自由粒子拉格朗日函数（狭义相对论）

贡献者： JierPeter

预备知识　从分析力学到场论

　　本文中 $c = 1$ ，闵可夫斯基空间度规为 $g_{μ ν} = diag (1, - 1, - 1, - 1)$ 。

　　文中希腊字母表示的指标如 $μ$ 、 $ν$ 等，指标取值范围为 $0, 1, 2, 3$ ，其中 $x^{0}$ 表示时间坐标 $t$ ；拉丁字母表示的指标如 $i$ 、 $j$ 和 $k$ 等，指标取值范围为 $1, 2, 3$ 。

1. 自由粒子和自由场

　　拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律。如果宇宙中只存在一个场或者粒子，我们就说它是自由的，因为不存在任何其它东西与它相互作用。

粒子

　　自由粒子的拉格朗日函数如何确定？注意到拉格朗日的积分，即作用量，作为运动轨迹的泛函，和坐标的选取无关，因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量。最直接的想法是什么呢？轨迹的 “长度”：

\begin{matrix} (1) & S (Γ) = \int_{Γ} d s . \end{matrix}

这里的

Γ

为给定的轨迹，

d s

为轨迹上两点的微分¹。有的材料里，也把间隔

d s

记为固有时

d τ

。

　　如果你更习惯把作用量看成对时间的积分，那么式 1 也可以写为

\begin{matrix} (2) & S (Γ) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 - v^{2}} d t . \end{matrix}

其中

v

是三维速度，由

Γ

给定。为了方便表述，我们用微分几何的语言，记

v^{2} = {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} g_{i j}

。

　　将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程，得这个作用量所确定的粒子运动：

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} \frac{- v}{\sqrt{1 - v^{2}}} = 0, \end{matrix}

即

v

为常量。这确实符合四动量守恒定律，因此是狭义相对论的合理运动。

　　在经典力学中我们知道，同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定。比如，两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数，那它们确定的运动规律完全相同。因此，我们应设自由粒子的拉格朗日函数为

\begin{matrix} (4) & L (t, x^{i}, {\dot{x}}^{i}) = α \sqrt{1 - {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} g_{i j}} . \end{matrix}

　　当 $v ≪ 1$ ，近似有 $\sqrt{1 - v^{2}} = 1 - \frac{v^{2}}{2}$ ，而经典力学的自由粒子作用量为 $\frac{m v^{2}}{2}$ 。又考虑到我们需要的是最小作用量原理，即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况，故需要设 $α = - m$ 以满足这两个条件。

　　综上可得自由粒子的拉格朗日函数

\begin{matrix} (5) & L (t, x^{i}, {\dot{x}}^{i}) = - m \sqrt{1 - {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} g_{i j}} . \end{matrix}

习题 1　

　　如果不设 $c = 1$ ，而需要带着 $c$ 计算，那么式 5 应该是什么样，才能和经典力学统一？

1. ^ 即任取轨迹上两点，求它们的间隔，然后令两点趋于同一点 $x_{0}$ ，则所求的间隔趋于 $x_{0}$ 处的 $d s$ 。

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