调和数（基础）

贡献者： hfb25

预备知识　数论函数，Euler-Mascheroni 常数

　　调和级数是有名的发散级数，也是最简单的发散级数之一。既然我们不能求出发散级数的值，那我们总能计算出它的部分和，或是它趋向无穷大的阶吧。但是实际上它的部分和没有特别简单的表达式，于是，一个简单粗暴的方法是，直接把调和级数的部分和定义为一个数论函数。

定义 1　调和数

　　第 $n$ 调和数 $H_{n}$ 定义为调和级数的第 $n$ 部分和，即

\begin{matrix} (1) & H_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} . \end{matrix}

　　可以通过积分的方法给出 $H_{n}$ 的阶。

定理 1　调和数的阶

　　当 $n \to \infty$ 时，

\begin{matrix} (2) & H_{n} = \log n + γ + O (1 / n) . \end{matrix}

其中

γ

称为 Euler-Mascheroni 常数。

　　证明:

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} H_{n} & = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \int_{n}^{n + 1} \frac{1}{n} d t \\ = \sum_{i = 1}^{n} \int_{n}^{n + 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{t}) d t + \int_{1}^{t + 1} \frac{1}{t} d t \\ = \log n + \sum_{i = 1}^{n} \int_{n}^{n + 1} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t + \log (1 + \frac{1}{n}) \\ = \log n + \int_{1}^{n + 1} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t + \log (1 + \frac{1}{n}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　我们来考察次项这个积分趋近无限时的表现，

\begin{matrix} (4) & \int_{n}^{n + 1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{t}) d t < \frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{n^{2}}, \end{matrix}

可以知道，级数

\begin{matrix} (5) & \sum_{i = 1}^{+ \infty} \int_{n}^{n + 1} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t \end{matrix}

收敛，也就是积分收敛。令

\begin{matrix} (6) & γ = \int_{1}^{+ \infty} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t = \sum_{i = 1}^{+ \infty} \int_{n}^{n + 1} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t, \end{matrix}

我们得到

\begin{aligned} \int_{1}^{n + 1} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t & = γ - \int_{n + 1}^{+ \infty} (\frac{1}{⌊ t ⌋} - \frac{1}{t}) d t \end{aligned}

　　进而有

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调和数（基础）

定义 1 调和数

定理 1 调和数的阶

定义 1　调和数

定理 1　调和数的阶