矩阵李群

                     

贡献者: Giacomo; _Eden_

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 1 一般线性群,域上的代数

1. 矩阵李群

  1 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群,同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合(因此是个子流形)。

定义 1 矩阵李群

   对于群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子群 $G$,$G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的一个闭子集。Definition 1.4 [1]

   对于一个矩阵李群 $G$,我们有 $$ G \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \subseteq M_n(\mathbb{C})~, $$ $G$ 在 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 中是闭的,但在 $M_n(\mathbb{C})$ 中不一定。

2. 例子

例 1 一般线性群和特殊线性群

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的一般线性群,它被定义为 $ \operatorname {GL}(n,\mathbb R)=\{M\in M_n(n,\mathbb{R}): \det M\neq 0 \}$。 可以看出它是 $n^2$ 维的李群。类似地,${ \operatorname {GL}(n,\mathbb{C})}$ 为 $2n^2$ 维的李群(以下我们讨论的李群的维数都是它们作为实流形的维数)。

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {SL}(n, \mathbb{C}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb C$ 上的特殊线性群,它被定义为 $\{M\in M_n(n,\mathbb{C}): \det M=1 \}$,由于加了 $\det M=1$ 的限制,它相当于 $2n^2$ 维流形上的一个 $2n^2-2$ 维的超曲面,它是 $2n^2-2$ 维的李群。

\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname {SL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \end{aligned}~ \end{equation}
为 $\mathbb R$ 上的特殊线性群,由于加了 $\det M=1$ 的限制,它相当于 $n^2$ 维流形上的一个 $n^2-1$ 维的超曲面,它是 $n^2-1$ 维的李群。

幺正群和正交群

   我们通常要研究某个 $n$ 维复空间上保内积的线性变换,即 $(u,v)=(Mu,Mv),\forall u,v\in \mathbb{C}_n$。这也就意味着 $u^\dagger v=u^\dagger M^\dagger M v$ 对于任意 $n$ 维复向量 $u,v$ 都成立,这类线性变换也被称作为幺正变换(或酉变换)。因此幺正群被定义为

\begin{equation} \begin{aligned} U(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb C): M^\dagger M=I_n \}~, \end{aligned} \end{equation}
可以证明 $U(n)$ 是 $n^2$ 维的李群。

   类似地,在实空间上正交群 $O(n)$ 被定义为

\begin{equation} \begin{aligned} O(n)=\{ M\in M_n(n,\mathbb R): M^T M=I_n \}~, \end{aligned} \end{equation}
可以证明 $O(n)$ 是 $\frac{1}{2}n(n+1)$ 维李群。例如 $n=3$ 时 $O(n)$ 是三维李群,它意味着三维空间旋转由三个连续自由度(参量)描述(除了连续自由度以外,还包括空间反演变换,这意味着正交群并非连通的李群,这也促使我们在数学上去严格地定义 “连通” 的概念……)。

广义正交群

  

未完成:定义

定义 2 洛伦兹群

   洛伦兹群是满足以下条件的 $4\times 4$ 矩阵所构成的群

\begin{equation} \Lambda^T \begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix} \Lambda =\begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix}~, \end{equation}
或者
\begin{equation} O(1,3)=\{\Lambda\in M_n(4,\mathbb R):\Lambda^T\eta\Lambda=\eta\}~. \end{equation}

   关于洛伦兹群更丰富的性质见洛伦兹群的李代数

  

未完成:定理:在复数下只有一种正交群

辛群和紧辛群

  

未完成:定义

(广义)欧几里得群

  

未完成:定义
未完成:定义:伽利略群和庞加莱群

海森堡群

  

未完成:定义

性质

预备知识 2 李群紧致性,道路连通性

定理 1 

   矩阵李群是李群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子李群

习题 1 

   证明它。

习题 2 

   判断例子中的那些矩阵李群是

  • 紧致的;
  • (道路)连通的;
  • 单连通的。

  

未完成:单连通的词条


1. ^ 本文参考 [1]


[1] ^ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, GTM 222, Springer press.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利