自然对数的底数(数学分析)

             

贡献者: _Eden_; addis; DTSIo

预备知识 极限存在的判据

1. 自然对数底的定义

定义 1 自然对数的底

   定义序列 $\{ \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\}$ 的极限为自然对数的底数,常记为 $ \mathrm{e} $.

   证明 $\{(1+\frac{1}{n})^n\}$ 的敛散性需要用到数列极限的性质. 记 $x_n=(1+\frac{1}{n})^n, n\in \mathbb{N}$,那么(由均值不等式)可以推出

\begin{equation} \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+2)^{n+1}n^{n}}{(n+1)^{2n+1}} > 1 \end{equation}
所以 $\{x_n\}$ 是单调递增序列.

   如果能再证明该序列的有界性,就可以由单调收敛定理 证明它是收敛的.

   由二项式定理:

\begin{equation} \begin{aligned} x_n&=1+{n\choose 1}\frac{1}{n}+{n\choose 2}\frac{1}{n^2}+\cdots+{n\choose n}\frac{1}{n^n}\\ & < 1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\ &\leq1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^{n-1}}\\ & < 3 \end{aligned} \end{equation}

   这样就能推出 $\{x_n\}$ 的有界性.由此我们证明了,序列 $\{x_n=(1+\frac{1}{n})^n\}$ 是单调递增且有上界的,因此它收敛

2. 自然对数的性质

   记 $x_n=(1+\frac{1}{n})^n,y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}, n\in \mathbb{N}$.我们已经分析过序列 $\{x_n\}$ 的性质,现在来考察 $\{y_n\}$ 的性质.

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{y_n}{y_{n+1}}&=\frac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}}=\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)^{n+1}\frac{n+1}{n+2}\\ &=(1+\frac{1}{n^2+2n})^{n+1}\frac{n+1}{n+2} > \left(1+\frac{n+1}{n^2+2n}\right)\frac{n+1}{n+2} \text{(伯努利不等式)}\\ &=\frac{n^3+4n^2+4n+1}{n^3+4n^2+4n} > 1 \end{aligned} \end{equation}
再由 $x_n < y_n$ 可知:$\{y_n\}$ 单调下降有下界,$\{x_n\}$ 单调上升有上界,两个序列极限存在.

   又因为 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n/y_n = 1$,所以两个序列极限相等,都是自然对数 $e$:

\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e \end{equation}

   现在来考察另一个序列 $S_n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}$.式 2 已经证明了 $x_n < S_n<3$.容易证明 $\{S_n\}$ 单调递增有上界,因此 $\{S_n\}$ 也有极限.

   利用二项式定理,通过不懈的努力(利用序列极限的性质),可以证明 $\{S_n\}$ 的极限就等于自然对数.这也暗示了 $e^x$ 的泰勒展开公式就是

\begin{equation} e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n +o(x^n) \end{equation}

3. 对数函数

   我们定义:当 $f(x)=e^x$,的反函数为 $f'(x)= \ln\left(x\right) $.即 $ \ln\left(e^x\right) =x$.

   对不等式 $x_n < e < y_n$ 两边取 $\ln$,我们可以得到不等式:

\begin{equation} n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 < (n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right), \forall n \in \mathbb{N} \end{equation}


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