贡献者： 零穹
定义 1 Minkowski 泛函
设 $L$ 是任一线性空间，$A$ 是核 包含 0 的 $L$ 中的凸体（定义 4 ），则称泛函
\begin{equation}
p_A(x)=\inf \left\{r|\frac{x}{r}\in A,r>0 \right\} ~
\end{equation}
为凸体 $A$ 的
Minkowski 泛函。
引理 1
设 $L,A,p_A$ 如定义 1 定义。则任意 $x\in L,0<\epsilon\in\mathbb R$，只要 $r>p_A(x)$，就有 $x/r\in A$
证明：事实上，在 $p_A(x)=0$ 时 $x/r=0\in A$；反之 $p_A(x)\neq0$，由 $p_A(x)$ 的（下确界的）定义，一定存在 $p_A(x)\leq a< r$，使得 $x/a\in A$，否者 $\inf \left\{r|\frac{x}{r}\in A,r>0 \right\} \geq r$。于是存在 $s\in A$，使得 $x=as$，因此 $x/r=(a/r)s\in A$（因为 $A$ 是凸集，而 $(a/r)s$ 在 $0,s\in A$ 的线段上）。
证毕！
定理 1
Minkowski 泛函式 1 是齐次凸的与非负的。
证明：非负性：对每一 $x\in L$，如果 $r$ 充分大，则元素 $x/r$ 属于 $A$。因此定义 1 定义的 $p(x)$ 是非负有限的（由于是取下确界）。现在来证明正齐次性。
正齐次性：若 $t>0$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
p_A(tx)=&\inf \{r|tx/r\in A,r>0\}=\inf \{r|x/(r/t)\in A,r>0\}\\
=&\inf \{tr'|x/r'\in A,r'>0\}=t\inf \{r'|x/r'\in A,r'>0\}\\
=&tp_A(x)\\.
\end{aligned}~
\end{equation}
设 $x_1,x_2\in L,\epsilon>0$ 任意，取 $r_i(i=1,2)$ 使得 $p_A(x_i)< r_i< p_A(x_i)+\epsilon$，则由
定理 1 ，$x_i/r\in A$。令 $r=r_1+r_2$，则点
\begin{equation}
\frac{x_1+x_2}{r}=\frac{r_1}{rr_1}x_1+frac{r_2}{rr_2}x_2~
\end{equation}
属于具有端点 $x_1/r_1$ 与 $x_2/r_2$ 的线段。由于 $A$ 的凸性，该线段属于 $A$，这也意味着点 $(x_1+x_2)/r\in A$。因此（由
定义 1 ）
\begin{equation}
p_A(x_1+x_2)\leq r=r_1+r_2< p_A(x_1)+p_A(x_2)+2\epsilon.~
\end{equation}
因为 $\epsilon>0$ 的任意性，则
\begin{equation}
p_A(x_1+x_2)\leq p_A(x_1)+p_A(x_2).~
\end{equation}
由
定理 1 ，$p_A$ 凸。
证毕！
定理 2
若 $p(x)$ 是线性空间 $L$ 上任意非负齐次凸泛函，$k$ 是正数，则
\begin{equation}
A=\{x|p(x)\leq k\}~
\end{equation}
是凸体，其核是包含 $0$ 的集 $\{x|p(x)< k\}$。如果
式 6 中 $k=1$，则原泛函 $p(x)$ 是 $A$ 的 Minkowski 泛函。
证明：
凸体：设 $x,y\in A,\alpha+\beta=1,\alpha,\beta\geq0$，则（根据 $p$ 泛函的凸性）
\begin{equation}
p(\alpha x+\beta y)\leq\alpha p(x)+\beta p(x)\leq k.~
\end{equation}
这即表明 $A$ 是凸的。
核：设 $p(x)< k,t>0$ 与 $y\in L$，则（根据正齐次凸性和定理 1 ）
\begin{equation}
p(x\pm ty)\leq p(x)+tp(\pm y)~.
\end{equation}
若 $p(-y)=p(y)=0$，则上式为 $p(x\pm ty)\leq p(x)< k$，即对一切 $t$，成立 $x\pm ty\in A$；反之，$p(y),p(-y)$ 必有一异于零，则对
\begin{equation}
t<\frac{k-p(x)}{\max\{p(y),p(-y)\}}~,
\end{equation}
成立
\begin{equation}
p(x)+tp(\pm y)\leq p(x)+(k-p(x))=k~.
\end{equation}
即 $x\pm ty\in A$。
$k=1$ 是 Minkowski 泛函：任意 $x/r\in A$，成立 $p(x/r)\leq 1$，进而由齐次性 $p(x)\leq r$，即 $p(x)$ 是 $\{r|x/r\in A,r>0\}$ 的下界。另一方面，若 $x/r\notin A$，则 $p(x)>r$，即 $p(x)$ 比 $\{r|x/r\in A,r>0\}$ 的一切下界都大，因此 $p(x)$ 是 $\{r|x/r\in A,r>0\}$ 的下确界。
证毕！
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