矩阵李群

                     

贡献者: Giacomo

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预备知识 一般线性群,域上的代数

1. 矩阵李群

  1 $M_n(\mathbb{C})$ 是全体 $n \times n$ 复矩阵的集合。全体 $n \times n$ 可逆矩阵的集合 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 构成一个群,同时也是拓扑空间 $M_n(\mathbb{C})$ 的一个开集合(因此是个子流形)。

定义 1 矩阵李群

   对于群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子群 $G$,$G$ 被称为一个矩阵李群如果它是 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的一个闭子集。Definition 1.4 [11]

   对于一个矩阵李群 $G$,我们有 $$ G \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C}) \subseteq M_n(\mathbb{C}) $$ $G$ 在 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 中是闭的,但在 $M_n(\mathbb{C})$ 中不一定。

2. 例子

例 1 

   $$ \operatorname {SL}(n, \mathbb{C}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$ $$ \operatorname {GL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$ $$ \operatorname {SL}(n, \mathbb{R}) \subseteq \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$$

幺正群和正交群

  

未完成:定义

广义正交群

  

未完成:定义

  

未完成:定义:洛伦兹群

  

未完成:定理:在复数下只有一种正交群

辛群和紧辛群

  

未完成:定义

(广义)欧几里得群

  

未完成:定义
未完成:定义:伽利略群和庞加莱群

海森堡群

  

未完成:定义

性质

预备知识 李群,紧致性,道路连通性

定理 1 

   矩阵李群是李群 $ \operatorname {GL}(n, \mathbb{C})$ 的子李群

习题 1 

   证明它。

习题 2 

   判断例子中的那些矩阵李群是

  • 紧致的;
  • (道路)连通的;
  • 单连通的。

  

未完成:单连通的词条


1. ^ 本文参考 [11]


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