自由粒子拉格朗日函数(狭义相对论)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 从分析力学到场论

   本文中 c=1,闵可夫斯基空间度规为 gμν=diag(1,1,1,1)

   文中希腊字母表示的指标如 μν 等,指标取值范围为 0,1,2,3,其中 x0 表示时间坐标 t;拉丁字母表示的指标如 ijk 等,指标取值范围为 1,2,3

1. 自由粒子和自由场

   拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律。如果宇宙中只存在一个场或者粒子,我们就说它是自由的,因为不存在任何其它东西与它相互作用。

粒子

   自由粒子的拉格朗日函数如何确定?注意到拉格朗日的积分,即作用量,作为运动轨迹的泛函,和坐标的选取无关,因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量。最直接的想法是什么呢?轨迹的 “长度”:

(1)S(Γ)=Γds .
这里的 Γ 为给定的轨迹,ds 为轨迹上两点的微分1。有的材料里,也把间隔 ds 记为固有时dτ

   如果你更习惯把作用量看成对时间的积分,那么式 1 也可以写为

(2)S(Γ)=t1t21v2dt .
其中 v 是三维速度,由 Γ 给定。为了方便表述,我们用微分几何的语言,记 v2=x˙ix˙jgij

   将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程,得这个作用量所确定的粒子运动:

(3)ddtv1v2=0 ,
v 为常量。这确实符合四动量守恒定律,因此是狭义相对论的合理运动。

   在经典力学中我们知道,同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定。比如,两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数,那它们确定的运动规律完全相同。因此,我们应设自由粒子的拉格朗日函数为

(4)L(t,xi,x˙i)=α1x˙ix˙jgij .

   当 v1,近似有 1v2=1v22,而经典力学的自由粒子作用量为 mv22。又考虑到我们需要的是最小作用量原理,即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况,故需要设 α=m 以满足这两个条件。

   综上可得自由粒子的拉格朗日函数

(5)L(t,xi,x˙i)=m1x˙ix˙jgij .

习题 1 

   如果不设 c=1,而需要带着 c 计算,那么式 5 应该是什么样,才能和经典力学统一?


1. ^ 即任取轨迹上两点,求它们的间隔,然后令两点趋于同一点 x0,则所求的间隔趋于 x0 处的 ds


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