贡献者： JierPeter
本文中 $c=1$，闵可夫斯基空间度规为 $g_{\mu\nu} = \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$。
文中希腊字母表示的指标如 $\mu$、$\nu$ 等，指标取值范围为 $0, 1, 2, 3$，其中 $x^0$ 表示时间坐标 $t$；拉丁字母表示的指标如 $i$、$j$ 和 $k$ 等，指标取值范围为 $1, 2, 3$。
1. 自由粒子和自由场
拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律。如果宇宙中只存在一个场或者粒子，我们就说它是自由的，因为不存在任何其它东西与它相互作用。
粒子
自由粒子的拉格朗日函数如何确定？注意到拉格朗日的积分，即作用量，作为运动轨迹的泛函，和坐标的选取无关，因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量。最直接的想法是什么呢？轨迹的 “长度”：
\begin{equation}
S(\Gamma) = \int_\Gamma \,\mathrm{d}{s} ~.
\end{equation}
这里的 $\Gamma$ 为给定的轨迹，$ \,\mathrm{d}{s} $ 为轨迹上两点的微分
1。有的材料里，也把间隔 $ \,\mathrm{d}{s} $ 记为
固有时$ \,\mathrm{d}{\tau} $。
如果你更习惯把作用量看成对时间的积分，那么式 1 也可以写为
\begin{equation}
S(\Gamma) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是三维速度，由 $\Gamma$ 给定。为了方便表述，我们用微分几何的语言，记 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2=\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}$。
将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程，得这个作用量所确定的粒子运动：
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2}} = 0~,
\end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为常量。这确实符合四动量守恒定律，因此是狭义相对论的合理运动。
在经典力学中我们知道，同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定。比如，两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数，那它们确定的运动规律完全相同。因此，我们应设自由粒子的拉格朗日函数为
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = \alpha\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}}~.
\end{equation}
当 $v\ll 1$，近似有 $\sqrt{1-v^2}=1-\frac{v^2}{2}$，而经典力学的自由粒子作用量为 $\frac{mv^2}{2}$。又考虑到我们需要的是最小作用量原理，即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况，故需要设 $\alpha=-m$ 以满足这两个条件。
综上可得自由粒子的拉格朗日函数
\begin{equation}
\mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = -m\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}}~.
\end{equation}
习题 1
如果不设 $c=1$，而需要带着 $c$ 计算，那么式 5 应该是什么样，才能和经典力学统一？
1. ^ 即任取轨迹上两点，求它们的间隔，然后令两点趋于同一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$，则所求的间隔趋于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处的 $ \,\mathrm{d}{s} $。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。