霍奇星算子

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　外导数，体积形式

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1. 星算子的定义

　　考虑 $n$ 维线性空间 $V$ 上的外代数 $⋀ V$ ，我们注意到各阶的外积空间具有明显的对称性： $\dim \overset{k}{⋀} V = C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} = \dim \overset{n - k}{⋀} V$ 。这意味着这样的一对空间之间存在线性同构，我们使用星算子 $⋆$ 来描述这一同构。

定义前的准备

　　星算子是一个映射，把一个 $\overset{k}{⋀} V$ 中的元素 $ω$ 映射为一个 $\overset{n - k}{⋀} V$ 中的元素 $⋆ ω$ 。为了方便定义星算子，我们要先扩张一下内积的定义：

定义 1　 $k$ -向量的内积

　　设线性空间上有内积，即对于向量 $α$ 和 $β$ ，有内积 $⟨ α, β ⟩$ 。

　　给定向量 $α_{i}$ 和 $β_{j}$ ，构成两个 $k$ -向量 $ω_{α} = α_{1} \land α_{2} \land \dots \land α_{k}$ 和 $ω_{β} = β_{1} \land β_{2} \land \dots \land β_{k}$ 。则这两个 $k$ -向量的内积定义为

\begin{matrix} (1) & ⟨ ω_{α}, ω_{β} ⟩ = det (\begin{matrix} ⟨ α_{i}, β_{j} ⟩_{i, j = 1}^{k} \end{matrix}), \end{matrix}

即用各

⟨ α_{i}, β_{j} ⟩

构成的方阵的行列式。

　　显然，如果有某个 $β_{j}$ 正交于所有 $α_{i}$ ，那么式 1 就是 $0$ 。这一点对于霍奇星算子的性质很重要。

例 1　 $2$ -向量的内积

　　设二维欧几里得空间有极坐标的坐标函数 $r$ 和 $θ$ ，诱导出余切向量的基 ${d r, d θ}$ 。于是，基向量的内积为

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} ⟨ d r, d r ⟩ & = 1 \\ ⟨ d r, d θ ⟩ & = 0 = ⟨ d θ, d r ⟩ \\ ⟨ d θ, d θ ⟩ & = \frac{1}{r^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　构造 $2$ -向量 $ω_{1} = a_{1} d r \land d θ$ 和 $ω_{2} = a_{2} d r \land d θ$ ，则它们的内积为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ⟨ ω_{1}, ω_{2} ⟩ & = a_{1} a_{2} det (\begin{array}{c} ⟨ d r, d r ⟩ & ⟨ d r, d θ ⟩ \\ ⟨ d θ, d r ⟩ & ⟨ d θ, d θ ⟩ \end{array}) \\ = \frac{a_{1} a_{2}}{r^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　另一等价所需要的预备知识则是如下定义的复杂指标。

定义 2　复杂指标（正整数指标）

　　给定正整数指标集合 $Γ = {1, 2, \dots, n}$ 。设 $I$ 是 $Γ$ 的 $k$ 次有序子集，即对于一个正整数 $k \leq n$ ，存在一个置换 $σ \in S_{n}$ ，将 $I$ 表示为 $(σ (1), σ (2), \dots, σ (k))$ 。

　　再定义 $I$ 的补集 $\bar{I} = (σ (k + 1), \dots, σ (n))$ ，如果 $k = n$ 则 $\bar{I} = \emptyset$ 。

　　则光滑函数 $ω_{σ (1), σ (2), \dots, σ (k)}$ 表示为 $ω_{I}$ ，向量 $v^{σ (1)} \land v^{σ (2)} \land \dots \land v^{σ (k)}$ 表示为 $v^{I}$ 。

