齐次凸泛函

贡献者：零穹

预备知识　泛函与线性泛函

　　齐次凸泛函是与凸集紧密联系的概念，共有的 “凸” 也表达了这一印象。以后我们将看到，非负齐次凸泛函与其核含 0 点的凸体是一一对应的。当然，凸泛函可以看作是凸函数在一般线性空间中的推广。

定义 1　凸泛函

　　设 $L$ 是实线性空间。 $L$ 上的泛函 $p$ 称为凸的，是指对任意 $x, y \in L, 0 \leq α \leq 1$ ，成立

\begin{matrix} (1) & p (α x + (1 - α) y) \leq α p (x) + (1 - α) p (y) . \end{matrix}

定义 2　正齐次

　　 $L$ 上的泛函 $p$ 称为正齐次的，是指对所有的 $x \in L, α > 0$ ，

\begin{matrix} (2) & p (α x) = α p (x) . \end{matrix}

　　注意，齐次凸泛函就是指有凸性和正齐次性的泛函，而不仅仅是齐次。这里齐次只是正齐次的简称。

定义 3　齐次凸泛函

　　正齐次的凸泛函简称为齐次凸泛函。

定理 1　

　　设 $p$ 是正齐次泛函，则 $p$ 凸当且仅当

\begin{matrix} (3) & p (x + y) \leq p (x) + p (y) . \end{matrix}

　　 证明：当：设 $p$ 凸。则

\begin{matrix} (4) & p (x + y) = 2 p (\frac{x + y}{2}) \leq 2 (p (\frac{x}{2}) + p (\frac{y}{2})) = p (x) + p (y) . \end{matrix}

仅当：设式 3 成立。则

\begin{matrix} (5) & p (α x + (1 - α) y) \leq p (α x) + p ((1 - α) y) \leq α p (x) + (1 - α) p (y) . \end{matrix}

即

p

凸。

　　 证毕！

1. 凸泛函的性质

定理 2　凸泛函的性质

　　设 $p$ 是凸泛函，则成立

$p (0) = 0$ ；
$0 \leq p (x) + p (- x)$ ；
$p (α x) \geq α p (x) . α \in R$ 。

　　 证明：由正齐次性， $\forall α \in R, p (α 0) = α p (0) \Rightarrow p (0) = 0$ ；紧接着，由定理 1 ， $0 = f (x + (- x)) \leq p (x) + p (- x)$ 。1，2 点得证。

　　第 3 点证明如下： $α > 0$ 由正齐次性直接得到；当 $α = 0$ 时可由 $p (0) = 0$ 推得；当当 $α < 0$ ，则由已证得的 2，得

\begin{matrix} (6) & 0 \leq p (α x) + p (| α | x) = p (α x) + | α | p (x) . \end{matrix}

即

p (α x) \geq - | α | p (x) = α p (x)

。

　　 证明！

2. 例子

例 1　

　　设 $m$ 是有界序列 $x = (x_{1}, \dots, \dots, \dots)$ 组成的空间。泛函

\begin{matrix} (7) & p (x) = sup_{n} | x_{n} | \end{matrix}

是齐次凸的。

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齐次凸泛函

定义 1 凸泛函

定义 2 正齐次

定义 3 齐次凸泛函

定理 1

1. 凸泛函的性质

定理 2 凸泛函的性质

2. 例子

例 1

定义 1　凸泛函

定义 2　正齐次

定义 3　齐次凸泛函

定理 1　

定理 2　凸泛函的性质

例 1　