霍奇星算子

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 外导数,体积形式

  

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1. 星算子的定义

   考虑 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $\bigwedge V$,我们注意到各阶的外积空间具有明显的对称性:$ \operatorname {dim}\bigwedge^k V=C^k_n=C^{n-k}_n= \operatorname {dim}\bigwedge^{n-k} V$.这意味着这样的一对空间之间存在线性同构,我们使用星算子 $\star$ 来描述这一同构.

定义前的准备

   星算子是一个映射,把一个 $\bigwedge^k V$ 中的元素 $\omega$ 映射为一个 $\bigwedge^{n-k} V$ 中的元素 $\star\omega$.为了方便定义星算子,我们要先扩张一下内积的定义:

定义 1 $k$-向量的内积

  

   设线性空间上有内积,即对于向量 $\alpha$ 和 $\beta$,有内积 $\langle \alpha, \beta \rangle$.

   给定向量 $\alpha_i$ 和 $\beta_j$,构成两个 $k$-向量 $\omega_\alpha=\alpha_1\wedge \alpha_2\wedge \cdots\wedge \alpha_k$ 和 $\omega_\beta=\beta_1\wedge \beta_2\wedge \cdots\wedge \beta_k$.则这两个 $k$-向量的内积定义为

\begin{equation} \langle\omega_\alpha, \omega_\beta\rangle = \det \begin{pmatrix}\langle \alpha_i, \beta_j \rangle_{i, j=1}^k\end{pmatrix} \end{equation}
即用各 $\langle \alpha_i, \beta_j \rangle$ 构成的方阵的行列式.

   显然,如果有某个 $\beta_j$ 正交于所有 $\alpha_i$,那么式 1 就是 $0$.这一点对于霍奇星算子的性质很重要.

例 1 $2$-向量的内积

   设二维欧几里得空间有极坐标的坐标函数 $r$ 和 $\theta$,诱导出余切向量的基 $\{ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \}$.于是,基向量的内积为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{r} \rangle &= 1\\ \langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle &= 0 = \langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{r} \rangle\\ \langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle &= \frac{1}{r^2} \end{aligned}\right. \end{equation}

   构造 $2$-向量 $\omega_1=a_1 \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 和 $\omega_2=a_2 \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $,则它们的内积为

\begin{equation} \begin{aligned} \langle\omega_1, \omega_2\rangle &= a_1a_2\det \begin{pmatrix} \langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{r} \rangle&\langle \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle\\ \langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{r} \rangle&\langle \,\mathrm{d}{\theta} , \,\mathrm{d}{\theta} \rangle \end{pmatrix} \\ &= \frac{a_1a_2}{r^2} \end{aligned} \end{equation}

   另一等价所需要的预备知识则是如下定义的复杂指标.

定义 2 复杂指标(正整数指标)

   给定正整数指标集合 $\Gamma=\{1, 2, \cdots, n\}$.设 $I$ 是 $\Gamma$ 的 $k$ 次有序子集,即对于一个正整数 $k\leq n$,存在一个置换 $\sigma\in S_n$,将 $I$ 表示为 $(\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(k))$.

   再定义 $I$ 的补集 $\bar{I}=(\sigma(k+1), \cdots, \sigma(n))$,如果 $k=n$ 则 $\bar{I}=\varnothing$.

   则光滑函数 $\omega_{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(k)}$ 表示为 $\omega_I$,向量 $v^{\sigma(1)}\wedge v^{\sigma(2)}\wedge \cdots\wedge v^{\sigma(k)}$ 表示为 $v^I$.

   复杂指标也应用爱因斯坦求和约定:$\omega_I v^I$ 是 $I$ 遍历所有 $k$ 次有序子集、或者特别声明的范围后,所得结果的乘积.

   可以看到,之所以要求 $I$ 是有序的,是因为外积有次序要求.定义中使用正整数是为了方便,实际上复杂指标的概念也可以推广到任意指标集合上.

例 2 复杂指标的一个例子

   设 $I$ 的取值范围为 $\{(1, 2), (2, 3), (3, 1)\}$,那么 $\omega_{1,2} \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2+\omega_{2,3} \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3+\omega_{3, 1} \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^1$ 表示为 $\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^I$.

   特别地,外导数可以表示为

\begin{equation} \,\mathrm{d}\left(\omega_I \,\mathrm{d}{x} ^I \right) = \,\mathrm{d}{\omega} _I\wedge \,\mathrm{d}{x} ^I \end{equation}

星算子的定义

定义 3 霍奇星算子

  

   在 $n$ 维线性空间 $V$ 的外代数 $\bigwedge V$ 上任取$k$-向量 $\alpha$ 和 $\beta$,且有标准正交基 $\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$.为方便,记 $\omega=e_1\wedge e_2\wedge \cdots\wedge e_n$1.定义映射 $\star:\bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$ 如下:

\begin{equation} \alpha\wedge \star\beta = \langle\alpha, \beta\rangle\omega \end{equation}
称 $\star$ 是 $\bigwedge V$ 上的霍奇星算子(Hodge star operator 或 Hodge star),或霍奇对偶(Hodge dual)

   使用复杂指标可以得到另一种定义方式:

定理 1 霍奇星算子(等价定义)