　　复杂指标也应用爱因斯坦求和约定： $ω_{I} v^{I}$ 是 $I$ 遍历所有 $k$ 次有序子集、或者特别声明的范围后，所得结果的乘积。

　　可以看到，之所以要求 $I$ 是有序的，是因为外积有次序要求。定义中使用正整数是为了方便，实际上复杂指标的概念也可以推广到任意指标集合上。

例 2　复杂指标的一个例子

　　设 $I$ 的取值范围为 ${(1, 2), (2, 3), (3, 1)}$ ，那么 $ω_{1, 2} d x^{1} \land d x^{2} + ω_{2, 3} d x^{2} \land d x^{3} + ω_{3, 1} d x^{3} \land d x^{1}$ 表示为 $ω_{I} d x^{I}$ 。

　　特别地，外导数可以表示为

\begin{matrix} (4) & d (ω_{I} d x^{I}) = d ω_{I} \land d x^{I} . \end{matrix}

星算子的定义

定义 3　霍奇星算子

　　在 $n$ 维线性空间 $V$ 的外代数 $⋀ V$ 上任取 $k$ -向量 $α$ 和 $β$ ，且有标准正交基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 。为方便，记 $ω = e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{n}$ ¹。定义映射 $⋆ : \overset{k}{⋀} V \to \overset{n - k}{⋀} V$ 如下：

\begin{matrix} (5) & α \land ⋆ β = ⟨ α, β ⟩ ω . \end{matrix}

称

⋆

是

⋀ V

上的霍奇星算子（Hodge star operator 或 Hodge star），或霍奇对偶（Hodge dual）。

　　使用复杂指标可以得到另一种定义方式：

定理 1　霍奇星算子（等价定义）

　　设 $I$ 是定义 1 中描述的一个复杂指标， $\bar{I}$ 是其补， ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 是线性空间的一组标准正交基，则

\begin{matrix} (6) & ⋆ e_{I} = (sign σ) e_{\overset{―}{I}} . \end{matrix}

　　欧几里得空间中，如果用通常的标准正交坐标系，坐标函数为 $x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}$ ，那么体积形式为 $d x^{1} \land d x^{2} \land \dots \land d x^{n}$ ，于是

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} ⋆ d x^{1} \land d x^{2} & = d x^{3} \land d x^{4} \land \dots \land d x^{n} \\ ⋆ d x^{1} \land d x^{3} & = - d x^{2} \land d x^{4} \land \dots \land d x^{n} . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果流形上坐标函数仍记为 $x^{1}, x^{2}, \dots, x^{n}$ ，而某处的体积形式为 $\sqrt{| g |} d x^{1} \land d x^{2} \land \dots \land d x^{n}$ ，则式 7 的例子应变为

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} \frac{⋆ d x^{1} \land d x^{2}}{⟨ d x^{1} \land d x^{2}, d x^{1} \land d x^{2} ⟩} & = \sqrt{| g |} d x^{3} \land d x^{4} \land \dots \land d x^{n} \\ \frac{⋆ d x^{1} \land d x^{3}}{⟨ d x^{1} \land d x^{3}, d x^{1} \land d x^{3} ⟩} & = - \sqrt{| g |} d x^{2} \land d x^{4} \land \dots \land d x^{n} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 星算子的性质

定理 2　线性性

　　设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，取 $v_{i} \in \overset{k}{⋀} V$ ， $a_{i}$ 为 $V$ 的基域中的元素，则 $⋆ (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2}) = a_{1} ⋆ v_{1} + a_{2} ⋆ v_{2}$ 。

　　证明：

　　取 $V$ 的标准正交基 ${e_{i}}$ ，记其体积形式为 $ω$ 。任取 $k$ 次复杂指标 $I$ 、 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ ，分别对应置换 $σ$ 、 $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ ，则

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} e_{\overset{―}{I}} \land ⋆ a_{1} e_{I} & = a_{1} ⟨ e_{\overset{―}{I}}, e_{I} ⟩ ω \\ = e_{\overset{―}{I}} \land a_{1} ⋆ e_{I} . \end{aligned} \end{matrix}

