自由粒子拉格朗日函数(狭义相对论)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 从分析力学到场论

   本文中 $c=1$,闵可夫斯基空间度规为 $g_{\mu\nu} = \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$.

   文中希腊字母表示的指标如 $\mu$、$\nu$ 等,指标取值范围为 $0, 1, 2, 3$,其中 $x^0$ 表示时间坐标 $t$;拉丁字母表示的指标如 $i$、$j$ 和 $k$ 等,指标取值范围为 $1, 2, 3$.

1. 自由粒子和自由场

   拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律.如果宇宙中只存在一个场或者粒子,我们就说它是自由的,因为不存在任何其它东西与它相互作用.

粒子

   自由粒子的拉格朗日函数如何确定?注意到拉格朗日的积分,即作用量,作为运动轨迹的泛函,和坐标的选取无关,因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量.最直接的想法是什么呢?轨迹的 “长度”:

\begin{equation} S(\Gamma) = \int_\Gamma \,\mathrm{d}{s} \end{equation}
这里的 $\Gamma$ 为给定的轨迹,$ \,\mathrm{d}{s} $ 为轨迹上两点的微分1.有的材料里,也把间隔 $ \,\mathrm{d}{s} $ 记为固有时$ \,\mathrm{d}{\tau} $.

   如果你更习惯把作用量看成对时间的积分,那么式 1 也可以写为

\begin{equation} S(\Gamma) = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是三维速度,由 $\Gamma$ 给定.为了方便表述,我们用微分几何的语言,记 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2=\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}$.

   将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程,得这个作用量所确定的粒子运动:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1- \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2}} = 0 \end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为常量.这确实符合四动量守恒定律,因此是狭义相对论的合理运动.

   在经典力学中我们知道,同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定.比如,两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数,那它们确定的运动规律完全相同.因此,我们应设自由粒子的拉格朗日函数为

\begin{equation} \mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = \alpha\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}} \end{equation}

   当 $v\ll 1$,近似有 $\sqrt{1-v^2}=1-\frac{v^2}{2}$,而经典力学的自由粒子作用量为 $\frac{mv^2}{2}$.又考虑到我们需要的是最小作用量原理,即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况,故需要设 $\alpha=-m$ 以满足这两个条件.

   综上可得自由粒子的拉格朗日函数

\begin{equation} \mathcal{L}(t, x^i, \dot{x}^i) = -m\sqrt{1-\dot{x}^i\dot{x}^jg_{ij}} \end{equation}

习题 1 

   如果不设 $c=1$,而需要带着 $c$ 计算,那么式 5 应该是什么样,才能和经典力学统一?


1. ^ 即任取轨迹上两点,求它们的间隔,然后令两点趋于同一点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$,则所求的间隔趋于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 处的 $ \,\mathrm{d}{s} $.


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