   设 $I$ 是定义 1 中描述的一个复杂指标,$\bar{I}$ 是其补,$\{e_1, e_2, \cdots, e_n\}$ 是线性空间的一组标准正交基,则

\begin{equation} \star e_I = ( \operatorname {sign}\sigma) e_{\overline{I}} \end{equation}

   欧几里得空间中,如果用通常的标准正交坐标系,坐标函数为 $x^1, x^2, \cdots, x^n$,那么体积形式为 $ \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n$,于是

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^2 &= \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n\\ \star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^3 &= - \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n \end{aligned}\right. \end{equation}

   如果流形上坐标函数仍记为 $x^1, x^2, \cdots, x^n$,而某处的体积形式为 $\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n$,则式 7 的例子应变为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \frac{\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^2}{\langle \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2, \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\rangle} &= \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^3\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n\\ \frac{\star \,\mathrm{d}{x} ^1 \wedge \,\mathrm{d}{x} ^3}{\langle \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3, \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^3\rangle} &= -\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \,\mathrm{d}{x} ^4\wedge \cdots\wedge \,\mathrm{d}{x} ^n \end{aligned}\right. \end{equation}

2. 星算子的性质

定理 2 线性性

   设 $V$ 是 $n$ 维线性空间,取 $v_i\in\bigwedge^k V$,$a_i$ 为 $V$ 的基域中的元素,则 $\star(a_1v_1+a_2v_2)=a_1\star v_1+a_2\star v_2$.

   证明

   取 $V$ 的标准正交基 $\{e_i\}$,记其体积形式为 $\omega$.任取 $k$ 次复杂指标 $I$、$I_1$ 和 $I_2$,分别对应置换 $\sigma$、$\sigma_1$ 和 $\sigma_2$,则

\begin{equation} \begin{aligned} e_{\overline{I}}\wedge \star a_1 e_I &= a_1\langle e_{\overline{I}}, e_I \rangle \omega\\ &= e_{\overline{I}}\wedge a_1\star e_I \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \star a_1e_I = a_1\star e_I \end{equation}

   又因为

\begin{equation} \begin{aligned} \langle e_I, (e_{I_1}+e_{I_2}) \rangle \omega &= \langle e_I, e_{I_1} \rangle\omega + \langle e_I, e_{I_2} \rangle\omega\\ \end{aligned} \end{equation}
故得
\begin{equation} e_I\wedge \star(e_{I_1}+e_{I_2}) = e_I\wedge e_{I_1} + e_I\wedge e_{I_2} \end{equation}

   综合式 10 式 12 ,并考虑到复杂指标选取的任意性,即可得证.

   证毕

定理 3 对偶

  

   设 $V$ 是 $n$ 维线性空间,取 $v\in\bigwedge^k V$,则 $\star \star v = (-1)^{(n-k)k} v$.

   证明

   取 $V$ 的标准正交基 $\{e_i\}$,任取一个 $k$ 次复杂指标 $I$,其对应的置换为 $\sigma$,补为 $\bar{I}$,则由定理 1 定理 2

\begin{equation} \begin{aligned} \star \star e_I &= \star( \operatorname {sign}\sigma)e_{\overline{I}}\\ &= ( \operatorname {sign}\sigma)\star e_{\overline{I}}\\ \end{aligned} \end{equation}

   复杂指标 $\bar{I}$ 对应的置换 $\bar{\sigma}$,相当于进行 $\sigma$ 置换后再把后 $n-k$ 个元素整体挪到前面,也就是进行 $\sigma$ 后再进行 $(n-k)k$ 次对换.因此,$ \operatorname {sign}\bar{\sigma}=(-1)^{(n-k)k} \operatorname {sign}\sigma$,故将 $\star e_{\overline{I}}= \operatorname {sign}\bar{\sigma}e_I$ 代入式 13 后有

\begin{equation} \begin{aligned} \star \star e_I &= ( \operatorname {sign}\sigma)\star e_{\overline{I}}\\ &= (-1)^{(n-k)k}( \operatorname {sign}\sigma)^2 e_I \end{aligned} \end{equation}

   证毕

   定理 3 的例子请参见子节 3

3. 常见例子

二维欧几里得空间

\begin{equation} \begin{aligned} \star e_x &= e_y\\ \star e_y &= -e_x \end{aligned} \end{equation}

三维欧几里得空间

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \star 1 &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} \\ \star \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \\ \star \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{x} \\ \star \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{y} \\ \star \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} & = 1 \end{aligned}\right. \end{equation}

四维闵可夫斯基时空

   取通常的参考系 $(t, x, y, z)$,注意由于闵可夫斯基度量是 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag} (1, -1, -1, -1)$,故这不是一个标准正交基,不适用定理 1 .但是可以取体积形式 $\omega= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} $,适用定义 3

\begin{equation} \begin{aligned} \star \,\mathrm{d}{t} &= \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{x} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{y} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{z} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}

   如果取不同的号差,即 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag} (-1, 1, 1, 1)$,则式 17 应变为

\begin{equation} \begin{aligned} \star \,\mathrm{d}{t} &= - \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{x} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{y} &= \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{z} \\ \star \,\mathrm{d}{z} &= - \,\mathrm{d}{t} \wedge \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 如果这里的 $V$ 是流形上的余切空间,则 $\omega$ 就是给定点处的体积形式.


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