矩阵李群

贡献者： Giacomo; _Eden_

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　一般线性群，域上的代数

1. 矩阵李群

　　¹ $M_{n} (C)$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $GL (n, C)$ 构成一个群，同时也是拓扑空间 $M_{n} (C)$ 的一个开集合（因此是个子流形）。

定义 1　矩阵李群

　　对于群 $GL (n, C)$ 的子群 $G$ ， $G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $GL (n, C)$ 的一个闭子集。Definition 1.4 [1]

　　对于一个矩阵李群 $G$ ，我们有 $G \subseteq GL (n, C) \subseteq M_{n} (C),$ $G$ 在 $GL (n, C)$ 中是闭的，但在 $M_{n} (C)$ 中不一定。

2. 例子

例 1　一般线性群和特殊线性群

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{r} GL (n, R) \subseteq GL (n, C) \end{array} \end{matrix}

为

R

上的一般线性群，它被定义为

GL (n, R) = {M \in M_{n} (n, R) : det M \neq 0}

。可以看出它是

n^{2}

维的李群。类似地，

GL (n, C)

为

2 n^{2}

维的李群（以下我们讨论的李群的维数都是它们作为实流形的维数）。

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} SL (n, C) \subseteq GL (n, C) \end{array} \end{matrix}

为

C

上的特殊线性群，它被定义为

{M \in M_{n} (n, C) : det M = 1}

，由于加了

det M = 1

的限制，它相当于

2 n^{2}

维流形上的一个

2 n^{2} - 2

维的超曲面，它是

2 n^{2} - 2

维的李群。

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} SL (n, R) \subseteq GL (n, C) \end{array} \end{matrix}

为

R

上的特殊线性群，由于加了

det M = 1

的限制，它相当于

n^{2}

维流形上的一个

n^{2} - 1

维的超曲面，它是

n^{2} - 1

维的李群。

幺正群和正交群

　　我们通常要研究某个 $n$ 维复空间上保内积的线性变换，即 $(u, v) = (M u, M v), \forall u, v \in C_{n}$ 。这也就意味着 $u^{†} v = u^{†} M^{†} M v$ 对于任意 $n$ 维复向量 $u, v$ 都成立，这类线性变换也被称作为幺正变换（或酉变换）。因此幺正群被定义为

\begin{matrix} (4) & \begin{array}{r} U (n) = {M \in M_{n} (n, C) : M^{†} M = I_{n}}, \end{array} \end{matrix}

可以证明

U (n)

是

n^{2}

维的李群。

　　类似地，在实空间上正交群 $O (n)$ 被定义为

\begin{matrix} (5) & \begin{array}{r} O (n) = {M \in M_{n} (n, R) : M^{T} M = I_{n}}, \end{array} \end{matrix}

可以证明

O (n)

是

\frac{1}{2} n (n + 1)

维李群。例如

n = 3

时

O (n)

是三维李群，它意味着三维空间旋转由三个连续自由度（参量）描述（除了连续自由度以外，还包括空间反演变换，这意味着正交群并非连通的李群，这也促使我们在数学上去严格地定义 “连通” 的概念……）。

广义正交群

未完成：定义

定义 2　洛伦兹群

　　洛伦兹群是满足以下条件的 $4 \times 4$ 矩阵所构成的群

\begin{matrix} (6) & Λ^{T} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) Λ = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}), \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (7) & O (1, 3) = {Λ \in M_{n} (4, R) : Λ^{T} η Λ = η} . \end{matrix}

　　关于洛伦兹群更丰富的性质见洛伦兹群的李代数。

未完成：定理：在复数下只有一种正交群

辛群和紧辛群

未完成：定义

（广义）欧几里得群

未完成：定义

未完成：定义：伽利略群和庞加莱群

海森堡群

未完成：定义

性质

预备知识 2　李群，紧致性，道路连通性，

定理 1　

　　矩阵李群是李群 $GL (n, C)$ 的子李群

习题 1　

　　证明它。

习题 2　

　　判断例子中的那些矩阵李群是

紧致的；
（道路）连通的；
单连通的。

未完成：单连通的文章

1. ^ 本文参考 [1]

[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.

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矩阵李群

1. 矩阵李群

定义 1 矩阵李群

2. 例子

例 1 一般线性群和特殊线性群

幺正群和正交群

广义正交群

定义 2 洛伦兹群

辛群和紧辛群

（广义）欧几里得群

海森堡群

性质

定理 1

习题 1

习题 2

定义 1　矩阵李群

例 1　一般线性群和特殊线性群

定义 2　洛伦兹群

定理 1　

习题 1　

习题 2　