和乐群（向量丛）

贡献者： addis

　　 本节采用爱因斯坦求和约定。

　　 设 $M$ 是 $n$ 维微分流形，$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 和乐群

　　 固定一点 $p\in M$。考虑纤维 $E_p$ 上所有形如 $P_{\gamma }:E_p\to E_p$ 的平行移动，其中 $\gamma$ 是起终点都在 $p$ 处的 $C^1$ 道路。容易验证：$P_{\gamma }\cdot P_{\eta }=P_{\gamma \cdot \eta }$， 其中 $\gamma \cdot \eta$ 表示道路的复合。也容易验证沿着常值道路的平行移动是恒等变换，以及 $P_{\gamma }^{-1}=P_{{\gamma }^{-1}}$。因此所有形如这样的变换构成了 $E_p$ 上的一般线性群 $GL(E_p)$ 的子群，叫做 $D$ 的基点在 $p$ 处的和乐群（holonomy group），常记为 ${\text{Hol}}_p(D)$。

　　 如果 $q\in M$ 是另外一点，那么 ${\text{Hol}}_q(D)$ 与 ${\text{Hol}}_p(D)$ 是同构的：只需要构造任何连接 $p$ 和 $q$ 的光滑道路就可以了。如果限于考虑沿着零伦的闭道路的平行移动构成的群，则得到限制和乐群（restricted holonomy group），记为 ${\text{Hol}}_p^0(D)$。容易看出商群 ${\text{Hol}}_p(D)/{\text{Hol}}_p^0(D)$ 可作为基本群 ${\pi }_1(M)$ 的商群。

　　 群 ${\text{Hol}}_p(D)$ 和 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 都作为一般线性群 $GL(E_p)$ 的子群赋予拓扑。如果 $\gamma :S^1\to M$ 是基点为 $p$ 的零伦闭道路，那么存在同伦 ${\gamma }_u(t):[0,1]\times S^1\to M$ 使得 ${\gamma }_0(t)=\gamma (t)$，${\gamma }_1(t)\equiv p$。则每一个 $P_{{\gamma }_u}$ 都是 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 的元素，而且根据常微分方程的基本理论，$u\to P_{{\gamma }_u}$ 是连接 $P_{\gamma }$ 和 $\text{id}$ 的道路。这样一来 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 是 $GL(E_p)$ 的道路连通子群。山边英彦（Yamabe）定理说：李群的道路连通子群是李子群，因此${\text{Hol}}_p^0(D)$ 是 $GL(E_p)$ 的李子群。同理 ${\text{Hol}}_p(D)$ 也是李子群。${\text{Hol}}_p^0(D)$ 实际上是 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 的单位分支。

2. 和乐定理

　　 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 和 ${\text{Hol}}_p(D)$ 的李代数是一样的，因为二者的商群是可数的离散群。${\text{Hol}}_p^0(D)$ 的李代数叫做联络 $D$ 的基点为 $p$ 的和乐代数（holonomy algebra），记为 ${\mathfrak{h}}_p(D)$。 它是 $\text{End}(E_p)$ 的李子代数。

　　 嘉当（E. Cartan）给出了曲率算子的一个直观解释，揭示了曲率算子与和乐群之间的关系。固定两个切向量 $X,Y\in T_{p}M$。考虑从二维三角形 ${\mathrm{\Delta }}_2$ (二维方块 $[0,1{]}^2$ 的左下角) 到 $M$ 的光滑映射 $f:{\mathrm{\Delta }}_2\to M$，使得 $f(0,0)=p$，${\partial }_{x}f(0,0)=X$，${\partial }_{y}f(0,0)=Y$。令 $f_u(x,y):=f(ux,uy)$，这给出了从周线 $f_{\partial {\mathrm{\Delta }}_2}:\partial {\mathrm{\Delta }}_2\to M$ 到点 $p$ 的一个收缩同伦。设 $t$ 是周线 $f_{\partial {\mathrm{\Delta }}_2}$ 的弧长参数，并以 ${\gamma }_u$ 表示参数为 $u$ 的同伦闭道路。则 ${\gamma }_u(t)=f(ux(t),uy(t))$，而且容易算出 $${\frac{d}{du}{P}_u|}_{u=0}=0,{\frac{d^2}{d{u}^2}{P}_u|}_{u=0}=-2R(X,Y).$$ 粗略来说，这表示"绕小周线一周"得到的平行移动算子实际上是由曲率算子给出的。将这个命题精细化，就可看出和乐群 ${\text{Hol}}_p^0(D)$ 的无穷小生成元（也就是 ${\mathfrak{h}}_p(D)$ 的元素）是曲率算子。由此可得到和乐定理（holonomy theorem）：