洛伦兹群的李代数

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 1 矩阵李群

1. 简单回顾

   洛伦兹群是一种广义正交群 $O(1,3)$(有时也可以用 $O(3,1)$ 来表示洛伦兹群,两种表示是等价的),它描述了在狭义相对论中不同惯性系之间的坐标变换。洛伦兹群保持时空间隔不变,即两个事件之间的 $\Delta t^2-|\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} |^2$,这也源自于 $O(1,3)$ 群的定义:

\begin{equation} \forall \Lambda \in O(1,3),\quad \Lambda^T \begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix}\Lambda =\begin{pmatrix} 1&&&\\ &-1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{pmatrix}~, \end{equation}
\begin{equation} \Lambda^\mu{}_{\nu} \eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}=\eta_{\nu\sigma}~. \end{equation}
如果用洛伦兹四矢量1 $x^\mu$ 作用于上式的左右两侧,可以得到
\begin{equation} \begin{aligned} &x^\nu \Lambda^{\mu}{}_\nu \eta_{\mu\rho} \Lambda^\rho{}_\sigma y^\sigma=\eta_{\nu\sigma} x^\nu y^\sigma\\ &\Rightarrow (\Lambda x)\cdot (\Lambda y)=x\cdot y~. \end{aligned} \end{equation}
即狭义相对论时空中的任意两个四矢量的内积(度规为闵可夫斯基度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm diag\{1,-1,-1,-1\}$)在洛伦兹变换下不变。也就是说,$O(1,3)$ 的另一种等价的表述是:

定义 1 

   $O(1,3)$ 是闵氏时空上所有保闵科夫斯基度规的线性变换所构成的群。

   一些更丰富的物理涵义可以参考洛伦兹群文章,包括协变矢量与逆变矢量、洛伦兹四矢量、洛伦兹标量的定义。

2. 洛伦兹群的李代数

预备知识 2 李群的李代数

   洛伦兹群包括两种连续变换(旋转、推促)和两种离散变换(时间反演和空间反演),而旋转共有 $3$ 个自由度,推促共有 $3$ 个自由度,说明洛伦兹群是个 $6$ 维的李群,其李代数也是 $6$ 维的实李代数。

   为了了解洛伦兹群的一个连通分支的性质,研究其李代数是非常重要的。下面我们将研究其李代数的性质。首先写出它的李代数的生成元: 根据矩阵李群的求李代数的一般方法,我们可以假设无穷小变换 $\Lambda=I+\epsilon X$,那么

\begin{equation} \begin{aligned} &\Lambda^T \eta \Lambda = (I+\epsilon X^T)\eta (I+\epsilon X)=\eta~,\\ &\epsilon (X^T \eta + \eta X)+O(\epsilon^2)=0~, \end{aligned} \end{equation}
由此可以得到 $X^T\eta+\eta X=0$,即 $\eta X \eta = -X^T$。由此我们可以写出满足条件的六个生成元:
\begin{equation} \begin{aligned} &L^1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} ,\quad L^2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad L^3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~,\\ & K^1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad K^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\quad K^3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~. \end{aligned} \end{equation}
注意这里的生成元与一般物理里面的使用习惯可能差一个 $i$ 的系数,这是由于物理中对生成元的定义的不同。下面我们写出这些生成元之间的对易关系:
\begin{equation} [L^i,L^j]=\epsilon^{ijk}L^k,\quad [L^i,K^j]=\epsilon^{ijk}K^k,\quad [K^i,K^j]=-\epsilon^{ijk}L^k~, \end{equation}
这组对易关系实际上表达了洛伦兹群的一个连通分支的所有信息。我们可以通过指数映射从矩阵李代数重新得到矩阵李群的元素。
\begin{equation} \begin{aligned} e^{tL_1}&=(I+\frac{t^2L_1^2}{2!}-\frac{t^4L_1^2}{4!}+\cdots)+(tL_1+\frac{-t^3L_1}{3!}+\frac{t^5L_1}{5!}+\cdots)~,\\ &=I+(\cos t-1)(-L_1^2)+\sin t L_1~,\\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cos t & -\sin t\\ 0 & 0 & \sin t & \cos t \end{pmatrix}~.\\ e^{tL_2}&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos t & 0 & \sin t\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -\sin t & 0 & \cos t \end{pmatrix}~.\\ e^{tL_3}&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos t & -\sin t & 0\\ 0 & \sin t & \cos t & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~. \\ e^{tK_1}&=(I+\frac{t^2K_1^2}{2!}+\frac{t^4K_1^4}{4!})+(tK_1+\frac{t^3K_1^3}{3!}+\frac{t^5K_1^5}{5!}+\cdots)\\ &=I+( \cosh\left(t\right) -1)K_1^2+ \sinh\left(t\right) K_1~,\\ &=\begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t & 0 & 0\\ \sinh t & \cosh t & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~. \\ e^{t K_2}&=\begin{pmatrix} \cosh t & 0 & \sinh t & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \sinh t & 0 & \cosh t & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~. \\ e^{t K_3}&=\begin{pmatrix} \cosh t & 0 & 0 & \sinh t\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \sinh t & 0 & 0 & \cosh t \end{pmatrix}~. \end{aligned} \end{equation}
可以看到,$L_1,L_2,L_3$ 实际上就是旋转变换的生成元,而 $K_1,K_2,K_3$ 是推促变换的生成元。


1. ^ 四矢量实际上位于洛伦兹群的矩阵表示,即我们通常说的 $x'=\Lambda x$。


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