模的直和

贡献者： JierPeter

预备知识　模

定义 1　内直和

　　给定一个 $R$ -模 $M$ ，若它有子模 $M_{1}, M_{2}, \dots M_{s}$ ，使得任取 $m \in M$ ，都存在 $m_{i} \in M_{i}$ 使得

\begin{matrix} (1) & m = \sum_{i = 1}^{s} m_{i}, \end{matrix}

那么称

M

是

M_{i}

的和（sum），记为

\begin{matrix} (2) & M = M_{1} + M_{2} + \dots + M_{s} = \sum_{i = 1}^{s} M_{i} . \end{matrix}

　　进一步，如果对于任意的 $m \in M$ ，上述表示 $\sum_{i} m_{i}$ 是唯一的，则称 $M$ 是 $M_{i}$ 的内直和（inner direct sum），记为

\begin{matrix} (3) & M = M_{1} \oplus M_{2} \oplus \dots \oplus M_{s} = ⨁_{i = 1}^{s} M_{i} . \end{matrix}

定义 2　外直和

　　给定 $R$ -模 $M_{1}, M_{2}, \dots, M_{s}$ ，在笛卡尔积集合 $M = M_{1} \times M_{2} \times \dots \times M_{s}$ 上定义加法运算为

\begin{matrix} (4) & (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}) + (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, \dots, a_{s} + b_{s}), \end{matrix}

定义

R

对

M

的数乘运算为

\begin{matrix} (5) & r (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}) = (r a_{1}, r a_{2}, \dots, r a_{s}), \end{matrix}

则

M

也构成一个

R

-模，称为

M_{i}

的外直和（outer direct sum），记为

\begin{matrix} (6) & M = M_{1} \oplus M_{2} \oplus \dots \oplus M_{s} = ⨁_{i = 1}^{s} M_{i} . \end{matrix}

　　外直和与内直和本质上是一回事。如果 $M$ 是其子模 $M_{i}$ 的内直和，那么计算各 $M_{i}$ 的外直和，其结果和 $M$ 同构。如果给定 $R$ -模 $M_{i}$ ，求它们的外直和，为方便同样记为 $M$ ，那么各 $M_{i}$ 也可以同构于 $M$ 的子模，且 $M$ 是这些子模的内直和。

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模的直和

定义 1 内直和

定义 2 外直和

定义 1　内直和

定义 2　外直和