洛伦兹群的李代数

贡献者： _Eden_

预备知识 1　矩阵李群

1. 简单回顾

　　洛伦兹群是一种广义正交群 $O (1, 3)$ （有时也可以用 $O (3, 1)$ 来表示洛伦兹群，两种表示是等价的），它描述了在狭义相对论中不同惯性系之间的坐标变换。洛伦兹群保持时空间隔不变，即两个事件之间的 $Δ t^{2} - | Δ r |^{2}$ ，这也源自于 $O (1, 3)$ 群的定义：

\begin{matrix} (1) & \forall Λ \in O (1, 3), Λ^{T} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) Λ = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}), \end{matrix}

即

\begin{matrix} (2) & Λ^{μ}_{ν} η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} = η_{ν σ} . \end{matrix}

如果用洛伦兹四矢量¹

x^{μ}

作用于上式的左右两侧，可以得到

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} x^{ν} Λ^{μ}_{ν} η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} y^{σ} = η_{ν σ} x^{ν} y^{σ} \\ \Rightarrow (Λ x) \cdot (Λ y) = x \cdot y . \end{aligned} \end{matrix}

即狭义相对论时空中的任意两个四矢量的内积（度规为闵可夫斯基度规

η_{μ ν} = d i a g {1, - 1, - 1, - 1}

）在洛伦兹变换下不变。也就是说，

O (1, 3)

的另一种等价的表述是：

定义 1　

　　 $O (1, 3)$ 是闵氏时空上所有保闵科夫斯基度规的线性变换所构成的群。

　　一些更丰富的物理涵义可以参考洛伦兹群文章，包括协变矢量与逆变矢量、洛伦兹四矢量、洛伦兹标量的定义。

2. 洛伦兹群的李代数

预备知识 2　李群的李代数

　　洛伦兹群包括两种连续变换（旋转、推促）和两种离散变换（时间反演和空间反演），而旋转共有 $3$ 个自由度，推促共有 $3$ 个自由度，说明洛伦兹群是个 $6$ 维的李群，其李代数也是 $6$ 维的实李代数。

　　为了了解洛伦兹群的一个连通分支的性质，研究其李代数是非常重要的。下面我们将研究其李代数的性质。首先写出它的李代数的生成元：根据矩阵李群的求李代数的一般方法，我们可以假设无穷小变换 $Λ = I + ϵ X$ ，那么

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} Λ^{T} η Λ = (I + ϵ X^{T}) η (I + ϵ X) = η, \\ ϵ (X^{T} η + η X) + O (ϵ^{2}) = 0, \end{aligned} \end{matrix}

由此可以得到

X^{T} η + η X = 0

，即

η X η = - X^{T}

。由此我们可以写出满足条件的六个生成元：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} L^{1} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}), L^{2} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}), L^{3} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}), \\ K^{1} = (\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}), K^{2} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}), K^{3} = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

注意这里的生成元与一般物理里面的使用习惯可能差一个

i

的系数，这是由于物理中对生成元的定义的不同。下面我们写出这些生成元之间的对易关系：

\begin{matrix} (6) & [L^{i}, L^{j}] = ϵ^{i j k} L^{k}, [L^{i}, K^{j}] = ϵ^{i j k} K^{k}, [K^{i}, K^{j}] = - ϵ^{i j k} L^{k}, \end{matrix}

这组对易关系实际上表达了洛伦兹群的一个连通分支的所有信息。我们可以通过指数映射从矩阵李代数重新得到矩阵李群的元素。

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} e^{t L_{1}} & = (I + \frac{t^{2} L_{1}^{2}}{2!} - \frac{t^{4} L_{1}^{2}}{4!} + \dots) + (t L_{1} + \frac{- t^{3} L_{1}}{3!} + \frac{t^{5} L_{1}}{5!} + \dots), \\ = I + (\cos t - 1) (- L_{1}^{2}) + \sin t L_{1}, \\ = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos t & - \sin t \\ 0 & 0 & \sin t & \cos t \end{array}) . \\ e^{t L_{2}} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & 0 & \sin t \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \sin t & 0 & \cos t \end{array}) . \\ e^{t L_{3}} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & - \sin t & 0 \\ 0 & \sin t & \cos t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) . \\ e^{t K_{1}} & = (I + \frac{t^{2} K_{1}^{2}}{2!} + \frac{t^{4} K_{1}^{4}}{4!}) + (t K_{1} + \frac{t^{3} K_{1}^{3}}{3!} + \frac{t^{5} K_{1}^{5}}{5!} + \dots) \\ = I + (\cosh (t) - 1) K_{1}^{2} + \sinh (t) K_{1}, \\ = (\begin{array}{c} \cosh t & \sinh t & 0 & 0 \\ \sinh t & \cosh t & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) . \\ e^{t K_{2}} & = (\begin{array}{c} \cosh t & 0 & \sinh t & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sinh t & 0 & \cosh t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) . \\ e^{t K_{3}} & = (\begin{array}{c} \cosh t & 0 & 0 & \sinh t \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sinh t & 0 & 0 & \cosh t \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

可以看到，

L_{1}, L_{2}, L_{3}

实际上就是旋转变换的生成元，而

K_{1}, K_{2}, K_{3}

是推促变换的生成元。

1. ^ 四矢量实际上位于洛伦兹群的矩阵表示，即我们通常说的 $x^{'} = Λ x$ 。

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