x,y)$ 在 $(x_0,y_1)$ 的附近总是正的，而在 $(x_0,y_2)$ 的附近总是负的。

　　 结合以上三点就可以利用上一个 定理 1 , 得到相同的结论。

　　 进一步，若还有条件 ④, 取 $\bar{x}$ 为 $B(x_0,\delta )$ 中任意一点并固定它，来证 $\mathrm{\nabla }f(\bar{x})$ 存在。因而取 $\left|\mathrm{△}x\right|\ll 1$ 有

　　 另一方面，由于 $F(\bar{x},f(\bar{x}))=F(\bar{x}+\mathrm{△}x,f(\bar{x}+\mathrm{△}x))=0$ 则两式相减得

　　 更进一步，若还有条件 ⑤, 则 $\mathrm{\nabla }f$ 在 $x=x_0$ 附近的连续性由计算公式（式 3 ）的形式保证。

定理 3　(隐函数定理：全微分版本)

　　 设 $D\times E\subset {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$ 是开集，$F:D\times E\to \mathbb{R}$ 是数量函数。点 $(x_0,y_0)\in D\times E.$

　　 考虑方程 $F(x,y)=0$ 能否解出 $y=f(x)$ 满足 $F(x,f(x))=0.$

　　 若满足以下 3 个条件：

　　 ① $F(x_0,y_0)=0$；

　　 ② $F\in \mathrm{C}(D\times E)$, 即 $F(x,y)$ 在 $D\times E$ 上连续；

　　 ③ $F_y(x_0,y_0)\ne 0$, 且 $F_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，

　　 则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x=x_0$ 附近是 唯一、局部地连续可解 的，即存在 $x_0$ 的某邻域 $B(x_0,\delta )\subset D$ 及定义在 $B(x_0,\delta )$ 上的 唯一的 连续函数 $y=f(x)$ 使得 $$f(x_0)=y_0,F(x,f(x))=0,\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta ).$$

　　 进一步，若还有以下条件：

　　 ④⁶ 全微分 ${\mathrm{d}}_{x}F(x,y)$ 在 $D\times E$ 都存在，且 ${\mathrm{\nabla }}_{x}f(x,y)$ 关于变元 $y$ 连续,

　　 则相应的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近的梯度函数 $\mathrm{\nabla }f$ 也都存在，并且成立计算公式 $$\mathrm{\nabla }f(x)=-{\displaystyle \frac{{\mathrm{\nabla }}_{x}F(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}},\mathrm{\forall }x\in B(x_0,\delta ).$$

　　 证明：定理在满足条件①②③时的前半部分是与上一个 定理 2 完全一样的，因而结论和证明不需修改。

　　 下证在满足条件 ④ 时 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近的梯度函数 $\mathrm{\nabla }f$ 也都存在。事实上，取 $\bar{x}\in B(x_0,\delta )$ 并固定它，再取 $\left|\mathrm{△}x\right|\ll 1$。

　　 由于 $F(\bar{x},f(\bar{x}))=F(\bar{x}+\mathrm{△}x,f(\bar{x}+\mathrm{△}x))=0$, 则两式相减得