贡献者： Giacomo; _Eden_
1. 矩阵李群
1 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群，同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合（因此是个子流形）。
定义 1 矩阵李群
对于群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子群 $G$，$G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的一个闭子集。Definition 1.4 [1]
对于一个矩阵李群 $G$，我们有
$$
G \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \subseteq M_n(\mathbb{C})~,
$$
$G$ 在 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 中是闭的，但在 $M_n(\mathbb{C})$ 中不一定。
2. 例子
例 1 一般线性群和特殊线性群
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})
\end{aligned}~
\end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的一般线性群，它被定义为 $ \operatorname {GL}(n,\mathbb R)=\{M\in M_n(n,\mathbb{R}): \det M\neq 0 \}$。
可以看出它是 $n^2$ 维的李群。类似地，${ \operatorname {GL}(n,\mathbb{C})}$ 为 $2n^2$ 维的李群（以下我们讨论的李群的维数都是它们作为实流形的维数）。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname {SL}(n, \mathbb{C}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})
\end{aligned}~
\end{equation}
为 $\mathbb C$ 上的特殊线性群，它被定义为 $\{M\in M_n(n,\mathbb{C}): \det M=1 \}$，由于加了 $\det M=1$ 的限制，它相当于 $2n^2$ 维流形上的一个 $2n^2-2$ 维的超曲面，它是 $2n^2-2$ 维的李群。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname {SL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})
\end{aligned}~
\end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的特殊线性群，由于加了 $\det M=1$ 的限制，它相当于 $n^2$ 维流形上的一个 $n^2-1$ 维的超曲面，它是 $n^2-1$ 维的李群。
幺正群和正交群
我们通常要研究某个 $n$ 维复空间上保内积的线性变换，即 $(u,v)=(Mu,Mv),\forall u,v\in \mathbb{C}_n$。这也就意味着 $u^\dagger v=u^\dagger M^\dagger M v$ 对于任意 $n$ 维复向量 $u,v$ 都成立，这类线性变换也被称作为幺正变换（或酉变换）。因此幺正群被定义为
\begin{equation}
\begin{aligned}
U(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb C): M^\dagger M=I_n \}~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以证明 $U(n)$ 是 $n^2$ 维的李群。
类似地，在实空间上正交群 $O(n)$ 被定义为
\begin{equation}
\begin{aligned}
O(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb R): M^T M=I_n \}~,
\end{aligned}
\end{equation}
可以证明 $O(n)$ 是 $\frac{1}{2}n(n+1)$ 维李群。例如 $n=3$ 时 $O(n)$ 是三维李群，它意味着三维空间旋转由三个连续自由度（参量）描述（除了连续自由度以外，还包括空间反演变换，这意味着正交群并非连通的李群，这也促使我们在数学上去严格地定义 “连通” 的概念……）。
广义正交群
未完成：定义
定义 2 洛伦兹群
洛伦兹群是满足以下条件的 $4\times 4$ 矩阵所构成的群
\begin{equation}
\Lambda^T \begin{pmatrix}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{pmatrix}
\Lambda =\begin{pmatrix}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
或者
\begin{equation}
O(1,3)=\{\Lambda\in M_n(4,\mathbb R):\Lambda^T\eta\Lambda=\eta\}~.
\end{equation}
关于洛伦兹群更丰富的性质见洛伦兹群的李代数。
未完成：定理：在复数下只有一种正交群
辛群和紧辛群
未完成：定义
（广义）欧几里得群
未完成：定义
未完成：定义：伽利略群和庞加莱群
海森堡群
未完成：定义
性质
定理 1
矩阵李群是李群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子李群
未完成：单连通的文章
1. ^ 本文参考 [1]
[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.
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