霍奇星算子

贡献者： JierPeter; addis

1. 星算子的定义

　　 考虑 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $\bigwedge V$，我们注意到各阶的外积空间具有明显的对称性：$ \operatorname {dim}\bigwedge^k V=C^k_n=C^{n-k}_n= \operatorname {dim}\bigwedge^{n-k} V$．这意味着这样的一对空间之间存在线性同构，我们使用星算子 $\star$ 来描述这一同构．

　　 星算子是一个映射，把一个 $\bigwedge^k V$ 中的元素 $\omega$ 映射为一个 $\bigwedge^{n-k} V$ 中的元素 $\star\omega$．为了方便描述星算子的定义，我们先引入一些新的表示方法．

　　 选定 $V$ 的基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$，那么任意 $\omega\in\bigwedge^k V$ 都可以表示为各 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 的线性组合，因此我们只需要描述 $\star \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 即可定义星算子．

　　 为了方便，我们只考虑 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 中各 $i_{r+1} > i_r$ 的情况，也就是下标顺序排列的情况¹．规定了只考虑下标顺序排列的情况后，就可以暂时不管顺序的问题，把 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 表示为集合 $\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$．利用这个表达，我们就可以定义 $\star\{i_1, i_2, \cdots i_k\}=\{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$．这样，我们就定义出了 $\bigwedge V$ 中各基向量的星算子了．再加上一条 “星算子是线性的”，即 $\star(\sum a_i\omega_i)=\sum a_i\star\omega_i$，就得到星算子的完整定义了：

2. 麦克斯韦方程组的外微分形式：后两个方程 [42]

　　 星算子描述的是外积空间中一个非常显眼的对偶，即 $\bigwedge^k V$ 和 $\bigwedge^{n-k} V$ 之间的同构．

1. ^ 乱序排列的情况无非两种，奇排列和偶排列，根据外代数的定义，前者加上负号即可，后者和顺序排列是相等的．