霍奇星算子

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 外导数

  

未完成:未完成:需添加更多讨论以及麦克斯韦方程组的表示.
未完成:定义有问题,修正前暂移出目录.

1. 星算子的定义

   考虑 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $\bigwedge V$,我们注意到各阶的外积空间具有明显的对称性:$ \operatorname {dim}\bigwedge^k V=C^k_n=C^{n-k}_n= \operatorname {dim}\bigwedge^{n-k} V$.这意味着这样的一对空间之间存在线性同构,我们使用星算子 $\star$ 来描述这一同构.

   星算子是一个映射,把一个 $\bigwedge^k V$ 中的元素 $\omega$ 映射为一个 $\bigwedge^{n-k} V$ 中的元素 $\star\omega$.为了方便描述星算子的定义,我们先引入一些新的表示方法.

   选定 $V$ 的基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$,那么任意 $\omega\in\bigwedge^k V$ 都可以表示为各 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 的线性组合,因此我们只需要描述 $\star \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 即可定义星算子.

   为了方便,我们只考虑 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 中各 $i_{r+1} > i_r$ 的情况,也就是下标顺序排列的情况1.规定了只考虑下标顺序排列的情况后,就可以暂时不管顺序的问题,把 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 表示为集合 $\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$.利用这个表达,我们就可以定义 $\star\{i_1, i_2, \cdots i_k\}=\{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$.这样,我们就定义出了 $\bigwedge V$ 中各基向量的星算子了.再加上一条 “星算子是线性的”,即 $\star(\sum a_i\omega_i)=\sum a_i\star\omega_i$,就得到星算子的完整定义了:

定义 1 霍奇星算子

   定义域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $\bigwedge V$ 的自同构映射 $\star:\bigwedge V\to \bigwedge V$,满足:

  1. 线性性:对于任意 $a_i\in\mathbb{F}$,$\omega_i\in\bigwedge V$,有 $\star(\sum a_i\omega_i)=\sum a_i\star\omega_i$;
  2. 如果把下标顺序排列的 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_1}\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_2}\wedge\cdots\wedge \boldsymbol{\mathbf{e}} _{i_k}$ 表示为集合 $\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$,那么 $\star\{i_1, i_2, \cdots i_k\}=\{1, 2, \cdots, n\}-\{i_1, i_2, \cdots, i_k\}$.

   称这一同构为霍奇星算子(Hodge star operator)

2. 麦克斯韦方程组的外微分形式:后两个方程 [42]

   星算子描述的是外积空间中一个非常显眼的对偶,即 $\bigwedge^k V$ 和 $\bigwedge^{n-k} V$ 之间的同构.


1. ^ 乱序排列的情况无非两种,奇排列和偶排列,根据外代数的定义,前者加上负号即可,后者和顺序排列是相等的.


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