中心极限定理

                     

贡献者: addis

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预备知识 高斯分布

   若 $N$ 个独立的连续随机变量 $x_i$ 的平均值为 $\mu$,方差为 $\sigma^2$,令 $X = \sum_i^N x_i$,当 $N \to \infty$ 时,$X$ 满足高斯分布,平均值为

\begin{equation} \left\langle X \right\rangle = N\mu \end{equation}
且方差为
\begin{equation} \left\langle X^2 \right\rangle = N\sigma^2 \end{equation}
即分布函数趋近于
\begin{equation} f(X) = N(N\mu, N\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi N}} \exp\left[-\frac{(X-N\mu)^2}{2N\sigma^2}\right] \end{equation}
证明略.

   令平均值 $\bar x = X/N$,那么 $N\to\infty$ 时 $\bar x\sim N(\mu, \sigma^2/N)$(例 1 ).


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