故

\begin{matrix} (10) & ⋆ a_{1} e_{I} = a_{1} ⋆ e_{I}, \end{matrix}

　　又因为

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} ⟨ e_{I}, (e_{I_{1}} + e_{I_{2}}) ⟩ ω & = ⟨ e_{I}, e_{I_{1}} ⟩ ω + ⟨ e_{I}, e_{I_{2}} ⟩ ω \end{aligned}, \end{matrix}

故得

\begin{matrix} (12) & e_{I} \land ⋆ (e_{I_{1}} + e_{I_{2}}) = e_{I} \land e_{I_{1}} + e_{I} \land e_{I_{2}} . \end{matrix}

　　综合式 10 和式 12 ，并考虑到复杂指标选取的任意性，即可得证。

　　证毕。

定理 3　对偶

　　设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，取 $v \in \overset{k}{⋀} V$ ，则 $⋆ ⋆ v = (- 1)^{(n - k) k} v$ 。

　　证明：

　　取 $V$ 的标准正交基 ${e_{i}}$ ，任取一个 $k$ 次复杂指标 $I$ ，其对应的置换为 $σ$ ，补为 $\bar{I}$ ，则由定理 1 和定理 2 ，

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} ⋆ ⋆ e_{I} & = ⋆ (sign σ) e_{\overset{―}{I}} \\ = (sign σ) ⋆ e_{\overset{―}{I}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　复杂指标 $\bar{I}$ 对应的置换 $\bar{σ}$ ，相当于进行 $σ$ 置换后再把后 $n - k$ 个元素整体挪到前面，也就是进行 $σ$ 后再进行 $(n - k) k$ 次对换。因此， $sign \bar{σ} = (- 1)^{(n - k) k} sign σ$ ，故将 $⋆ e_{\overset{―}{I}} = sign \bar{σ} e_{I}$ 代入式 13 后有

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} ⋆ ⋆ e_{I} & = (sign σ) ⋆ e_{\overset{―}{I}} \\ = (- 1)^{(n - k) k} (sign σ)^{2} e_{I} . \end{aligned} \end{matrix}

　　证毕。

　　定理 3 的例子请参见子节 3 。

3. 常见例子

二维欧几里得空间

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} ⋆ e_{x} & = e_{y}, \\ ⋆ e_{y} & = - e_{x} . \end{aligned} \end{matrix}

三维欧几里得空间

\begin{matrix} (16) & {\begin{aligned} ⋆ 1 & = d x \land d y \land d z \\ ⋆ d x & = d y \land d z \\ ⋆ d y & = d z \land d x \\ ⋆ d z & = d x \land d y \\ ⋆ d y \land d z & = d x \\ ⋆ d z \land d x & = d y \\ ⋆ d x \land d y & = d z \\ ⋆ d x \land d y \land d z & = 1 . \end{aligned} \end{matrix}

四维闵可夫斯基时空

　　取通常的参考系 $(t, x, y, z)$ ，注意由于闵可夫斯基度量是 $η_{μ ν} = diag (1, - 1, - 1, - 1)$ ，故这不是一个标准正交基，不适用定理 1 。但是可以取体积形式 $ω = d t \land d x \land d y \land d z$ ，适用定义 3 。

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} ⋆ d t & = d x \land d y \land d z, \\ ⋆ d x & = d t \land d y \land d z, \\ ⋆ d y & = - d t \land d x \land d z, \\ ⋆ d z & = d t \land d x \land d y . \end{aligned} \end{matrix}

　　如果取不同的号差，即 $η_{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ ，则式 17 应变为

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} ⋆ d t & = - d x \land d y \land d z, \\ ⋆ d x & = - d t \land d y \land d z, \\ ⋆ d y & = d t \land d x \land d z, \\ ⋆ d z & = - d t \land d x \land d y . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 如果这里的 $V$ 是流形上的余切空间，则 $ω$ 就是给定点处的体积形式。

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霍奇星算子

1. 星算子的定义

定义前的准备

定义 1 k-向量的内积

例 1 2-向量的内积

定义 2 复杂指标（正整数指标）

例 2 复杂指标的一个例子