和乐群(向量丛)

                     

贡献者: addis

预备知识 平行性(向量丛)

   本节采用爱因斯坦求和约定。

   设 $M$ 是 $n$ 维微分流形,$E$ 是其上秩为 $k$ 的光滑向量丛。设给定了 $E$ 上的联络 $D$。

1. 和乐群

   固定一点 $p\in M$。考虑纤维 $E_p$ 上所有形如 $P_\gamma:E_p\to E_p$ 的平行移动,其中 $\gamma$ 是起终点都在 $p$ 处的 $C^1$ 道路。容易验证:$P_\gamma\cdot P_\eta=P_{\gamma\cdot\eta}$, 其中 $\gamma\cdot\eta$ 表示道路的复合。也容易验证沿着常值道路的平行移动是恒等变换,以及 $P_\gamma^{-1}=P_{\gamma^{-1}}$。因此所有形如这样的变换构成了 $E_p$ 上的一般线性群 $GL(E_p)$ 的子群,叫做 $D$ 的基点在 $p$ 处的和乐群(holonomy group),常记为 $\text{Hol}_p(D)$。

   如果 $q\in M$ 是另外一点,那么 $\text{Hol}_q(D)$ 与 $\text{Hol}_p(D)$ 是同构的:只需要构造任何连接 $p$ 和 $q$ 的光滑道路就可以了。如果限于考虑沿着零伦的闭道路的平行移动构成的群,则得到限制和乐群(restricted holonomy group),记为 $\text{Hol}^0_p(D)$。容易看出商群 $\text{Hol}_p(D)/\text{Hol}_p^0(D)$ 可作为基本群 $\pi_1(M)$ 的商群。

   群 $\text{Hol}_p(D)$ 和 $\text{Hol}_p^0(D)$ 都作为一般线性群 $GL(E_p)$ 的子群赋予拓扑。如果 $\gamma:S^1\to M$ 是基点为 $p$ 的零伦闭道路,那么存在同伦 $\gamma_u(t):[0,1]\times S^1\to M$ 使得 $\gamma_0(t)=\gamma(t)$,$\gamma_1(t)\equiv p$。则每一个 $P_{\gamma_u}$ 都是 $\text{Hol}_p^0(D)$ 的元素,而且根据常微分方程的基本理论,$u\to P_{\gamma_u}$ 是连接 $P_\gamma$ 和 $\text{id}$ 的道路。这样一来 $\text{Hol}_p^0(D)$ 是 $GL(E_p)$ 的道路连通子群。山边英彦(Yamabe)定理说:李群的道路连通子群是李子群,因此$\text{Hol}_p^0(D)$ 是 $GL(E_p)$ 的李子群。同理 $\text{Hol}_p(D)$ 也是李子群。$\text{Hol}_p^0(D)$ 实际上是 $\text{Hol}_p^0(D)$ 的单位分支。

2. 和乐定理

   $\text{Hol}_p^0(D)$ 和 $\text{Hol}_p(D)$ 的李代数是一样的,因为二者的商群是可数的离散群。$\text{Hol}_p^0(D)$ 的李代数叫做联络 $D$ 的基点为 $p$ 的和乐代数(holonomy algebra),记为 $\mathfrak{h}_p(D)$。 它是 $\text{End}(E_p)$ 的李子代数。

   嘉当(E. Cartan)给出了曲率算子的一个直观解释,揭示了曲率算子与和乐群之间的关系。固定两个切向量 $X,Y\in T_pM$。考虑从二维三角形 $\Delta_2$ (二维方块 $[0,1]^2$ 的左下角) 到 $M$ 的光滑映射 $f:\Delta_2\to M$,使得 $f(0,0)=p$,$\partial_xf(0,0)=X$,$\partial_yf(0,0)=Y$。令 $f_u(x,y):=f(ux,uy)$,这给出了从周线 $f_{\partial\Delta_2}:\partial\Delta_2\to M$ 到点 $p$ 的一个收缩同伦。设 $t$ 是周线 $f_{\partial\Delta_2}$ 的弧长参数,并以 $\gamma_u$ 表示参数为 $u$ 的同伦闭道路。则 $\gamma_u(t)=f(ux(t),uy(t))$,而且容易算出 $$ \left.\frac{d}{du}P_u\right|_{u=0}=0,\,\left.\frac{d^2}{du^2}P_u\right|_{u=0}=-2R(X,Y)~. $$ 粗略来说,这表示"绕小周线一周"得到的平行移动算子实际上是由曲率算子给出的。将这个命题精细化,就可看出和乐群 $\text{Hol}_p^0(D)$ 的无穷小生成元(也就是 $\mathfrak{h}_p(D)$ 的元素)是曲率算子。由此可得到和乐定理(holonomy theorem):

定理 1 Ambrose-Singer 和乐定理,向量丛版本

   设 $R$ 是联络 $D$ 的曲率算子。则对于任何一点 $p\in M$,和乐代数 $\mathfrak{h}_p(D)$ 是由变换 $\{R(X,Y):X,Y\in T_pM\}$ 的集合生成的。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利