自由粒子拉格朗日函数(狭义相对论)
贡献者: JierPeter
本文中 ,闵可夫斯基空间度规为 。
文中希腊字母表示的指标如 、 等,指标取值范围为 ,其中 表示时间坐标 ;拉丁字母表示的指标如 、 和 等,指标取值范围为 。
1. 自由粒子和自由场
拉格朗日函数能描述场和粒子的运动规律。如果宇宙中只存在一个场或者粒子,我们就说它是自由的,因为不存在任何其它东西与它相互作用。
粒子
自由粒子的拉格朗日函数如何确定?注意到拉格朗日的积分,即作用量,作为运动轨迹的泛函,和坐标的选取无关,因此我们可以猜想用只和轨迹相关的某个泛函作为作用量。最直接的想法是什么呢?轨迹的 “长度”:
这里的 为给定的轨迹, 为轨迹上两点的微分
1。有的材料里,也把间隔 记为
固有时。
如果你更习惯把作用量看成对时间的积分,那么式 1 也可以写为
其中 是三维速度,由 给定。为了方便表述,我们用微分几何的语言,记 。
将式 2 代入欧拉—拉格朗日方程方程,得这个作用量所确定的粒子运动:
即 为常量。这确实符合四动量守恒定律,因此是狭义相对论的合理运动。
在经典力学中我们知道,同一运动轨迹可以由不同形式的拉格朗日函数确定。比如,两个拉格朗日函数如果只差一个常数倍数,那它们确定的运动规律完全相同。因此,我们应设自由粒子的拉格朗日函数为
当 ,近似有 ,而经典力学的自由粒子作用量为 。又考虑到我们需要的是最小作用量原理,即粒子的合法轨迹应该是作用量极小而非极大的情况,故需要设 以满足这两个条件。
综上可得自由粒子的拉格朗日函数
习题 1
如果不设 ,而需要带着 计算,那么式 5 应该是什么样,才能和经典力学统一?
1. ^ 即任取轨迹上两点,求它们的间隔,然后令两点趋于同一点 ,则所求的间隔趋于 处的 。
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