自然常数（数学分析）

贡献者： _Eden_; Giacomo

预备知识　极限存在的判据

1. 自然常数的定义

定义 1　自然常数

　　定义序列 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 的极限为自然常数，即自然对数的底数，常记为 $e$ .

　　证明 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ 的敛散性需要用到数列极限的性质。记 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}, n \in N$ ，那么（由均值不等式）可以推出

\begin{matrix} (1) & \frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = \frac{(n + 2)^{n + 1} n^{n}}{(n + 1)^{2 n + 1}} > 1, \end{matrix}

所以

{x_{n}}

是单调递增序列。

　　如果能再证明该序列的有界性，就可以由单调收敛定理证明它是收敛的。

　　由二项式定理：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} x_{n} & = 1 + (\binom{n}{1}) \frac{1}{n} + (\binom{n}{2}) \frac{1}{n^{2}} + \dots + (\binom{n}{n}) \frac{1}{n^{n}} \\ < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} \\ \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n - 1}} \\ < 3, \end{aligned} \end{matrix}

　　这样就能推出 ${x_{n}}$ 的有界性。由此我们证明了，序列 ${x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}}$ 是单调递增且有上界的，因此它收敛

2. 自然常数的性质

　　记 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}, y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}, n \in N$ 。我们已经分析过序列 ${x_{n}}$ 的性质，现在来考察 ${y_{n}}$ 的性质。

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{y_{n}}{y_{n + 1}} & = \frac{(n + 1)^{2 n + 3}}{n^{n + 1} (n + 2)^{n + 2}} = {(\frac{n^{2} + 2 n + 1}{n^{2} + 2 n})}^{n + 1} \frac{n + 1}{n + 2} \\ = (1 + \frac{1}{n^{2} + 2 n})^{n + 1} \frac{n + 1}{n + 2} > (1 + \frac{n + 1}{n^{2} + 2 n}) \frac{n + 1}{n + 2} （伯努利不等式） \\ = \frac{n^{3} + 4 n^{2} + 4 n + 1}{n^{3} + 4 n^{2} + 4 n} > 1 . \end{aligned} \end{matrix}

再由

x_{n} < y_{n}

可知：

{y_{n}}

单调下降有下界，

{x_{n}}

单调上升有上界，两个序列极限存在。

　　又因为 $lim_{n \to \infty} x_{n} / y_{n} = 1$ ，所以两个序列极限相等，都是自然常数 $e$ ：

\begin{matrix} (4) & lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} = e, \end{matrix}

　　现在来考察另一个序列 $S_{n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!}$ 。式 2 已经证明了 $x_{n} < S_{n} < 3$ 。容易证明 ${S_{n}}$ 单调递增有上界，因此 ${S_{n}}$ 也有极限。

　　利用二项式定理，通过不懈的努力（利用序列极限的性质），可以证明 ${S_{n}}$ 的极限就等于自然常数。这也暗示了 $e^{x}$ 的泰勒展开公式就是

\begin{matrix} (5) & e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} x^{n} + o (x^{n}) . \end{matrix}

3. 自然对数函数

　　我们定义：当 $f (x) = e^{x}$ ，的反函数为 $f^{'} (x) = \ln (x)$ 。即 $\ln (e^{x}) = x$ 。

　　对不等式 $x_{n} < e < y_{n}$ 两边取 $\ln$ ，我们可以得到不等式：

\begin{matrix} (6) & n \ln (1 + \frac{1}{n}) < 1 < (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n}), \forall n \in N . \end{matrix}

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自然常数（数学分析）

1. 自然常数的定义

定义 1 自然常数

2. 自然常数的性质

3. 自然对数函数

定义 1　自然常数