电介质的简单模型

             

预备知识 电偶极子

   先来介绍一个简单的模型:假设电介质(dielectric)是一种完全不导电的物质,其中正电荷密度(假设非常大)分布为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.若电介质中处处无电场,那么负电荷密度为 $-\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,电解质呈电中性;若某点附近有电场,该点处负电荷不动,正电荷向电场方向移动一个非常小的距离 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} $.那么我们就把介质中某一点的极化强度(polarization density 或 polarization)定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{d}} \end{equation}
若取一个体积为 $V$ 的体积元,把连续电荷分布看成是由许多点电荷构成的,令其中的正点电荷为 $q_i$,每个正电荷对应一个负电荷 $-q_i$,相对位移为 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} $,则极化强度可用电偶极矩式 3 表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \lim_{V\to 0}\sum_i \frac{q_i}{V} \boldsymbol{\mathbf{d}} = \lim_{V\to 0}\frac{1}{V} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i \end{equation}
所以极化强度也可以理解为电偶极矩的体密度.

1. 极化强度与电场

   若电解质中某点处电场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $,如果该介质是(a) 各向同性 (b) 均匀 (c) 线性的,该点处的极化强度与电场的关系就满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \chi \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
其中常数 $\chi$ 叫做电极化率(electric susceptibility),$\epsilon_0$ 是真空中的电容率.特殊地,我们可以认为真空也是一种极化率为零的电介质.

   若电介质不满足上述三个条件,在最一般的情况下,电极化率可以用一个 $3\times 3$ 的矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{\chi}} $ 表示,称为电极化张量

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