线性泛函的延拓

                     

贡献者： 零穹

　　 [1] 在分析学中函数的延拓是一类重要的问题，而函数空间可以用线性空间来描述，因此函数的延拓是对线性泛函的延拓。本文将讲述在线性泛函延拓的一般概念，及在线性泛函延拓的整个问题中起着重要作用的定理——Hahn-Banach 定理。

　　 证明：首先证明，若 $L_0\ne L$，则 $f_0$ 可以从 $L_0$ 延拓到保持式 1 的某一更广的子空间上：事实上，设 $z\in L$ 且 $z\notin L_0$，$L^{\prime }$ 是 $L_0$ 和 $z$ 生成的子空间（即包含 $L_0$ 和 $z$ 的最小子空间）。于是 $L^{\prime }$ 中的每一元素都具有 $tz+x$ 的形式，其中 $x\in L_0$（试证明）。

　　 若 $f^{\prime }$ 是 $L^{\prime }$ 上 $f_0$ 的延拓，则

现在选取 $f^{\prime }(z)$ 使得在 $L^{\prime }$ 上式 1 成立，即 $t{f}^{\prime }(z)+f_0(x)\le p(x+tz)$ 对一切 $x\in L_0$ 及一切实数 $t$ 恒成立。这等价于 因此我们只要验证恒有满足式 3 的 $f^{\prime }(z)$ 存在即可。设 $y,y^{\prime }\in L_0$，则由式 1 ，成立 令 由 $y,y^{\prime }$ 的任一性，据式 4 ，得 $c^{\prime }\ge c$。选取 $f^{\prime }(z)$ 使得 $c^{\prime }\ge f^{\prime }(z)\ge c$，并注意到式 4 中 $y^{\prime }=y=x/t$ 时就是式 3 ，因此如下定义的泛函 满足式 3 ，其中 $c^{\prime }\ge f^{\prime }(z)\ge c$。

　　 其次，若在 $L$ 中可以选取生成 $L$ 的可数个元素 $x_1,\dots ,x_n,\cdots$。则考虑递增序列

其中 $\{L^{(k)},x_{k+1}\}$ 表示 $L$ 中包含 $L^{(k)}$ 与 $x^{k+1}$ 的最小线性子空间。于是可按归纳法构造 $L$ 上的泛函，这时，每一元素 $x\in L$ 属于某个 $L^{(k)}$，从而泛函可延拓到全空间 $L$。

　　 不可数情形下需要佐恩引理（一种选择公理）和偏序的概念进行证明，本节略去。

　　 证毕！

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[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版