贡献者： _Eden_
1. 简单回顾
洛伦兹群是一种广义正交群 $O(1,3)$（有时也可以用 $O(3,1)$ 来表示洛伦兹群，两种表示是等价的），它描述了在狭义相对论中不同惯性系之间的坐标变换。洛伦兹群保持时空间隔不变，即两个事件之间的 $\Delta t^2-|\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} |^2$，这也源自于 $O(1,3)$ 群的定义：
\begin{equation}
\forall \Lambda \in O(1,3),\quad \Lambda^T \begin{pmatrix}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{pmatrix}\Lambda =\begin{pmatrix}
1&&&\\
&-1&&\\
&&-1&\\
&&&-1
\end{pmatrix}~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\Lambda^\mu{}_{\nu} \eta_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}{}_{\sigma}=\eta_{\nu\sigma}~.
\end{equation}
如果用洛伦兹四矢量
1 $x^\mu$ 作用于上式的左右两侧，可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&x^\nu \Lambda^{\mu}{}_\nu \eta_{\mu\rho} \Lambda^\rho{}_\sigma y^\sigma=\eta_{\nu\sigma} x^\nu y^\sigma\\
&\Rightarrow (\Lambda x)\cdot (\Lambda y)=x\cdot y~.
\end{aligned}
\end{equation}
即狭义相对论时空中的任意两个四矢量的内积（度规为闵可夫斯基度规 $\eta_{\mu\nu}=\rm diag\{1,-1,-1,-1\}$）在洛伦兹变换下不变。也就是说，$O(1,3)$ 的另一种等价的表述是：
定义 1
$O(1,3)$ 是闵氏时空上所有保闵科夫斯基度规的线性变换所构成的群。
一些更丰富的物理涵义可以参考洛伦兹群文章，包括协变矢量与逆变矢量、洛伦兹四矢量、洛伦兹标量的定义。
2. 洛伦兹群的李代数
洛伦兹群包括两种连续变换（旋转、推促）和两种离散变换（时间反演和空间反演），而旋转共有 $3$ 个自由度，推促共有 $3$ 个自由度，说明洛伦兹群是个 $6$ 维的李群，其李代数也是 $6$ 维的实李代数。
为了了解洛伦兹群的一个连通分支的性质，研究其李代数是非常重要的。下面我们将研究其李代数的性质。首先写出它的李代数的生成元：
根据矩阵李群的求李代数的一般方法，我们可以假设无穷小变换 $\Lambda=I+\epsilon X$，那么
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\Lambda^T \eta \Lambda = (I+\epsilon X^T)\eta (I+\epsilon X)=\eta~,\\
&\epsilon (X^T \eta + \eta X)+O(\epsilon^2)=0~,
\end{aligned}
\end{equation}
由此可以得到 $X^T\eta+\eta X=0$，即 $\eta X \eta = -X^T$。由此我们可以写出满足条件的六个生成元：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&L^1=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
,\quad
L^2=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
,\quad
L^3=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}~,\\
& K^1=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
,\quad
K^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
,\quad K^3=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意这里的生成元与一般物理里面的使用习惯可能差一个 $i$ 的系数，这是由于物理中对生成元的定义的不同。下面我们写出这些生成元之间的对易关系：
\begin{equation}
[L^i,L^j]=\epsilon^{ijk}L^k,\quad
[L^i,K^j]=\epsilon^{ijk}K^k,\quad
[K^i,K^j]=-\epsilon^{ijk}L^k~,
\end{equation}
这组对易关系实际上表达了洛伦兹群的一个连通分支的所有信息。我们可以通过指数映射从矩阵李代数重新得到矩阵李群的元素。
\begin{equation}
\begin{aligned}
e^{tL_1}&=(I+\frac{t^2L_1^2}{2!}-\frac{t^4L_1^2}{4!}+\cdots)+(tL_1+\frac{-t^3L_1}{3!}+\frac{t^5L_1}{5!}+\cdots)~,\\
&=I+(\cos t-1)(-L_1^2)+\sin t L_1~,\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \cos t & -\sin t\\
0 & 0 & \sin t & \cos t
\end{pmatrix}~.\\
e^{tL_2}&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos t & 0 & \sin t\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -\sin t & 0 & \cos t
\end{pmatrix}~.\\
e^{tL_3}&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & \cos t & -\sin t & 0\\
0 & \sin t & \cos t & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}~.
\\
e^{tK_1}&=(I+\frac{t^2K_1^2}{2!}+\frac{t^4K_1^4}{4!})+(tK_1+\frac{t^3K_1^3}{3!}+\frac{t^5K_1^5}{5!}+\cdots)\\
&=I+( \cosh\left(t\right) -1)K_1^2+ \sinh\left(t\right) K_1~,\\
&=\begin{pmatrix}
\cosh t & \sinh t & 0 & 0\\
\sinh t & \cosh t & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}~.
\\
e^{t K_2}&=\begin{pmatrix}
\cosh t & 0 & \sinh t & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
\sinh t & 0 & \cosh t & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}~.
\\
e^{t K_3}&=\begin{pmatrix}
\cosh t & 0 & 0 & \sinh t\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\sinh t & 0 & 0 & \cosh t
\end{pmatrix}~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以看到，$L_1,L_2,L_3$ 实际上就是旋转变换的生成元，而 $K_1,K_2,K_3$ 是推促变换的生成元。
1. ^ 四矢量实际上位于洛伦兹群的矩阵表示，即我们通常说的 $x'=\Lambda x$。
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