多变量分布函数

             

预备知识 概率分布函数,重积分

1. 二维分布函数

   我们以打靶为例来引入二元概率分布函数,以及在直角坐标系和极坐标系中如何分析各种平均值.我们在靶上建立 $x$-$y$ 直角坐标系,类比一维概率分布函数的定义,二维概率分布可以用一个二元函数表示为 $f(x, y)$,也叫概率密度(probability density).子弹落在一个长方形区域内(令 $x \in [x_1, x_2]$,$y \in [y_1, y_2]$)的概率可以用二重积分表示

\begin{equation} P = \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
从几何上理解,$f(x, y)$ 可以看作一张三维空间中的曲面,而这个二重积分则表示曲面和 $x$-$y$ 平面之间的一个体积(图 1 ).

图
图 1:$f(x, y)$ 曲面下的体积

   类比一维情况,概率归一化条件为

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} = 1 \end{equation}
由于概率的量纲是 1,$f(x, y)$ 的国际单位量纲就是 $ \,\mathrm{m^{-2}} $,即面积的倒数.

2. 平均值

   类比式 10 ,离散情况下,令 $P_i$ 是 $(x_i, y_i)$ 出现的概率,函数 $g(x,y)$ 的平均值为

\begin{equation} \left\langle g \right\rangle = \sum_{i=1}^N g(x_i, y_i) P_i \end{equation}
拓展到连续的情况,类比式 11 ,$g(x, y)$ 的平均值可以定义为
\begin{equation} \left\langle g \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
例如位置矢量的 $x$ 和 $y$ 分量平均值分别为
\begin{equation} \left\langle x \right\rangle = \iint x f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
\begin{equation} \left\langle y \right\rangle = \iint y f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
以上两式也可以用位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示为(这时 $ \boldsymbol{\mathbf{g}} $ 的函数值是矢量)
\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rangle = \iint \boldsymbol{\mathbf{r}} f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
点 $(x,y)$ 到原点距离的距离 $r$ 的平均值
\begin{equation} \left\langle r \right\rangle = \iint \sqrt{x^2 + y^2} f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}
注意区分该式和式 7 式的意义,平均位置和平均距离是两个不同的概念:如果 $f(x, y)$ 是关于原点中心对称的函数,则平均位置为 $(0, 0)$,而平均距离不为零.

   距离平方 $r^2$ 的平均值

\begin{equation} \left\langle r^2 \right\rangle = \iint (x^2 + y^2) f(x, y) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{equation}

3. 概率分布的极坐标表示

预备知识 极坐标系

   除了直角坐标系外,我们也可以使用极坐标 表示分布函数,记为1 $f(r, \theta)$,那么概率归一化条件变为

\begin{equation} \int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} f(r, \theta)\,\, r \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} = 1 \end{equation}
函数 $g(r, \theta)$ 的平均值变为
\begin{equation} \left\langle g \right\rangle = \int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} g(r, \theta) f(r, \theta)\,\, r \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
例如式 9 变为
\begin{equation} \left\langle r^2 \right\rangle = \int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} r^2 f(r, \theta)\,\, r \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} = \int_0^\infty \int_{0}^{2\pi} r^3 f(r, \theta) \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{r} \end{equation}

4. 圆对称分布

   继续打靶的例子,我们接下来讨论圆对称的概率分布(在三维情况下叫做球对称),即 $f(r, \theta)$ 的值只和 $r$ 有关而与 $\theta$ 无关的情况.为了书写方便可记 $f(r) \equiv f(r, \theta)$.归一化条件式 10 化简为(先完成关于 $\theta$ 积分得 $2\pi$)

\begin{equation} 2\pi \int_0^\infty r f(r) \,\mathrm{d}{r} = 1 \end{equation}

   一个容易混淆的概念是,$f(r)$ 并不是变量 $r$ 的概率分布函数.也就是说 $\int_a^b f(r) \,\mathrm{d}{r} $ 并不是子弹落在圆环 $r \in [a, b]$ 内的概率.若将 $r$ 的概率分布函数记为 $F(r)$,子弹落在圆环中的概率应该是

\begin{equation} P_{ab} = \int_a^b F(r) \,\mathrm{d}{r} = \int_a^b 2\pi r f(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
由于两个定积分在任何区间都相等,两个被积函数必须相等,即
\begin{equation} F(r) = 2\pi r f(r) \end{equation}
这时以上的平均值也可以得到进一步化简,例如式 12 变为
\begin{equation} \left\langle r^2 \right\rangle = \int_0^\infty r^2 F(r) \,\mathrm{d}{r} = 2\pi \int_0^\infty r^3 f(r) \,\mathrm{d}{r} \end{equation}


1. ^ 在数学上,该式两边是两个不同的二元函数,应该使用不同的函数名如 $g(r, \theta) = f(x, y)$,但在一些物理教材中,我们有时为了方便不区分函数名,直接把 $g(r, \theta)$ 写成 $f(r, \theta)$.

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